(完整版)高一數(shù)學(xué)定義、定理、公理、公式匯編,推薦文檔

1、（ 1）元素與集合的關(guān)系：屬于（） 和不屬于（）（ 2）集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性集合與元素（3）集合的分類：按集合中元素的個(gè)數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集（ 4）集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語言描述、特征性質(zhì)描述）、圖示法、區(qū)間法子集：若x a ，x 則b，即是a 的b子集。ab1、若集合a 有個(gè)n元素，則集合的a子集有個(gè)，2n真子集有(個(gè)2n。-1)關(guān)系 注2、任何一個(gè)集合是它本身的子集，即 a a 、對(duì)于集合a, b果, c，,且那么 bb c,a c.34、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且a （b即至a少 b存在但），則是x 的 b真子x集。aa b集合

2、集合相等：且 ba b a = b0 0定義：且 b = x / x ax b集合與集合交集性質(zhì)：a ，a，= a a = a b = b a a b a, a b b，a b a b = a定義：或 b = x / x ax b并集運(yùn)算性質(zhì)：a ，a，=，a，a = a a b = b a a b a a b b a b a b = bcard ( a b) = card ( a) + card (b) - card ( a b)定義：且 a = x / x ux a= au補(bǔ)集性 質(zhì)：(，cu，a，) ，a = (cu a) a = ucu (cu a) = a cu ( a b) = (

3、cu a) (cu b)c ( a b) = (c a) (c b)uuu映射定義：設(shè)，是b兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的a 任意一個(gè)元素，在集合中都有唯一確定的元素與y之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)：為f 從集合b到a 集合b 一個(gè)映射1. 定義：設(shè)，是b兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的a 任意一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)與y之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)：fa 為b從集合到集a 合的一b個(gè)函數(shù)。記為y= f ( x )定義域2. 函數(shù)的三要素值域函數(shù)及其表示 對(duì)應(yīng)關(guān)系解析法函數(shù) 3. 函數(shù)的表示方法列表法在區(qū)間上a ,，b若如，a則在x1上x2遞增b

4、, , f ( x1 ) 上f ( 遞x2 減) 。 f ( x )a ,b最小值：2. 最值 最大值：函數(shù)的基本性質(zhì) (1) f ( - x )=- f ( x ),x定義域，則叫f 做( x奇) 函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。3. 奇偶性 ( 2 ) f ( - x )= f ( x ),x定義域d 則叫f 做( x偶) 函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱y。 奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱4. 周期性：在函數(shù)f (定x )義域上恒有的常數(shù)f (則x+叫t 做)=周f (期x )函(t數(shù)0，為周期) ；f ( x )t t的最小正值叫做f (最x )小正周期，簡稱周期高一數(shù)學(xué)必修 1 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)附：一、函數(shù)的

5、定義域的常用求法：1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；4、指數(shù)函數(shù)和對(duì)a數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于 1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)y = tan x 中 x ka+ z ) ； 6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自2 (k 變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。二、函數(shù)的解析式的常用求法：1 配湊法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、解方程組的方法三、函數(shù)的值域的常用求法：1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調(diào)性法；7、直接法四、函數(shù)的最值的常用求法：1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法五、函數(shù)單

6、調(diào)性的常用結(jié)論：1、若 f (x), g(x) 均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則 f (x) + g(x) 在這個(gè)區(qū)間上也為增（減）函數(shù)2、若 f (x) 為增（減）函數(shù)，則- f (x) 為減（增）函數(shù)3、若 f (x) 與 g(x) 的單調(diào)性相同，則 y = f g(x) 是增函數(shù)；若 f (x) 與 g(x) 的單調(diào)性不同，則 y = f g(x) 是減函數(shù)。簡記為：同增異減.4、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：1、如果一個(gè)奇函數(shù)在 x = 0 處有

7、定義，則 f (0) = 0 ，如果一個(gè)函數(shù) y =f (x) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則 f (x) = 0 （反之不成立）2、兩個(gè)奇（偶）函數(shù)之和（差）為奇（偶）函數(shù)；之積（商）為偶函數(shù)。3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積（商）為奇函數(shù)。4、兩個(gè)函數(shù) y = f (u) 和u = g(x) 復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。一、1 指數(shù)：運(yùn)算性質(zhì)： ar as =(a0, r、 s q) (ar )s =(a0, r、 s q) (a b)r =(a0, r、 s r) .二、1對(duì)數(shù)的性質(zhì)： 真數(shù) n 為(負(fù)數(shù)和零無對(duì)數(shù)

