第2章邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)

1、第2章 邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)內(nèi)容提要本章是數(shù)字邏輯電路的基礎(chǔ)，主要內(nèi)容包含：（1）基本邏輯概念，邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算（與、或、非）及其復(fù)合運(yùn)算（與非、或非、與或非、同或、異或等）。（2）邏輯代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)律（變量和常量的關(guān)系、交換律、結(jié)合律、分配律、重疊律、反演律、調(diào)換律等）。（3）邏輯代數(shù)基本運(yùn)算公式及三個(gè)規(guī)則（代入規(guī)則、反演規(guī)則和對(duì)偶規(guī)則）。（4）邏輯函數(shù)的五種表示方法（真值表法、表達(dá)式法、卡諾圖法、邏輯圖法及硬件描述語(yǔ)言）及其之間關(guān)系。本章主要講述了前三種。（5）邏輯函數(shù)的三種化簡(jiǎn)方法（公式化簡(jiǎn)法、卡諾圖法和QM法）。教學(xué)基本要求要求掌握：（1）邏輯代數(shù)的基本定律和定理。（2）邏輯問(wèn)題

2、的描述方法。（3）邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法。重點(diǎn)與難點(diǎn)本章重點(diǎn)：（1）邏輯代數(shù)中的基本公式、基本定理和基本定律。（2）常用公式。（3）邏輯函數(shù)的真值表、表達(dá)式、卡諾圖表示方法及其相互轉(zhuǎn)換。（4）最小項(xiàng)和最大項(xiàng)概念。（5）邏輯函數(shù)公式化簡(jiǎn)法和卡諾圖化簡(jiǎn)法。主要教學(xué)內(nèi)容2.1 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算2.1.1 三種基本運(yùn)算2.1.2 復(fù)合運(yùn)算 2.2 邏輯代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)律 2.3 邏輯代數(shù)的常用運(yùn)算公式和三個(gè)規(guī)則2.3.1 邏輯代數(shù)的常用運(yùn)算公式2.3.2 邏輯代數(shù)的三個(gè)規(guī)則 2.4 邏輯函數(shù)及其描述方法2.4.1 邏輯函數(shù) 2.4.2 邏輯函數(shù)及其描述方法2.4.3 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式2

3、.4.4 邏輯函數(shù)的同或、異或表達(dá)式 2.5 邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)2.5.1 公式法化簡(jiǎn) 2.5.2 卡諾圖化簡(jiǎn)2.1 邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算2.1.1 三種基本運(yùn)算1. 與運(yùn)算（邏輯乘）2. 或運(yùn)算（邏輯加）3. 非運(yùn)算（邏輯非）2.1.2 復(fù)合運(yùn)算1. 與非運(yùn)算與非運(yùn)算是與運(yùn)算和非運(yùn)算的組合，先進(jìn)行與運(yùn)算，再進(jìn)行非運(yùn)算。2. 或非運(yùn)算或非運(yùn)算是或運(yùn)算和非運(yùn)算的組合，先進(jìn)行或運(yùn)算，再進(jìn)行非運(yùn)算。3. 與或非運(yùn)算與或非運(yùn)算是與運(yùn)算、或運(yùn)算和非運(yùn)算的組合，先進(jìn)行與運(yùn)算，再進(jìn)行或運(yùn)算，最后進(jìn)行非運(yùn)算。4. 同或運(yùn)算同或邏輯是這樣一種邏輯關(guān)系，當(dāng)A、B相同時(shí)，輸出P為1；當(dāng)A、B不相同時(shí)，輸出P

4、為0。5. 異或運(yùn)算異或邏輯與同或邏輯相反，當(dāng)A、B不相同時(shí)，輸出P為1；當(dāng)A、B相同時(shí)，輸出P為0。2.2 邏輯代數(shù)運(yùn)算的基本規(guī)律 表221列出了邏輯代數(shù)的基本公式和基本規(guī)律。表221 邏輯代數(shù)基本公式以上基本公式也叫布爾恒等式，其正確性均可用真值表證明。對(duì)于異或、同或邏輯運(yùn)算也有相類似的基本運(yùn)算公式，如表222所示。表222 異或和同或邏輯運(yùn)算的基本公式和基本規(guī)律必須說(shuō)明的是，調(diào)換律是同或、異或的特殊規(guī)律，它說(shuō)明等式兩邊的變量是可以調(diào)換的。利用調(diào)換律可以證明：例21 證明。證：對(duì)于同或和異或函數(shù)，非運(yùn)算也可以調(diào)換，即根據(jù)同或和異或重疊律可以推廣為（1）奇數(shù)個(gè)A重疊同或運(yùn)算得A，偶數(shù)個(gè)A 重

