誤差理論與數(shù)據(jù)處理(費(fèi)業(yè)泰)最全課后答案

1、誤差理論習(xí)題答案1-4 在測(cè)量某一長度時(shí)，讀數(shù)值為2.31m，其最大絕對(duì)誤差為 20um，試求其最大相對(duì)誤差。解：最大相對(duì)誤差（最大絕對(duì)誤差）/測(cè)得值，所以1-5 使用凱特?cái)[時(shí)，由公式給定。今測(cè)出長度 為, 振動(dòng)時(shí)間 T為，試求g 及最大相對(duì)誤差。如果 測(cè)出為，為了使g的誤差能小于，T 的測(cè)量必須精確到多少？解：由得 對(duì) 進(jìn)行全微分，令 并令代替得從而的最大相對(duì)誤差為： 由，得 ，所以1-7 為什么在使用微安表時(shí)，總希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用？解：設(shè)微安表的量程為,測(cè)量時(shí)指針的指示值為X，微安表的精度等級(jí)為S，最大誤差 ,相對(duì)誤差，一般 ，故當(dāng)X越接近相對(duì)誤差就越小，故在使用微安表時(shí)，

2、希望指針在全量程的2/3范圍內(nèi)使用。1-9 多級(jí)彈導(dǎo)火箭的射程為10000km時(shí)，其射擊偏離預(yù)定點(diǎn)不超過0.1km,優(yōu)秀選手能在距離50m遠(yuǎn)處準(zhǔn)確射中直徑為2cm的靶心，試評(píng)述哪一個(gè)射擊精度高？解：火箭射擊的相對(duì)誤差：選手射擊的相對(duì)誤差： 所以，相比較可見火箭的射擊精度高。 1-10 若用兩種測(cè)量方法測(cè)量某零件的長度L1=100mm，其測(cè)量誤差分別為 和，而用第三種方法測(cè)量另一零件的長度L2 =150mm ，其測(cè)量誤差為 ，試比較三種測(cè)量方法精度的高低. 解：第一種方法測(cè)量的相對(duì)誤差為： 第二種方法測(cè)量的相對(duì)誤差為： 第三種方法測(cè)量的相對(duì)誤差為： 相比較可知：第三種方法測(cè)量的精度最高，第一種方

3、法測(cè)量的精度最低。 第二章：誤差基本原理1 知識(shí)點(diǎn):2 1.算術(shù)平均值3 2.標(biāo)準(zhǔn)差及算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差4 3.測(cè)量結(jié)果表達(dá)方式5 4.粗大誤差判斷及剔除2-2 測(cè)量某物體共8次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為g）為236.45，236.37，23.51，236.34，236.39，236.48，236.47，236.40。試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差. 解：算術(shù)平均值為：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差是：2-3 用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計(jì)算習(xí)題2-2的標(biāo)準(zhǔn)差，并比較之。 解： 別捷爾斯法： 極差法： 查表得 所以 最大誤差法： 查表得所以 ，綜上所述，用貝塞爾公式得到的標(biāo)準(zhǔn)差是0.0212g，別捷爾斯法計(jì)算得到的

4、標(biāo)準(zhǔn)是0.02427g、極差法是0.02109g和最大誤差法是0.01941g，故最大誤差法計(jì)算的得到的標(biāo)準(zhǔn)差最小，別捷爾斯法最大。 2-9. 已知某儀器測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.5m。 若在該儀器上，對(duì)某一軸徑測(cè)量一次，測(cè)得值為26.2025mm，試寫出測(cè)量結(jié)果。 若重復(fù)測(cè)量10次，測(cè)得值（單位為mm）為，試寫出測(cè)量結(jié)果。 若手頭無該儀器測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差值的資料，試由中次重復(fù)測(cè)量的測(cè)量值，寫出上述、的測(cè)量結(jié)果。解： 測(cè)量結(jié)果： 測(cè)量結(jié)果： 可由測(cè)得數(shù)據(jù)計(jì)算得： 所以 對(duì)，測(cè)量結(jié)果為： 對(duì) ，測(cè)量結(jié)果為： 2-12 甲、乙兩測(cè)量者用正弦尺對(duì)一錐體的錐角各測(cè)量五次，測(cè)得值如下：， ：， 試求其測(cè)量結(jié)果。解：

