202X版高中全程復(fù)習(xí)方略配套課件：6.5合情推理與演繹推理（數(shù)學(xué)文人教A版湖南專用）（共59張PPT）

1、第五節(jié) 合情推理與演繹推理,三年21考 高考指數(shù): 1.了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡單的歸納推理和類比推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用； 2.了解演繹推理的含義，了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異.掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單推理,1.歸納推理與數(shù)列相結(jié)合問題是考查重點(diǎn)； 2.類比推理、演繹推理是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)； 3.以選擇題、填空題的形式考查合情推理；以選擇題或解答題的形式考查演繹推理，題目難度不大，多以中低檔題為主,1.推理 (1)定義：推理是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程. (2)分類：推理一般分為_與_兩類,合情推理,演繹推理,即時(shí)應(yīng)用

2、】 (1)思考：一個(gè)推理是由幾部分構(gòu)成的？ 提示：從結(jié)構(gòu)上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(shí)(或假設(shè))叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結(jié)論. (2)數(shù)列2,5,11,20,x,47,中的x等于_. 【解析】5-2=3,11-5=6,20-11=9,推出x-20=12，所以x=32. 答案：32,3)已知數(shù)列 則 是第_項(xiàng). 【解析】由題可知該數(shù)列的第n項(xiàng) 由 得2n-1=45，n=23. 答案：23,2.合情推理,全部對象都,具有這些特征,一般結(jié)論,某些已知特征,部分,整體,個(gè)別,一般,特殊,特殊,即時(shí)應(yīng)用】 (1)判斷下列命題是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中填或) (ab)n=anbn

3、與(a+b)n類比，則有(a+b)n=an+bn; ( ) loga(xy)=logax+logay與sin(+)類比，則有sin(+)=sinsin; ( ) (a+b)2=a2+2ab+b2與 類比，則有 (,2)在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為12，則它們的面積的比為14，類似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為12，則它們的體積的比為_,解析】(1)錯(cuò).(a+b)2=a2+2ab+b2a2+b2; 錯(cuò).sin(+)=sincos+cossinsinsin; 對. 滿足向量數(shù)量積的運(yùn)算. (2)兩個(gè)正四面體的棱長的比為12，則其高之比為12，底 面積之比為14，故其體積的比為18

4、. 答案：(1) (2)18,3.演繹推理 (1)定義：從_出發(fā)，推出_下的 結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理. (2)特點(diǎn)：演繹推理是由_的推理,一般性的原理,某個(gè)特殊情況,一般到特殊,3)模式：三段論“三段論”是演繹推理的一般模式,一般原理,特殊情況,M是P,S是M,即時(shí)應(yīng)用】 (1)命題“有些有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，判斷下列說法的真假(填“真”，“假”) 使用了歸納推理 ( ) 使用了類比推理 ( ) 使用了演繹推理 ( ) 使用了“三段論”但推理形式錯(cuò)誤 ( ) 使用了“三段論”但小前提錯(cuò)誤 (,2)判斷下列推理過程是否是演繹推理(請?jiān)诶ㄌ?hào)

5、中填“是”或“否”) 兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果A和B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則A+B=180 ( ) 某校高三(1)班有55人，(2)班有54人，(3)班有52人，由此得高三所有班級(jí)人數(shù)超過50人 ( ) 由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四邊形的性質(zhì) ( ) 在數(shù)列an中，a1=1, (n2,nN*)，由此歸納出an的通項(xiàng)公式 (,解析】(1)假：不滿足歸納推理的定義； 假：不滿足類比推理的定義； 真：滿足演繹推理的定義； 真：使用了“三段論”但大前提中的“有些有理數(shù)”與小前提中的“有理數(shù)”不是同一概念，故不符合三段論的推理形式. 假，使用了“三段論”但小前提是正確的. (2)是，使用了

6、“三段論”. 不是，使用了歸納推理不是演繹推理,不是，使用了類比推理. 不是,使用了歸納推理. 答案：(1)假 假 真 真 假 (2)是 否 否 否,歸納推理 【方法點(diǎn)睛】歸納推理的特點(diǎn) (1)歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理. (2)歸納推理所得結(jié)論不一定正確，通常歸納的個(gè)體數(shù)目越多，越具有代表性，推廣的一般性結(jié)論也會(huì)越可靠.其結(jié)論的正確性往往通過演繹推理來證明. (3)它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法,例1】(1)已知： 設(shè)f1(x)=f(x),fn(x)= fn-1(fn-1(x)(n1且nN*),則f3(x)的表達(dá)式為，猜想fn(x)(nN*)的表達(dá)式為_. (2)(2012