5、疊同或運(yùn)算得 1。（2）奇數(shù)個(gè)A重疊異或運(yùn)算得A，偶數(shù)個(gè)A 重疊異或運(yùn)算得 0。2.3 邏輯代數(shù)的常用運(yùn)算公式和三個(gè)規(guī)則2.3.1 邏輯代數(shù)的常用運(yùn)算公式表231列出了邏輯代數(shù)的常用公式。以上各公式在公式法化簡(jiǎn)中可以消去多余變量和多余乘積項(xiàng)。2.3.2 邏輯代數(shù)的三個(gè)規(guī)則1.代入規(guī)則任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)變量A的地方都代之以一個(gè)邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。利用代入規(guī)則可以擴(kuò)大邏輯代數(shù)等式的應(yīng)用范圍。2.反演規(guī)則對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式F，如果將F中所有的“”換為“+”，所有的“+”換為“”，所有的0換為1，所有的1換為0，所有的原變量換為反變量，所有的反變量換為原變量，則得

6、到一個(gè)新的函數(shù)式為F。F為原函數(shù)F的反函數(shù)，它是反演律的推廣。利用反演規(guī)則可以很方便地求出反函數(shù)。例22 求邏輯函數(shù)F的反函數(shù)解（1）根據(jù)反演規(guī)則 （2）如果將作為一個(gè)整體，則 （3）如果將作為一個(gè)變量，則以上三式等效，但繁簡(jiǎn)程度不同。3. 對(duì)偶規(guī)則對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式F，如果將F中所有的“”換為“+”，所有的“+”換為“”； 所有的0換為1，所有的1換為0，則得到一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式F*，F(xiàn)*稱為F的對(duì)偶式。在證明或化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，有時(shí)通過(guò)對(duì)偶式來(lái)證明或化簡(jiǎn)更方便。邏輯代數(shù)中邏輯運(yùn)算的規(guī)則是“先括號(hào)，然后乘，最后加”的運(yùn)算優(yōu)先次序。在以上三個(gè)規(guī)則應(yīng)用時(shí)，都必須注意與原函數(shù)的運(yùn)算順序不變。

7、2.4 邏輯函數(shù)及其描述方法2.4.1 邏輯函數(shù)如果以邏輯變量作為輸入，以運(yùn)算結(jié)果作為輸出，則輸出與輸入之間是一種函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)。任何一個(gè)具體的因果關(guān)系都可以用邏輯函數(shù)來(lái)描述它的邏輯功能。2.4.2 邏輯函數(shù)的描述方法邏輯函數(shù)的描述方法有真值表、函數(shù)表達(dá)式、卡諾圖、邏輯圖及硬件描述語(yǔ)言。有關(guān)卡諾圖及硬件描述語(yǔ)言將在后面敘述。1.真值表求出邏輯函數(shù)輸入變量的所有取值下所對(duì)應(yīng)的輸出值，并列成表格，稱為真值表。例23 有a、b、c三個(gè)輸入信號(hào)，只有當(dāng)a為1，且b、c至少有一個(gè)為1時(shí)輸出為1，其余情況輸出為0。解 a、b、c三個(gè)輸入信號(hào)共有8種可能，如表241左邊所列。對(duì)應(yīng)每一個(gè)輸