5、對(duì)于甲來說 對(duì)于乙來說 所以兩個(gè)測(cè)量者的權(quán)是：不妨取，所以，。即為所求。2-16 對(duì)某一線圈電感測(cè)量次，前次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，測(cè)得結(jié)果如下（單位為）：，；，。試判斷兩組數(shù)據(jù)間有無系統(tǒng)誤差。解：用秩和檢驗(yàn)法有：將兩組數(shù)據(jù)混合排列，得，因?yàn)?，所以有根?jù)懷疑存在系統(tǒng)誤差。2-17 等精度測(cè)量某一電壓次，測(cè)得結(jié)果（單位為）為，。測(cè)量完畢后，發(fā)現(xiàn)測(cè)量裝置有接觸松動(dòng)現(xiàn)象，為判斷是否接觸不良而引入系統(tǒng)誤差，將接觸改善后，又重新作了次等精度測(cè)量，測(cè)得結(jié)果（單位為）為，。試用檢驗(yàn)法（取為0.05）判斷兩測(cè)量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：用檢驗(yàn)法判斷：第一次測(cè)量的數(shù)據(jù)第二次

6、測(cè)量數(shù)據(jù)：所以因?yàn)?，取，查t分布表，得所以，無根據(jù)懷疑測(cè)量列中存在系統(tǒng)誤差。2-19 對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95試用秩和檢驗(yàn)法判斷兩組測(cè)量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：將兩組混合排列成下表：123456789100.620.861.131.131.161.181.201.210.991.12111213141516171819201.221.26

7、1.301.341.391.211.251.3113.11.38212223242526272829301.411.571.411.481.501.591.601.601.841.95所以，數(shù)學(xué)期望為，標(biāo)準(zhǔn)差，所以，故，當(dāng)置信概率，此時(shí)，此時(shí)有根據(jù)懷疑兩組測(cè)量值之間存在系統(tǒng)誤差。而當(dāng)置信概率時(shí)，此時(shí)無根據(jù)懷疑兩組測(cè)量值之間存在系統(tǒng)誤差。2-20 對(duì)某量進(jìn)行15次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為，若這些測(cè)得值以消除系統(tǒng)誤差，試用萊以特準(zhǔn)則、格羅布斯準(zhǔn)則和狄克松準(zhǔn)則分別判斷該測(cè)量列中是否含有系統(tǒng)誤差的測(cè)量值。思路：1.萊以特準(zhǔn)則：計(jì)算得根據(jù)萊以特準(zhǔn)則，第次測(cè)量值的殘余誤差所以它含有粗大誤差，故將它剔除。再根據(jù)剩下

8、的個(gè)測(cè)量值重復(fù)上述步驟。2.格羅布斯準(zhǔn)則：，按照測(cè)量值的大小，順序排列得，現(xiàn)在有2個(gè)測(cè)量值可懷疑，由于故應(yīng)該先懷疑是否含有粗大誤差，計(jì)算,取，查表得，則故第14個(gè)測(cè)量值含有粗大誤差，應(yīng)剔除。注意：此時(shí)不能直接對(duì)x（15）進(jìn)行判斷，一次只能剔除一個(gè)粗差。3.重復(fù)上述步驟，判斷是否還含有粗差。4.狄克松準(zhǔn)則同理，判斷后每次剔除一個(gè)粗差后重復(fù)。第三章：誤差的合成與分解知識(shí)點(diǎn)：1.系統(tǒng)誤差合成2.隨機(jī)誤差合成3.相關(guān)系數(shù)4.微小誤差取舍原則5.誤差的分解及等作用原則3-2 為求長方體體積V，直接測(cè)量其各邊長a=161.6mm，b=44.5mm，c=11.2mm，已知測(cè)量的系統(tǒng)誤差為，測(cè)量的極限誤差為，