8、)； loga 1 =；aa log a = ； 對(duì)數(shù)恒等式： alog a n = ； log ax = .2. 運(yùn)算性質(zhì)： loga (mn) ； loga( m) n； loga mn (nr). 換底公式： loga b .(a0，a1，b0,c0 , c 1 )推論 1： logam bn =.2.loga b logb a =. 3. loga b logb c =表1指數(shù)函數(shù)y = ax (a 0, a 1)對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)y = loga x (a 0, a 1)定義域x rx (0, +)值域(0, +)r圖象性質(zhì)過定點(diǎn)(0,1)過定點(diǎn)(1, 0)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)x (-,

9、 0)時(shí)，y (1, +)x (0, +)時(shí)，y (0,1)x (-, 0)時(shí)，y (0,1)x (0, +)時(shí)，y (1, +)x (0,1)時(shí)，y (0, +)x (1, +)時(shí)，y (-, 0)x (0,1)時(shí)，y (-, 0)x (1, +)時(shí)，y (0, +)0 a b b 10 a b b 1三1.冪函數(shù)的概念：一般地，我們把形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)；注意：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別2.冪函數(shù)的常用性質(zhì)：（1）冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)；（2）當(dāng)a 0 時(shí)，冪函數(shù)在0, +) 上；當(dāng)a 0 時(shí)，冪函數(shù)在(0, +) 上（單調(diào)性）；（3）當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)

10、冪函數(shù)為偶函數(shù).四1 零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是的一條曲線，并且有,那么，函數(shù) y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)有零點(diǎn)，即存在 c(a,b),使得 f(c)=0.2 定義二分法的概念：對(duì)于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且 f(a).f(b)0 的函數(shù) y=f(x)，通過不斷的把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫二分法(bisection)給定精度 ，用二分法求函數(shù) f (x) 的零點(diǎn)近似值的步驟如下：a. 確定區(qū)間a,b ，驗(yàn)證 f (a) f (b) 0 ，給定精度 ；b. 求區(qū)間(a,b) 的中點(diǎn) x1 ；c. 計(jì)

11、算 f (x1 ) ：若 f (x1 ) = 0 ，則 x1 就是函數(shù)的零點(diǎn)；若 f (a) f (x1 ) 0 ，則令b = x1 （此時(shí)零點(diǎn) x0 (a, x1 ) ）； 若 f (x1 ) f (b) 0 ，則令 a = x1 （此時(shí)零點(diǎn) x0 (x1 ,b) ）；d. 判斷是否達(dá)到精度 ；即若| a - b | a，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值 a（或 b）；否則重復(fù)步驟24高中數(shù)學(xué)必修 2 知識(shí)點(diǎn)一、直線與方程（1） 直線的傾斜角定義：x 軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與 x 軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為 0 度。因此，傾斜角的取值范圍是 0180（2）

12、直線的斜率定義：傾斜角不是 90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用 k 表示。即 k = tana。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當(dāng)a 0o ,90o 時(shí)， k 0 ；當(dāng)a (90o ,180o )時(shí)， k 0 時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為- de ，半徑為r =,- 22 2當(dāng) d 2 + e 2 - 4f = 0 時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)； 當(dāng) d 2 + e 2 - 4f r l與c相離； d = r l與c相切； d r l與c相交，則有（2） 代數(shù)方法：設(shè)直線l : ax + by + c = 0 ，圓c : (x - a)2 + (y - b)2 = r 2 ，先將方程聯(lián)

13、立消元，得到一個(gè)一元二次方程之后，令其中的判別式為d ，則有d 0 l與c相交)注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式 xx + yy = r 2 去解直線與圓相切的問題，其中(x0, y000表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r 表示半徑。(3) 過圓上一點(diǎn)的切線方程：00圓c : x 2 + y 2 = r 2 ，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為 xx + yy = r 2 (課本命題)圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (課本命題的推廣)4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d

14、）之間的大小比較來確定。設(shè)圓c : (x - a )2 + (y - b )2 = r 2 ， c : (x - a )2 + (y - b )2 = r 2111222兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當(dāng) d r + r 時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；當(dāng) d = r + r 時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條； 當(dāng) r - r d r + r 時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當(dāng) d = r - r 時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；當(dāng) d r - r 時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng) d = 0 時(shí)，為同心圓。三、立

15、體幾何初步1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征（1） 棱柱：定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱 abcde - a b c d e 或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱 ad 幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2） 棱錐定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四

