勾股定理經(jīng)典例題(含答案

1、勾股定理經(jīng)典例題類型一：勾股定理的直接用法1. 在 RtAABC 中，ZC=90已知 a=6,c=10,求 b, (2)已知 a=40, b=9,求 c； (3)已知 c=25, b=15,求 a.思路點(diǎn)撥：寫解的過程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。舉一反三【變式】：如圖, Q13,爐12, Q3,則AB的長(zhǎng)是多少?類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，巳知：在中，= = 70, 5 = 30.求：BC的長(zhǎng)1、某市在舊城改造中，計(jì)劃在市一塊如圖所示的三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境，巳知這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買這種草皮至少需要()A. 450a 元B. 225a

2、 元 C、150a 元D、 300a 元舉一反三【變式1】如圖，已知：= 9迸,AM = CM 9丄曲于只 求證：BP2=APUBC2【變式2】已知：如圖，ZB=ZD=90 , ZA=60 , AB=4, CD二2。求：四邊形ABCD的面積。類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用(一)用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題3、如圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60方向走了知屁到達(dá)B 點(diǎn)，然后再沿北偏西30方向走了 500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。(1) 求A、C兩點(diǎn)之間的距離。(2) 確定目的地C在營(yíng)地A的什么方向。舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2. 5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀

3、如圖的某工廠，問這輛 卡車能否通過該工廠的廠門？（二）用勾股定理求最短問題4、如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm,高AB為4cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā), 沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路程.類型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為而的線段5、作長(zhǎng)為血、忑、厲的線段。 作法：如圖所示舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示折的點(diǎn)。解析：可以把歷看作是直角三角形的斜邊，（姮二1, 為了有利于畫圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)，而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別長(zhǎng)3和1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使0A=3,作AC丄0A且截取AC二1,以O(shè)C為半徑, 以0為圓心做弧，弧與數(shù)軸的

4、交點(diǎn)B即為巫。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1. 原命題：貓有四只腳.（正確）2. 原命題：對(duì)頂角相等（正確）3. 原命題：線段垂道平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等.（正確）4. 原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等.（正確）7、如果 ABC的三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判斷A ABC的形狀。舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，ZB=90 , AB=3, BC=4, CD=12, AD=13,求四邊形ABCD的面積?！咀兪?】已知：磁的三邊分別為m2-n2,2mn,m2+n2（m,n為正整數(shù)，且m

5、n）,判斷AABC是否為直角 三角形.丄【變式3】如圖正方形ABCD, E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF= ABo 請(qǐng)問FE與DE是否垂直?請(qǐng)說明。【答案】答：DE丄EF。證明：設(shè) BF=a,則 BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE2=CE2+CD2=4a2+16a=20a2。連接DF （如圖）DAFADga2+ 16a2=25a2。:.DF2二EF+DE：FE丄DE。練習(xí)一、判斷直角三角形問題：1、.滿足下列條件的不是直角三角形的是A. Z2=c2-a2 B. a ： 6 ： g3 ： 4 ： 5C. ZC=ZA-ZBD. Z

6、A： ZB： ZC=12 ： 13 ： 152、若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)的平方分別為：32, 4%彳則此三角形是直角三角形的#的值是A. 42B. 52C.7D.5?或 73、如果磁的三邊分別為加一I, 2 m, m+1（21）那么A. AABC是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為分+1B. 磁長(zhǎng)直角三角形，且斜邊長(zhǎng)2為血C仏ABC是直角三角形，但斜邊長(zhǎng)需由刃的大小確定D. AABC不長(zhǎng)直角三角形4、已知 RtAABC 中，ZC=90 ,若 a+b=14cm, c=10cm,則 RtAABC 的面積長(zhǎng)（）A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm25、下面幾組數(shù):7,8,9；（2）12,9,15；

7、m2+n2, m2 - n2, 2mn（m,n 均為正整數(shù),mn）；a21 a2+11 a2+2.其中能組成直角三角形的三邊長(zhǎng)的長(zhǎng)（）A.;B.;C.;D.6、三角形的三邊長(zhǎng)為 + b）2=c2+2ab,則這個(gè)三角形是（）A.等邊三角形；B.鈍角三角形；C.直角三角形； D.銳角三角形.7、已知|x-6| + |y-8| + （z-10）2=0，則由此工,”Z為三邊的三角形長(zhǎng)三角形.9、已知a, b, c為磁三邊，且滿足a+c+338=10-242H-26a試判斷磁的形狀.10、若磁的三邊長(zhǎng)為a,b,c,根據(jù)下列條件判斷磁的形狀.(1) a2+c2/?3=011、已知，ZABC中，AB=17c

8、m, BC=16cm, BC邊上的中線AD二15cm,試說明AABC是等腰三角形。經(jīng)典例題精析類刮一勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3： 4,斜邊長(zhǎng)是20,求此直角三角形的面積。舉一反三【變式1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,求它的面積。注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為a,則其面積為4 ao【變式2】直角三角形周長(zhǎng)為12cm,斜邊長(zhǎng)為5cm,求直角三角形的面積?！咀兪?】若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是n+1. n+2, n+3,求n?？偨Y(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直 角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊

9、?！咀兪?】以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（）A、 8, 15, 17 B、 4, 5, 6 C 5, 8, 10 D、 8, 39, 40類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且ZQPN=30，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160mo假設(shè)拖 拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì) 受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h,那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少 秒？總結(jié)升華:勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件，則可以通過作輔助垂線的 方法，構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理

10、。舉一反三【變式1】如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑S在花園走 出了一條“路”。他們僅僅少走了步路(假設(shè)2步為lm),卻踩傷了花草。【答案】4【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的正三角 形，這樣的三角形稱為單位正三角形。(D直接寫出單位正三角形的高與面積。(2) 圖中的平行四邊形ABCD含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積長(zhǎng)多少？(3) 求出圖中線段AC的長(zhǎng)(可作輔助線)。類型三：數(shù)學(xué)思想方法方程的思想方法4、如圖所示，巳知AABC 中，ZC=90 , ZA=60 , q +思路點(diǎn)撥：由+ 再找出必、B的關(guān)系即

11、可求出必和的值。 解：在 RtAABC 中，ZA=60 , ZB=90 -ZA=30Q ,則2 込 由勾股定理，得Q =朋-* =(2硏-護(hù)。 因?yàn)閍+b = 3+艮 所以忌+b = 3 +昉,羽(+1)語(yǔ)+1總結(jié)升華：在直角三角形中，30。的銳角的所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。舉一反三：【變式】如圖所示，折疊矩形的一邊AD,使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm, BC=10cm,求EF的長(zhǎng)。解:因?yàn)閆kADE與ZkAFE關(guān)于AE對(duì)稱，所以AD=AF, DE=EFO 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以ZB=ZC=90 , 在 RtAABF 中，AF=AD=BC=10cm, AB=8cm,gr.n/ BF =- AB2 = /102 - 82 = 6(cm)= BC- BF =10 - 6 = 4(cm)設(shè)5C = xcm,則SF = DE=(3-mo在RtAECF中，歐嚴(yán)+陽(yáng)2=渥嚴(yán)，即x2+42 =(8-x)解得3。SF = =(8-x)cm = 5cm 即 EF 的長(zhǎng)為 5cm。三、折疊問題1.已知，如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3cm, AD=9cm,將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF,則ABE 的面積為