7、蘇州模擬)觀察式子： 你可以猜出的一個(gè)一般性結(jié)論是_. (3)設(shè) 先分別求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2) +f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明,解題指南】(1)由已知條件及遞推關(guān)系可推得f2(x),f3(x)及fn(x). (2)由三個(gè)等式可推第四，第五個(gè)等式，從而得第n個(gè)等式即一般結(jié)論. (3)由0+1=1,-1+2=1,-2+3=1,以及f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2) +f(3)的值可猜想f(x)+f(1-x,規(guī)范解答】(1)由 得,故猜想 答案,2)由前三個(gè)等式得13+15+17+19=64=43, 21+23+25+27+29=12

8、5=53，所以第n個(gè)等式的第一個(gè)數(shù)應(yīng)為第1+2+(n-1)+1個(gè)奇數(shù)，即為 共有n個(gè)奇數(shù)，即第n個(gè)等式應(yīng)為 n(n-1)+1+n(n-1)+3+n(n-1)+5+ n(n-1)+2n-1=n3. 即(n2-n+1)+(n2-n+3)+(n2+n-1)=n3,答案：(n2-n+1)+(n2-n+3)+(n2+n-1)=n3 (3) 同理可得： 由此猜想f(x)+f(1-x),證明：f(x)+f(1-x),互動(dòng)探究】利用本例第(3)題中的結(jié)論計(jì)算 f(-2 012)+f(-2 011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013)的值. 【解析】由本例第(3)題中的結(jié)論f(x)+f(1-x)=

9、 得 方法一：f(-2 012)+f(2 013)= f(-2 011)+f(2 012)= 故f(-2 012)+f(-2 011)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2 013,方法二：令S=f(-2 012)+f(-2 011)+f(2 013) 則S=f(2 013)+f(2 012)+f(-2 012) 2S=4 026f(-2 012)+f(2 013)=,反思感悟】解決與歸納推理有關(guān)問題的關(guān)鍵點(diǎn)是找出其中 的規(guī)律，如第(1)題中通過遞推關(guān)系得f2(x),f3(x),f4(x)可觀 察其分子一樣，分母變化的是x的系數(shù)，故可推出一般結(jié)論;第 (2)題中的關(guān)鍵問題是第n個(gè)等式的左邊第

10、一個(gè)數(shù)是多少，通過 觀察可看出是第1+2+(n-1)+1個(gè)奇數(shù)，從而確定其等式 關(guān)系；第(3)題中規(guī)律是0+1=0+1-0,-1+2=-1+1-(-1),-2+3= -2+1-(-2),從而得x+(1-x)的聯(lián)想，x+(1-x)也可看成-x+1+x， 即 也成立,變式備選】已知函數(shù) (1)分別求 的值； (2)歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明； (3)求值,解析】(1) 同理可得 (2)由(1)猜想 證明,3)由(2)可得，原式=f(1)+f(2)+ + f(3)+ +f(2 011)+ =f(1)+2 010,類比推理 【方法點(diǎn)睛】1.類比推理的步驟 類比推理是根據(jù)兩個(gè)對象有一部分屬性類似，推

11、出這兩個(gè)對象其他屬性亦類似的一種推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般步驟為： (1)找出兩類事物之間的相似性或一致性； (2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想,2.類比的方法 類比推理的關(guān)鍵是找到合適的類比對象.平面幾何中的一些定理、公式、結(jié)論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結(jié)論.一般平面中的一些元素與空間中的一些元素的類比如表所示,例2】(2012安溪模擬)已知命題：“若數(shù)列an是等比數(shù) 列，且an0，則數(shù)列 也是等比數(shù)列”.類 比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明 你的結(jié)論. 【解題指南】等差數(shù)列中的和類比等比數(shù)列中的積，等差數(shù)列中的

12、算術(shù)平均數(shù)類比等比數(shù)列中的幾何平均數(shù)，故本題中的等比數(shù)列的幾何平均數(shù)應(yīng)與等差數(shù)列的算術(shù)平均數(shù)類比,規(guī)范解答】類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：若數(shù)列an是等差數(shù)列， 則數(shù)列 也是等差數(shù)列. 證明如下：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則 所以數(shù)列bn是以a1為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列,反思感悟】1.在數(shù)學(xué)中，類比是發(fā)現(xiàn)概念、方法、定理和公式的重要手段，數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、等差與等比之間有不少結(jié)論，都是先用類比法猜想，而后加以證明的. 2.類比的關(guān)鍵是確定兩類對象之間，某些性質(zhì)的可比性與合理性,變式訓(xùn)練】請用類比推理完成下表,解析】本題由已知前兩組類比