16、棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐 p - a b c d e 幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。（3） 棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái) p - a b c d e 幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4） 圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展

17、開圖是一個(gè)矩形。（5） 圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。（6） 圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。（7） 球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右

18、的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度； 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度； 側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法斜二測畫法特點(diǎn)：原來與 x 軸平行的線段仍然與 x 平行且長度不變；原來與 y 軸平行的線段仍然與 y 平行，長度為原來的一半。4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積（1） 幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（2） 特殊幾何體表面積公式（h 為高， h 為斜高，l 為母線）s圓柱側(cè) = 2arh； s圓錐側(cè)面積 =arl ； s圓臺(tái)側(cè)面積= (r + r)als圓柱表= 2ar(r + l )

19、；s圓錐表= ar(r + l )；s圓臺(tái)表 = a(r2 + rl + rl + r2 )（3） 柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式v 柱 = sh； v錐= 1 sh3v = 1 (s + s )hs s；臺(tái)3（4）球體的表面積和體積公式：v= 4ar3 ； s= 4ar2球3球面4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系（1） 平面 平面的概念： a.描述性說明； b.平面是無限伸展的； 平面的表示：通常用希臘字母 、 表示，如平面 （通常寫在一個(gè)銳角內(nèi)）；也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示，如平面 bc。 點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn) a 在平面a內(nèi)，記作 a a；點(diǎn) a 不在平面a內(nèi)，記作 a a 點(diǎn)與直線的關(guān)系

20、：點(diǎn) a 的直線 l 上，記作：al； 點(diǎn) a 在直線 l 外，記作 a l； 直線與平面的關(guān)系：直線 l 在平面 內(nèi)，記作 l ；直線 l 不在平面 內(nèi)，記作l 。（2） 公理 1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。（即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線）應(yīng)用：檢驗(yàn)桌面是否平； 判斷直線是否在平面內(nèi)用符號(hào)語言表示公理 1： a l, b l, aa, b a l a（3） 公理 2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理 2 及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)它是證

21、明平面重合的依據(jù)（4） 公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線符號(hào)：平面 和 相交，交線是 a，記作 a。符號(hào)語言： p a i b a i b = l, p l公理 3 的作用：它是判定兩個(gè)平面相交的方法。它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。（5） 公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6） 空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直

22、線是異面直線 異面直線所成角：直線 a、b 是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn) o，分別引直線 aa，bb，則把直線 a和 b所成的銳角（或直角）叫做異面直線 a 和 b 所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0，90，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn) o 是任取的，而和點(diǎn) o 的位置無關(guān)。求異面直線所成角步驟：a、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。b、證明作出的角即為所求角c、利用三角形來求角（

23、7） 等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。（8） 空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：a aaa（9） 平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒有公共點(diǎn)；相交有一條公共直線。b5、空間中的平行問題（1） 直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行 線面平行線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行 線線平行（2） 平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理（1） 如果一個(gè)

24、平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行（線面平行面面平行），（2） 如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。（線線平行面面平行），（3） 垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理（1） 如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行線面平行）（2） 如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行）7、空間中的垂直問題（1） 線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這

25、條直線和這個(gè)平面垂直。平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個(gè)平面垂直。（2） 垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。9、空間角問題（1） 直線與直線所成的角兩平行直線所成

26、的角：規(guī)定為0o 。兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn) o，分別作與兩條異面直線 a，b 平行的直線a+, b+ ，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2） 直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0o 。平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90o 。平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)

27、鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線，在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3） 二面角和二面角的平面角二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角求二面角的方法定

28、義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面角7、空間直角坐標(biāo)系（1） 定義：如圖， obcd - d, a, b,c, 是單位正方體.以 a 為原點(diǎn)，分別以 od,o a, ,ob 的方向?yàn)檎较?，建立三條數(shù)軸x軸. y軸. z軸。這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系 oxyz.1）o 叫做坐標(biāo)原點(diǎn) 2）x 軸，y 軸，z 軸叫做坐標(biāo)軸. 3）過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。（2） 右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)?x 軸正方向，食指指

29、向?yàn)?y 軸正向，中指指向則為 z 軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。（3） 任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn) m 的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x, y, z) 來表示，有序?qū)崝?shù)組(x, y, z) 叫做點(diǎn) m 在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作 m (x, y, z) （x 叫做點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)，y 叫做點(diǎn) m 的縱坐標(biāo)，z 叫做點(diǎn) m 的豎坐標(biāo)）( x + x ) 2+ ( y + y ) +2 (z + z)2212121（4） 空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式： d +高中數(shù)學(xué)必修 4 知識(shí)點(diǎn)正角: 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù) 角: 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角: 不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角a的頂