9、試求立方體的體積及其體積的極限誤差。思路：1. 按測(cè)得值計(jì)算得V；2. 根據(jù)系統(tǒng)誤差的合成原理求得V的系統(tǒng)誤差；3. 計(jì)算長方體的體積；4. 根據(jù)極限誤差的合成原理求得極限誤差；此時(shí)可寫出測(cè)量結(jié)果表達(dá)式。解：因?yàn)轶w積的系統(tǒng)誤差： 所以，長方體的體積是：極限誤差為（局部誤差方和根）：所以，立方體的體積是，體積的極限誤差是。3-4 測(cè)量某電路的電流，電壓，測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，求所耗功率及其標(biāo)準(zhǔn)差。解：先求所耗功率：因?yàn)椋襏，I完全線形相關(guān)，故，所以，所以，該電路所耗功率為，其標(biāo)準(zhǔn)差為。3-6 已知與的相關(guān)系數(shù)，試求的方差。解：因?yàn)樗裕?，的方差?-8 如圖3-6所示，用雙球法測(cè)量孔的直徑D

10、，其鋼球直徑分別為，測(cè)出的距離分別為，試求被測(cè)孔徑D與各直接測(cè)量量的函數(shù)關(guān)系及其誤差傳遞函數(shù)。 解：如圖所示， 圖3-6由勾股定理得 即， 然后對(duì)d1，d2，H1,H2分別求偏導(dǎo)，即得出誤差傳遞系數(shù)。3-10 假定從支點(diǎn)到重心的長度為的單擺振動(dòng)周期為，重力加速度可由公式給出。若要求測(cè)量的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差，試問按等作用原則分配誤差時(shí)，測(cè)量和的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)該是多少？解：由重力加速度公式，得，因?yàn)?，因?yàn)闇y(cè)量項(xiàng)目有兩個(gè)，所以。按等作用原理分配誤差，得同理,綜上所述，測(cè)量和的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差分別是和。第第五章：最小二乘法原理理知識(shí)點(diǎn)： 1.最小二乘法原理 2.正規(guī)方程 3.兩種參數(shù)估計(jì)的方法 4.精度估計(jì) 推薦掌握

11、：基于矩陣的的最小二乘法參數(shù)估計(jì)參數(shù)最小二乘法估計(jì)矩陣形式的簡單推導(dǎo)及回顧： 由誤差方程且要求VTV最小，則：所以：理論基礎(chǔ)：5-1 由測(cè)量方程 試求、的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。解：方法一（常規(guī)）：1.列出誤差方程組：分別對(duì)求偏導(dǎo)，并令它們的結(jié)果為0， 即， 由上式可解得結(jié)果： 2. 直接列表計(jì)算給出正規(guī)方程常數(shù)項(xiàng)和系數(shù) 1319132.98.72.921-214-20.90.9-1.832-349-61.93.8-5.7-1414-5-13.4-4.6可得正規(guī)方程將的結(jié)果代入分別求得：得，由題已知，得得，由不定乘數(shù)的方程組 得 得方法二（按矩陣形式計(jì)算）：由誤差方程 上式可以表示為即；

12、； 可得式中所以即解得，將最佳估計(jì)值代入誤差方程可得，將計(jì)算得到的數(shù)據(jù)代入式中為求出估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差，首先求出不定常數(shù) 。由已知，不定常數(shù)的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同，因而是矩陣中各元素，即則 可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為5-3 測(cè)力計(jì)示值與測(cè)量時(shí)的溫度的對(duì)應(yīng)值獨(dú)立測(cè)得如下表所示。/15182124273043.6143.6343.6843.7143.7443.78設(shè)無誤差，值隨的變化呈線性關(guān)系，試給出線性方程中系數(shù)和的最小二乘估計(jì)及其相應(yīng)精度。解：利用矩陣求解，誤差方程可寫成即； ；可得式中所以 將最佳估計(jì)值代入誤差方程得為求出估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差,需要求出不定乘數(shù)的系數(shù)，而不定乘數(shù)的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同