13、可得到如下信息： 三角形 的 面積 等于其 內(nèi)切圓 半徑與 三角形周長 的乘積的 一半 類比 類比 類比 類比 類比 三棱錐 的 體積 等于其 內(nèi)切球 半徑與 三棱錐表面積 的乘積的 三分之一 故第三行空格應(yīng)填：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一.(本題結(jié)論可用等體積法，將三棱錐分割成四個(gè)小三棱錐去證明，證明略) 答案：三棱錐的體積等于其內(nèi)切球半徑與三棱錐表面積的乘積的三分之一,變式備選】平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如一組對邊平行且相等、兩組對邊分別平行等.類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件： 充要條件：_ 充要條件：_ 【解析

14、】兩組對邊分別平行類比可得三組對面分別平行.一組對邊平行且相等類比可得兩組對面分別平行且全等. 答案:三組對面分別平行 兩組對面分別平行且全等(答案不惟一,演繹推理 【方法點(diǎn)睛】演繹推理的特點(diǎn) (1)演繹推理的結(jié)構(gòu) 演繹推理是由一般到特殊的推理，其最常見的形式是三段論，它是由大前提、小前提、結(jié)論三部分組成的.三段論推理中包含三個(gè)判斷：第一個(gè)判斷稱為大前提，它提供了一個(gè)一般的原理；第二個(gè)判斷叫小前提，它指出了一個(gè)特殊情況.這兩個(gè)判斷聯(lián)合起來，提示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，從而產(chǎn)生了第三個(gè)判斷：結(jié)論,2)演繹推理的理論依據(jù) 其推理的依據(jù)用集合論的觀點(diǎn)來講就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，

15、S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P. 【提醒】應(yīng)用三段論時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，有時(shí)可省略,例3】證明：函數(shù)f(x)=-x2+2x在1,+)上是減函數(shù). 【解題指南】證明函數(shù)的增減性，其大前提是單調(diào)性的定義，若函數(shù)滿足單調(diào)性的定義，則其增減性可得. 【規(guī)范解答】任取x1,x21,+)，且x11,x1+x22, f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x1+x2-2)0, 函數(shù)f(x)=-x2+2x在1,+)上是減函數(shù),反思感悟】演繹推理是證明數(shù)學(xué)問題的基本推理形式，因此在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，三段論推理是演繹推理的一種重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前

16、提真實(shí)并且推理形式正確的前提下，其結(jié)論就必然真實(shí),變式訓(xùn)練】已知函數(shù)y=f(x)，滿足： 對任意a,bR,ab，都有af(a)+bf(b)af(b)+bf(a), (1)試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù). (2)若x,y為正實(shí)數(shù)且 比較f(x+y)與f(6)的大小,解析】(1)設(shè)x1,x2R,取x1x1f(x2)+x2f(x1)， x1f(x1)-f(x2)+x2f(x2)-f(x1)0， f(x2)-f(x1)(x2-x1)0， x10,f(x2)f(x1). 所以y=f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù),2)因?yàn)閤,y為正實(shí)數(shù),且 所以 當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號(hào)， 因?yàn)閒(x)在R上是增函數(shù)， 所以

17、f(x+y)f(6,易錯(cuò)誤區(qū)】歸納推理的解答誤區(qū) 【典例】(2011江西高考)觀察下列各式：72=49,73=343, 74=2 401,，則72 011的末兩位數(shù)字為( ) (A)01 (B)43 (C)07 (D)49 【解題指南】需先求出75=16 807,76=117 649，觀察后兩位發(fā)現(xiàn)呈周期變化，周期為4，易得72 011的末兩位數(shù)字,規(guī)范解答】選B.由條件知：75=16 807,76=117 649, 77=823 543,觀察發(fā)現(xiàn)后兩位數(shù)字呈周期變化，周期為4，又2 011=4502+3, 72 011的末兩位數(shù)字是43,閱卷人點(diǎn)撥】通過高考中的閱卷數(shù)據(jù)分析與總結(jié)，我們可以得

18、到以下誤區(qū)警示和備考建議,1.(2011陜西高考)觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為_,解析】把已知等式與行數(shù)對應(yīng)起來，則每一個(gè)等式的左邊的式子的第一個(gè)數(shù)是行數(shù)n，加數(shù)的個(gè)數(shù)是2n-1;等式右邊都是完全平方數(shù)， 行數(shù) 等號(hào)左邊的項(xiàng)數(shù) 1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7,則第5行等號(hào)的左邊有9項(xiàng)，右邊是9的平方，所以5+6+5+(25-1)-1=92,即5+6+13=81. 答案：5+6+7+8+9+10+11+12+13=81(或5+6+13=81,2.(20