30、點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱a為第幾象限角第一象限角的集合為ak 360o a k 360o + 90o , k z第二象限角的集合為ak 360o + 90o k 360o +180o , k z第三象限角的集合為ak 360o +180o a k 360o + 270o , k z第四象限角的集合為ak 360o + 270o a 0)，則sina= y ， cosa= x ， tana= y (x 0)rrx10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正yptm axo11、三角函數(shù)線： sin

31、a= mr ， cosa= om ， tana= at 12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：(1)sin2a+ cos2a= 1sina(sin2a= 1- cos2a, cos2a= 1- sin2a) ； (2)= tanasinacosasina= tanacosa, cosa=tana 13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：(1)sin (2ka+a)= sina， cos(2ka+a)= cosa， tan (2ka+a)= tana(k z)(2)sin (a+a)= -sina， cos(a+a)= -cosa， tan (a+a)= tana(3)sin (-a)= -sina， cos(-a)

32、= cosa， tan (-a)= - tana(4)sin (a-a)= sina， cos(a-a)= -cosa， tan (a-a)= - tana口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限5 sin aa( ) 2 -a = cosa， cos 2 -a= sina6 sin aa( ) 2 +a = cosa， cos 2 +a= -sina口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限14、函數(shù) y = asin (ax +a)(a 0,a 0)的性質(zhì)：2a1a振幅： a ；周期： t = a ；頻率： f = t = 2 ；相位：ax+a；初相：aa函數(shù) y = asin (ax+a)+ b ，當(dāng) x

33、= x1時(shí)，取得最小值為 ymin；當(dāng) x = x2 時(shí)，取得最大值為 y，則a = 1 (y- y)， b = 1 (y+ y)， t = x - x (x 0 時(shí)，aa 的方向與 a 的方向相同；當(dāng)a 0 時(shí)，aa 的方向與 a 的方向相反；當(dāng)a= 0 時(shí)，ar = r 0arrrrrrrrr運(yùn)算律：a(aa )= (aa)a ； (a+ a)a = aa + aa ；a(a +)= aa + a bbrr坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) a= (x, y )，則aa= a(x, y )= (ax,ay )r r rrrrr20、向量共線定理r：向量 a(a 0)與 b 共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)a，使 b

34、 = aa設(shè) a = (x , y )， = (x , y )，其中 r r ，則當(dāng)且僅當(dāng) x y - x y = 0 時(shí)，向量 ar 、11b22b0r rr1 22 1b (b 0)共線urur21、平面向量基本定理：如果e1 、e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面rrururur內(nèi)的任意向量 a ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)a、a ，使 a = a + a（不共線的向量、121 e12 e2e1ure2 作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)r 是線段r1r2 上的一點(diǎn)， r1 、r2 的坐標(biāo)分別是(x1, y1 )，r r = aruuur(x , y )，

35、當(dāng)uuu時(shí)，點(diǎn)r 的坐標(biāo)是 x1 + ax2 , y1 + ay2 22121+ a1+ a 23 rrr rr、a 平面向量的數(shù)量積r： r roorrb = a b cosa(a 0, b 0, 0a 180 )零向量與任一向量的數(shù)量積為0 r性質(zhì)：設(shè) a 和rr都是非零向量，則 a ar= 0 當(dāng) ar 與r同向時(shí)，br rr rrrbr rr rbbr rr2r 2rr ra b = ab ；當(dāng) a 與b 反向時(shí)， a b = - ab ； a a = a = a或 a =a a r brrra a br rr rrr運(yùn)算律： a rrr rrrrrr rrb = b a ； (aa

36、) b = a(a b )r= a (ab )； (a + br) c = a c + b c rr坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量 a = (x , y )，= (x , y )，則 a = x x + y y 11b22b1 21 2x2 + y2若 r= (x, y )，則 r2 = x2 + y2 ，或 r = rra rr aa設(shè) a= (x , y )， = (x , y )， 則 a x x + y y = 0 11b22rrrb1 21 2rrrr設(shè) a 、b 都是r非零向量， a = (x1, y1 )， b = (x2 , y2 )，a是a 與b 的夾角，則a a br rx2 + y2x2 + y21122cosa=b =x1 x2 + y1 y22