高一函數(shù)經(jīng)典難題講解

1、1.已知函數(shù)f(x)=(x+1-a)/(a-x),xR且xa,當(dāng)f(x)的定義域?yàn)閍-1,a-1/2時(shí),求f(x)值 解:由題知，已知函數(shù)f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)= -1+1/(a-x),當(dāng)f(x)的定義域?yàn)閍-1,a-1/2時(shí)xa-1,a-1/2(a-x)1/2,11/(a-x)1,2f(x)=-1+1/(a-x)0,12.設(shè)a為非負(fù)數(shù),函數(shù)f(x)=x|x-a|-a. (1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(2)討論函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解析：(1)函數(shù)f(x)=x|x-2|-2當(dāng)x=2時(shí)，f(x)=x2-2x-2，為開口向上拋物線，對稱軸為x=1當(dāng)x(-,1)

2、時(shí)，f(x)單調(diào)增；當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)單調(diào)減；當(dāng)x(2,+)時(shí)，f(x)單調(diào)增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,a=0時(shí)x=0,零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；a0時(shí)x0,由，x=a,x2-ax-a=0,x1=a+(a2+4a)/2;0xa4時(shí)，無實(shí)根，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1。a0時(shí)，x=a-4,x2-ax-a=0,x1,2=a土(a2+4a)/2；xa時(shí)x2-ax+a=0，x3=a-(a2-4a)/2,零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3;a=-4時(shí)x1,2=a/2,零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2;a-4時(shí)無實(shí)根，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.綜上，a4時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；a=土4時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；-4a0,或0a4時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.3.已知函數(shù)f(

3、x)=log3為底 1-m(x+2)/x-3的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱（1）求常數(shù)m的值（2）當(dāng)x（3,4）時(shí)，求f(x)的值域；（3）判斷f(x)的單調(diào)性并證明。解：1、函數(shù)f(x)=log3 1-m(x+2)/(x-3)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則該函數(shù)是奇函數(shù)，滿足f(-x)=-f(x)。log3 1-m(2-x)/(-x-3)=-log3 1-m(x+2)/(x-3)log3 1-m(2-x)/(-x-3)=log3(x-3)/ 1-m(x+2)1-m(2-x)/(-x-3)=(x-3)/1-m(x+2)化簡得 -x2+9=-m2(x2)+(2m-1)2所以 -m2=-1（2m-1)2=9解得 m=-

4、1所以,函數(shù)解析式為f(x)=log3 (x+3)/(x-3)2、先求t(x)=(x+3)/(x-3)在（3,4)上的值域。t(x）=（x+3)/(x-3)=(x-3)+6/(x-3)=1+6/(x-3)當(dāng)3x4時(shí)，0x-31,6/(x-3)6所以 t(x)=1+6/(x-3)7那么,原函數(shù)在（3,4)上值域是（log3 (7)，正無窮）3、先求函數(shù)定義域(x+3)/(x-3)0且x3 解得 x3或x3時(shí)，因?yàn)閠(x)=(x+3)/(x-3)=1+6/(x-3)單調(diào)遞減，所以 函數(shù)f(x)=log3 t(x)單調(diào)遞減。（2）當(dāng)x-3時(shí)，因?yàn)閠(x)=(x+3)/(x-3)=1+6/(x-3)單

5、調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)=log3 t(x)單調(diào)遞減。4.已知函數(shù)f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函數(shù).(1)求k的值(2)設(shè)f（x）=log4(a2x-4/3a)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:（1）f(x)=log4（4x+1)+kx（KR）是偶函數(shù)，f(-x)=f(x),即log4(-x)+1+k(-x)=log(4x+1)+kx,log4(-x)+1/(4x+1)=2kx,-x=2kx,k=-1/2.(2)f(x)=log4(4x+1)-x/2=log4(4x+1)-log4(2x)=log4(4x+1)/2x g(x)=log4(a 2x-4/3a)聯(lián)立 log4(