8、入信號(hào)的組合均有一個(gè)確定輸出。根據(jù)題意，如表241右邊所列，則表241即為例23所述問(wèn)題的真值表。表241 例23真值表2. 邏輯函數(shù)表達(dá)式將輸出和輸入之間的關(guān)系寫成與、或、非運(yùn)算的組合式就得到邏輯函數(shù)表達(dá)式。根據(jù)例23中的要求及與、或邏輯的基本定義，“b、c中至少有一個(gè)為1”可以表示為或邏輯關(guān)系(b+c)，同時(shí)還要a為1，可以表示為與邏輯關(guān)系，寫成a(b+c)。因此可以得到例23的邏輯函數(shù)表達(dá)式3. 邏輯圖將邏輯函數(shù)表達(dá)式中各變量之間的與、或、非等邏輯關(guān)系用邏輯圖形符號(hào)表示，即得到表示函數(shù)關(guān)系的邏輯圖。例23的邏輯圖如圖241所示。圖 241 例23的邏輯圖4. 各種描述方法之間的相互轉(zhuǎn)換（

9、1）由真值表寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式。一般方法為： 由真值表中找出使邏輯函數(shù)輸出為1的對(duì)應(yīng)輸入變量取值組合。 每個(gè)輸入變量取值組合狀態(tài)以邏輯乘形式表示，用原變量表示變量取值1，用反變量表示變量取值0。 將所有使輸出為1的輸入變量取值邏輯乘進(jìn)行邏輯加，即得到邏輯函數(shù)表達(dá)式。例24 由表242寫出邏輯函數(shù)表達(dá)式。解 由表242可見(jiàn)，使F=1的輸入組合有abc為000、001、010、100和111，對(duì)應(yīng)的邏輯乘為a b c、a b c、abc、ab c和abc，所以邏輯函數(shù)表達(dá)式為表242真值表（2）由邏輯函數(shù)表達(dá)式列真值表將輸入變量取值的所有狀態(tài)組合逐一列出，并將輸入變量組合取值代入表達(dá)式，求出函數(shù)值

10、，列成表，即為真值表。（3）由邏輯函數(shù)表達(dá)式畫邏輯圖用邏輯圖符號(hào)代替函數(shù)表達(dá)式中的運(yùn)算符號(hào)，即可畫出邏輯圖。例25 已知邏輯函數(shù)表達(dá)式為，試畫出相應(yīng)邏輯圖。解 用與、或、非等邏輯圖符號(hào)代替表達(dá)式中的運(yùn)算符號(hào)，按運(yùn)算的優(yōu)先順序連接起來(lái)，如圖242所示。圖 242 例25邏輯圖（4）由邏輯圖寫邏輯函數(shù)表達(dá)式從輸入端開(kāi)始逐級(jí)寫出每個(gè)邏輯圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯運(yùn)算，直至輸出，就可以得到邏輯函數(shù)表達(dá)式。2.4.3 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式有最小項(xiàng)表達(dá)式（標(biāo)準(zhǔn)與或式）和最大項(xiàng)表達(dá)式（標(biāo)準(zhǔn)或與式）。1. 最小項(xiàng)表達(dá)式（標(biāo)準(zhǔn)與或式）在一個(gè)邏輯函數(shù)的與或表達(dá)式中，每一個(gè)乘積項(xiàng)（與項(xiàng)）都包含了全部輸入變量

11、，每個(gè)輸入變量或以原變量形式，或以反變量形式在乘積項(xiàng)中出現(xiàn)，并且僅僅出現(xiàn)一次，這樣的函數(shù)表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)與或式。由于包含全部輸入變量的乘積項(xiàng)稱為最小項(xiàng)，所以全部由最小項(xiàng)邏輯加構(gòu)成的與或表達(dá)式又稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。（1）最小項(xiàng)的性質(zhì)由于最小項(xiàng)包含了全部輸入變量，且每個(gè)輸入變量均以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次，所以有以下性質(zhì)： 在輸入變量的任何取值下必有一個(gè)最小項(xiàng)，而且只有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1。 全部最小項(xiàng)之和為1。 任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0。（2）最小項(xiàng)編號(hào)假設(shè)一個(gè)3變量函數(shù)，ABC為其最小項(xiàng)，只有當(dāng)A=1，B=0，C=1時(shí)才會(huì)使最小項(xiàng)ABC=1，如果將ABC取值101看作二進(jìn)制數(shù)，那么它所表示的十進(jìn)制