13、，因而是矩陣中各元素，即則可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為 55 不等精度測(cè)量的方程組如下：， ；， ；， 試求、的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。解：利用矩陣計(jì)算； ； 由 另 得則將最佳估計(jì)值代入誤差方程，得可計(jì)算又知 可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為 57 將下面的非線性誤差方程組化成線性的形式，并給出未知參數(shù)的二乘法處理及其相應(yīng)精度。 解：1. 由前面三個(gè)線性的誤差方程可解得的近似估計(jì)值利用矩陣形式求解：； ； ； 可得式中所以，2. 取得近似值，令可將誤差方程線性化，現(xiàn)分別對(duì)測(cè)量方程求偏導(dǎo) 則誤差方程化成線性方程組，； ； 可得式中所以解得，則解得，則可得，再由，則， 可得估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為，第六章 回歸分析 知

14、識(shí)點(diǎn)： 1.一元線性回歸 2.多元線性回歸 3.方差分析及顯著性檢驗(yàn)6-1材料的抗剪強(qiáng)度與材料承受的正應(yīng)力有關(guān)。對(duì)某種材料試驗(yàn)的數(shù)據(jù)如下：正應(yīng)力26.825.428.923.627.723.9抗剪強(qiáng)度26.527.324.227.123.625.924.728.126.927.422.625.626.322.521.721.425.824.9假設(shè)正應(yīng)力的數(shù)值是精確的，求抗剪強(qiáng)度與正應(yīng)力之間的線性回歸方程。當(dāng)正應(yīng)力為24.5時(shí)，抗剪強(qiáng)度的估計(jì)值是多少？解：序號(hào)126.826.5718.24702.25710.2225.427.3645.16745.29693.42328.924.2935.215

15、85.64699.38423.627.1556.96734.41639.56527.723.6767.29556.96653.72623.925.9571.21670.81619.01724.726.3610.09691.69649.61828.122.5789.61506.25632.25926.921.7723.61470.89583.731027.421.4750.76457.96586.361122.625.8510.76665.64583.081225.624.9655.36620.01637.44和311.6297.28134.267407.87687.76，所以，綜上所述，。 當(dāng)

16、正應(yīng)力為24.5時(shí)，抗剪強(qiáng)度的估計(jì)值是：6-7 在4種不同溫度下觀測(cè)某化學(xué)反應(yīng)生成物含量的百分?jǐn)?shù)，每種在同一溫度下重復(fù)觀測(cè)三次，數(shù)據(jù)如下：溫度/150200250300生成物含量的百分?jǐn)?shù)77.476.778.284.184.583.788.989.289.794.894.795.9求對(duì)的先行回歸方程，并進(jìn)行方差分析和顯著性檢驗(yàn)解：為同一溫度三次下觀測(cè)生成物含量的百分?jǐn)?shù)的平均值，, , 現(xiàn)將計(jì)算結(jié)果寫入方差分析表中由于，回歸高度顯著故回歸方程擬合的很好。解：將表中畫圖得曲線如圖所示，從曲線上按0.5讀取， 列入下表。因表中極接近常數(shù)，此組觀測(cè)數(shù)據(jù)可用表示觀測(cè)值自圖上讀數(shù)值順序差值xyxyy2y0.200.4004.4-0.20.504.320.44.20.60.40.704.450.84.60.40.81.205.331.25.40.41.21.606.881.66.60.61.82.108.912.08.40.42.22.5011.222.410.60.52.72.8013.392.813.30.53.23.2016.533.216.50.53.73.7021.203.620.26-12 煉焦?fàn)t的焦化時(shí)間與爐寬及煙道管相對(duì)溫度的數(shù)據(jù)如下：/min6.4015.0518.7530.2544.8548.9451.5561.50100.44111.42/m