6、4x+1)/2x=log4(a 2x-4/3a) (4x+1)/2x=a2x-4/3a 不妨設(shè)t=2x t0t2+1/t=at-4/3at2+1=at2-4/3at(a-1)t2-4/3at-1=0設(shè)u(t)=(a-1)t2-4/3at-1兩函數(shù)圖像只有1個(gè)公共點(diǎn)，在這里就變成了有且只有一個(gè)正根1.當(dāng)a=1時(shí) t=- 3/4 不滿足 (舍)2.當(dāng)=0時(shí) a=3/4 或a=-3 a=3/4時(shí) t= -1/20 （舍） a=-3時(shí) t=1/2滿足3.當(dāng)一正根一負(fù)根時(shí)(a-1) u(0)0 (根據(jù)根的分布)a1綜上所述，得a=-3或a15.這個(gè)是概念的問題:1.對于f(x)取值范圍（0，無窮），f(

7、x)+bf(x)+c=0最多有兩個(gè)不同的f(x)。2.對f(x)的圖像進(jìn)行分析，知道f(x)=1對應(yīng)的x值有三個(gè)，即除x=2外另有兩個(gè)關(guān)于x=2對稱的x。f(x)不等于1時(shí)對應(yīng)的x值有兩個(gè)，即兩個(gè)關(guān)于x=2對稱的兩個(gè)x。3.題意說f(x)+bf(x)+c=0對應(yīng)的x根有5個(gè)，顯然滿足f(x)+bf(x)+c=0的f(x)有兩個(gè)，一個(gè)f(x)對應(yīng)三個(gè)x值，設(shè)為x1,x2,x3;另一個(gè)f（x）對應(yīng)兩個(gè)x,設(shè)為x4,x5;根據(jù)以上分析，應(yīng)有x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4 則f（x1+x2+x3+x4+x5）=f(10)=1/8,選B6. 已知函數(shù),f(x)的值域是0【1，+）.

8、求關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有五個(gè)根的充要條件?函數(shù)圖像是一個(gè)“W”字樣兩個(gè)V字的連接點(diǎn)落到坐標(biāo)原點(diǎn)的形狀，也就是兩個(gè)“V”字加原點(diǎn)7. 定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f(x),當(dāng)x0時(shí)，f(x)=lnx-ax(a屬于R)，方程f(x)=0在R上恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解（1）求x0時(shí)有兩個(gè)解當(dāng)x0，f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax2)當(dāng)a0時(shí)，y=lnx , y=-ax在x 0時(shí)都單調(diào)增，則f(x)=lnx-ax 在x 0時(shí)單調(diào)增，只有一個(gè)解，不滿足題意當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=lnx 在x 0時(shí)單調(diào)增，只有一個(gè)解，不滿足題意當(dāng)a0時(shí)，f (x)=1/x-a 當(dāng)x=1/a時(shí)，f (x)=0

9、，f(x)在(0,1/a)單調(diào)增,在(1/a,+)單調(diào)減,在x=1/a取到最大值 要f(x)在x 0時(shí)有兩個(gè)解,只要f(1/a)0，即ln(1/a)1,1/ae,得a1/e綜上,a(0,1/e)8.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x），當(dāng)x0時(shí)，f（x）=lnx-ax（aR），方程f（x）=0在R上恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解（1）求x0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式；（2）求實(shí)數(shù)a的取值范圍解答：解：（1）設(shè)x0，則-x0f（x）為偶函數(shù)，f（x）=f（-x）=ln（-x）+ax（2）f（x）為偶函數(shù)，f（x）=0的根關(guān)于原點(diǎn)對稱由f（x）=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解知5個(gè)實(shí)根中有兩個(gè)正根，二個(gè)負(fù)根，一個(gè)零根且兩個(gè)正根

10、和二個(gè)負(fù)根互為相反數(shù)原命題當(dāng)x0時(shí)f（x）圖象與x軸恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)下面研究x0時(shí)的情況：f（x）=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)y=lnx與直線y=ax交點(diǎn)的個(gè)數(shù)當(dāng)a0時(shí)，y=lnx遞增與直線y=ax下降或與x軸重合，故交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，不合題意，a0由幾何意義知y=lnx與直線y=ax交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，直線y=ax的變化應(yīng)是從x軸到與y=lnx相切之間的情形 設(shè)切點(diǎn)(t，lnt)k(lnx)|xt，切線方程為：ylnt(xt)由切線與y=ax重合知a，lnt1te，a，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，)9.函數(shù)y=loga(2x-3)+的圖像恒過定點(diǎn)P，P在冪函數(shù)f(x)的圖像上，則f(9)=_ 解:由于 log