12、數(shù)為5，為了以后書寫及使用方便，記作m5。據(jù)此，可以得到3變量最小項(xiàng)編號(hào)表，如表243所示。表243 3變量最小項(xiàng)和最大項(xiàng)（3）如何求最小項(xiàng)表達(dá)式 由真值表寫出的邏輯函數(shù)表達(dá)式為最小項(xiàng)表達(dá)式，因此對(duì)一個(gè)任意的邏輯函數(shù)表達(dá)式可以先轉(zhuǎn)換成真值表，再寫出最小項(xiàng)表達(dá)式。例26 將F=AB+BC 轉(zhuǎn)換成最小項(xiàng)表達(dá)式。解 F=AB+BC 的真值表如表244所示。 表244 例26真值表 利用A=AB+AB把非標(biāo)準(zhǔn)與或式中每一個(gè)乘積項(xiàng)所缺變量補(bǔ)齊，展開(kāi)成最小項(xiàng)表達(dá)式。如例26中，F(xiàn)是包含A、B、C三變量的函數(shù)，則2. 最大項(xiàng)表達(dá)式（標(biāo)準(zhǔn)或與式）（1）最大項(xiàng)的性質(zhì)最大項(xiàng)是指這樣的和項(xiàng)，它包含了全部變量，每個(gè)變

13、量或以原變量或以反變量的形式出現(xiàn)，且僅僅出現(xiàn)一次，因此：在輸入變量的任何取值下，必有一個(gè)最大項(xiàng)，而且只有一個(gè)最大項(xiàng)的值為0。全體最大項(xiàng)之積為0。任意兩個(gè)最大項(xiàng)之和為1。（2）最大項(xiàng)編號(hào)見(jiàn)表243最右列。全部由最大項(xiàng)組成的邏輯表達(dá)式為標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式，又稱為最大項(xiàng)表達(dá)式。（3）如何求最大項(xiàng)表達(dá)式 由真值表可以直接寫出最大項(xiàng)表達(dá)式。將真值表中輸出為0的一組輸入變量組合狀態(tài)（用原變量表示變量取值0，用反變量表示變量取值1）用邏輯加形式表示，再將所有的邏輯加進(jìn)行邏輯乘，就得到標(biāo)準(zhǔn)或與表達(dá)式。對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)表達(dá)式均可先列真值表，再寫出標(biāo)準(zhǔn)或與式（最大項(xiàng)表達(dá)式）。如由表243可以寫出例26函數(shù)F的最大項(xiàng)表

14、達(dá)式為 利用A=(A+B)(A+B)，將每個(gè)和項(xiàng)所缺變量補(bǔ)齊，展開(kāi)成最大項(xiàng)表達(dá)式。（4）最小項(xiàng)表達(dá)式與最大項(xiàng)表達(dá)式的關(guān)系如果有一個(gè)函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式為則其最大項(xiàng)表達(dá)式為ji，j為2n個(gè)編號(hào)中除去i以外的號(hào)碼。如上例中2.5 邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)2.5.1 公式法化簡(jiǎn)所謂化簡(jiǎn)就是使邏輯函數(shù)中所包含的乘積項(xiàng)最少，而且每個(gè)乘積項(xiàng)所包含的變量因子最少，從而得到邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)與或邏輯表達(dá)式。邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)通常有以下三種方法：（1）公式化簡(jiǎn)法又稱代數(shù)法，利用邏輯代數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)。它可以化簡(jiǎn)任意邏輯函數(shù)，但取決于經(jīng)驗(yàn)、技巧、洞察力和對(duì)公式的熟練程度。（2）卡諾圖法又稱圖解法。卡諾圖化簡(jiǎn)比較直觀、方便，但對(duì)于5變量以上

15、的邏輯函數(shù)就失去直觀性。（3）QM法又稱為列表法。這種方法適合于機(jī)器運(yùn)算，已有數(shù)字電路計(jì)算機(jī)輔助分析程序。公式法化簡(jiǎn)常用以下四種方法：1. 合并法常用公式AB+AB=A，兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)。2. 吸收法常用公式A+AB=A及AB+AC+BCD.=AB+AC，消去多余項(xiàng)。3. 消去法常用公式A+AB=A+B，消去多余因子。4. 配項(xiàng)法常用公式A+A=1，將某乘積項(xiàng)乘以（A+A），一項(xiàng)展開(kāi)成兩項(xiàng)，或利用公式AB+AC=AB+AC+BC，配BC項(xiàng)。配項(xiàng)的目的是為了和其他乘積項(xiàng)合并，以達(dá)到最簡(jiǎn)的目的。例28 化簡(jiǎn)函數(shù)。解 例29 化簡(jiǎn)函數(shù)F=(A+B)(A+B)(B+C)(A+C)。解 求F的對(duì)偶式再求F

16、*的對(duì)偶式例210 化簡(jiǎn)函數(shù)解 2.5.2 卡諾圖化簡(jiǎn)1. 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)的方法所謂卡諾圖就是將n變量的全部最小項(xiàng)各用一個(gè)小方格表示，最小項(xiàng)按循環(huán)碼（即相鄰兩組之間只有一個(gè)變量取值不同的編碼）規(guī)則排列組成的方格圖。圖251（a）和（b）分別為3變量函數(shù)和4變量函數(shù)的卡諾圖。圖251 3變量函數(shù)和4變量函數(shù)的卡諾圖n變量的卡諾圖可以表示n變量的邏輯函數(shù)。若，則在卡諾圖對(duì)應(yīng)的mi最小項(xiàng)的方格中填1，其余填0。2. 卡諾圖合并最小項(xiàng)規(guī)律將2i個(gè)相鄰的1格進(jìn)行合并（卡諾圖中加圈表示），合并成一項(xiàng)，該乘積項(xiàng)由（ni）個(gè)變量組成。3. 卡諾圖化簡(jiǎn)的基本步驟用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，一般按如下步驟進(jìn)行：

17、（1）作出描述邏輯函數(shù)的卡諾圖。（2）圈出沒(méi)有相鄰的1格。（3）找出只有一種合并可能的1格，從它出發(fā)，把含有2i個(gè)相鄰1格圈在一起，構(gòu)成一個(gè)合并乘積項(xiàng)。（4）余下沒(méi)有被包含的1格有兩種或兩種以上合并可能，選擇既能包含全部1格又使圈數(shù)最少的合并方法，使卡諾圖中全部1格均被覆蓋。例211 用卡諾圖化簡(jiǎn)F=AB+B D+BCD+A BC。解 卡諾圖如圖252所示，化簡(jiǎn)得F=AB+B D+ACD。圖252 例211卡諾圖例212 已知求F=XY的最簡(jiǎn)與或邏輯表達(dá)式。解 要求F的卡諾圖，可以通過(guò)X和Y卡諾圖進(jìn)行異或運(yùn)算，即X、Y兩卡諾圖相同位置上的數(shù)值進(jìn)行異或運(yùn)算，得F的卡諾圖，如圖253所示。對(duì)F化簡(jiǎn)

18、得F=B+AC+AD。圖 253自我檢測(cè)題 1. 判斷以下邏輯關(guān)系（正確打，錯(cuò)誤打）：（1）若A=B，則AB=A。 ( )（2）若AB=AC，則B=C。 ( )（3）若A+B=A+C，則B=C。 ( )（4）若A+B=A+C且AB=AC，則B=C。 ( ) 2. 判斷下列函數(shù)F1和F2有何關(guān)系？為什么？ 3. 以下情況中，哪一種是正確的：（1）一個(gè)邏輯函數(shù)全部最小項(xiàng)之和恒等于0；（2）一個(gè)邏輯函數(shù)全部最大項(xiàng)之和恒等于0；（3）一個(gè)邏輯函數(shù)全部最小項(xiàng)之和恒等于1；（4）一個(gè)邏輯函數(shù)全部最大項(xiàng)之和恒等于1； 4. 試求F函數(shù)的反函數(shù)G，并寫出G的最簡(jiǎn)與或式和標(biāo)準(zhǔn)與或式。 5. 用代數(shù)法化簡(jiǎn)下列函數(shù)：（1） （2） （要求結(jié)果仍為或與式） 6. 用代數(shù)法化簡(jiǎn)函數(shù) 7. 化簡(jiǎn)下列函數(shù)（方法不限）：（1）（2）（要求寫出最簡(jiǎn)或與式） 8. 用代數(shù)法化簡(jiǎn)函數(shù) 。 9. 試證明下列關(guān)系成立：（1）。（2）若，則有。（3）若，則有。 10. 根據(jù)圖P21所示F 函數(shù)的波形，試（1）寫出F函數(shù)的邏輯表達(dá)式；（