11、a(1) 恒等于0，所以 P坐標(biāo)為（2，），而P在冪函數(shù)的圖像上，所以設(shè)這個(gè)函數(shù)為 f(x)=xa，則 =2a，解得 a=-1/2，所以 f(9)=9(-1/2)=1/9=1/3。10.函數(shù)y=loga(-x)+2的圖像恒過定點(diǎn)P，P在冪函數(shù)f(x)的圖像上，則f(2)=_解:P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，2），與a無關(guān)而冪函數(shù)f(x)=bx要經(jīng)過P點(diǎn)，則2=b-1，所以b=1/2所以f(2)=(1/2)2=1/411. 若偶函數(shù)f（x）滿足f（x-1）=f（x+1）且在x屬于【0，1】時(shí) f（x）=x的平方，則關(guān)于x的方程f（x）=(1/10)的x的平方在0,10/3上的實(shí)數(shù)根有幾個(gè)f(x1)=f(x1

12、)，則函數(shù)f(x)的周期為2，可以作出函數(shù)f(x)的圖像。另外設(shè)g(x)=(1/10)x²，利用圖像，得出方程f(x)=g(x)的根有2個(gè)。12.已知偶函數(shù)f（x）滿足f（x1）=f（x-1），且x0,1，f（x）=（x-1），則f（7/2）=解:由f(x+1)=f(x-1) 則f(x+2)=f(x) 所以 T=2 所以偶函數(shù)f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2)=f(1/2)=(1/2-1)=1/413.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)xg(-x)=f(-x-1)=f(x+1)f(2011)=g(2012)f(2013)=g(-2012)f（2011）+f（2013）

13、=016.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)+g(x)=1/x-1,則f(x)=_”解:f(x)+g(x)=1/（x1） （1）f(-x)+g(-x)=-1/（x+1） （2）由f(x)=f(-x)，g(-x)=-g(x)可知f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-1/（x+1） （3）（1）和（3）相加則有2f(x)=-1/（x1）-1/（x+1）則f(x)=1/(x2-1)17.函數(shù)f(x)對任意實(shí)數(shù)x1,x2,總有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且當(dāng)x0時(shí),f(x)3(1).求證:f(x)在R上是增函數(shù)(2).若f(3)=6,解不等式f(a2-3a

14、-9)4(1).證明：任取x1,x2,且x10, f(x2-x1)3,f(x2)= f(x2-x1)+x1= f(x2-x1)+f(x1)-3= f(x1)+f(x2-x1)-3f(x1),對任意x1x2,都有f(x1)f(x2),故f(x)在R上為增函數(shù)。(2)由f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-3=f(1+1)+f(1)-3=f(1)+f(1)-3+f(1)-3=3f(1)-6=6,得f(1)=4,f(a2-3a-9)f(1),f(x)在R上為增函數(shù)，a2-3a-91,即(a-5)(a+2)0,解得-2a0時(shí)，f（x）1.(1) 求證：f（x）1f（-x）10；(2)證：f(x)

15、是R上的增函數(shù)(1)證明：令x1=x，x2=0 f(x)=f(0)+f(x)-1 即f(0)=1又令x1=x，x2=-x 則f(0)=f(x)+f(-x)-1又f(0)=1 f(x)+f(-x)=2 f（x）1f（-x）10 (2)證明：設(shè) x10f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1當(dāng)x0時(shí)，f（x）1 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-11（注：已知條件）即是f(x2)+f(-x1)2又f(x)+f(-x)=2（注：已證明） f(x2)+2-f(x1)2 整理得：f(x2)-f(x1)0,即f(x1)f(x2)在實(shí)數(shù)R上，存在有任意x1x2,f(x1)0時(shí)有f(x)1,且f(3)=41.求f(1),f(4)的值2.判斷并證明f(X)的單調(diào)性3.若關(guān)于x的不等式f(ax-1)f(f(4)x)的解集中最大的整數(shù)為2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍用賦值法代就行了解：（1）令x=y=1可得f（1+1）=f（1）+ f（1）1 令x=1 y=2可得f（1+2）= f（1）+f（2）1 已知f(3)=4 聯(lián)立上式得f（1）=2 令x=1 y=3得f（1+3）= f（1）+ f(3)1=5（2）令y=1 帶入已知的抽象函數(shù)f（x+1）=f（x）+f（1）1 移項(xiàng)得f（x+1）f（x）=1 所以函