(完整版)高一數(shù)學(xué)必修1知識點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)題,推薦文檔

1、期中考復(fù)習(xí)第一章 集合與函數(shù)概念（10，11 班）一、集合有關(guān)概念1. 集合的含義2. 集合的中元素的三個特性：(1) 元素的確定性如：世界上最高的ft(p1,1)(2) 元素的互異性如：由 happy 的字母組成的集合h,a,p,y（解題時， 最后注意檢驗(yàn)是否滿足互異性）研究 p3,7、8;(3) 元素的無序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一個集合3. 集合的表示： 如：我校的籃球隊(duì)員，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋(1) 用拉丁字母表示集合：a=我校的籃球隊(duì)員,b=1,2,3,4,5(2) 集合的表示方法：列舉法與描述法。u 注意：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：

2、n正整數(shù)集 n*或 n+整數(shù)集 z 有理數(shù)集 q 實(shí)數(shù)集 r 2，集合的表示法（研究 p2，8；）1） 列舉法：a,b,c2） 描述法：m = y | y = x 2 -2 x + 1 , xrm = x | y = x 2 - 2 x + 1 , xr(注意代表元素！)(p5,2) 3） venn 圖:（研究 p5，4/7/9）4、集合的分類：運(yùn)算類型交集并集補(bǔ)集定義由所有屬于 a 且屬由所有屬于集合 a 或設(shè)s 是一個集合，a 是s 的一個子集，由 s 中所有不屬于 a 的元素組成的集合，叫做 s 中子集a 的補(bǔ)集（或余集）記作cs a ，即csa=x | x s, 且x a于 b 的元素

3、所組成屬于集合 b 的元素所的集合,叫做 a,b 的組成的集合，叫做交集記作a,b 的并集記作：aa i b（讀作a 交ub（讀作a 并b）b），即，即 a u ba i b=x|xa，且 xb=x|xa，或 xb)韋恩圖示a圖 1ba圖 2bsa性質(zhì)a i a=aa u a=a(cua) i (cub)a i =a u =a= cu (a u b)a i b=b i aa i b a a i b ba u b=b u aa u b a u b b(cua) u (cub)= cu(a i b) a u (cua)=ua i (cua)= 三、集合的運(yùn)算（ p3,6;p4，4/7/10,p5，

4、10;p6,5/8）(1) 有限集(2) 無限集含有有限個元素的集合含有無限個元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例：x|x2=5（研究p3，2）二、集合間的基本關(guān)系（切記，有包含關(guān)系要優(yōu)先考慮空集）(p3、10) 1.“包含”關(guān)系子集（最高次項(xiàng)前面有參數(shù)時，要討論它與 0 的關(guān)系）注意： a b有兩種可能（1）a 是b 的一部分，；（2）a 與b 是同一集合。2“相等”關(guān)系：a=b (55，且 55，則 5=5)實(shí)例：設(shè) a=x|x2-1=0 b=-1,1“元素相同則兩集合相等”即： 任何一個集合是它本身的子集。aa真子集:如果ab,且ab 那就說集合a 是集合b 的真子集，記作ab(或

5、 b a)如果 ab, bc ,那么 ac 如果 ab 同時 ba 那么 a=b規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有 n 個元素的集合，含有 2n 個子集，2n-1 個真子集例題：1. 下列四組對象，能構(gòu)成集合的是（）a 某班所有高個子的學(xué)生 b 著名的藝術(shù)家 c 一切很大的書 d 倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)2. 集合a，b，c 的真子集共有個3.若集合 m=y|y=x2-2x+1,x r,n=x|x0，則m 與n 的關(guān)系是.4. 設(shè)集合 a=x 1 x 2，b=x x a，若 a b，則 a 的取值范圍是 5.50 名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實(shí)驗(yàn)，已知物理實(shí)驗(yàn)做得正確得

6、有 40 人，化學(xué)實(shí)驗(yàn)做得正確得有 31 人，兩種實(shí)驗(yàn)都做錯得有 4 人，則這兩種實(shí)驗(yàn)都做對的有人。7.已知集合 a=x| x2+2x-8=0, b=x| x2-5x+6=0, c=x| x2-mx+m2-19=0,若bc，ac=，求 m 的值(注意：解不等式時，乘以除以一個數(shù)時，注意討論它的符號，如果是負(fù)數(shù)，記住變號。)二、函數(shù)的有關(guān)概念 定義(p9，1/;p10，1)1定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù) x 的集合稱為函數(shù)的定義域 。（1） 具體函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù) 是(p30,9;p37,2/4)(1) 分式的分母不等于零；(2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3) 對數(shù)式的真

7、數(shù)必須大于零；(4) 指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于 1.(5) 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的 定義域是使各部分都有意義的 x 的值組成的集合.(6) 指數(shù)為零底不可以等于零，(7) 實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.抽象函數(shù)定義域：(p9,6;p21,5;)u 相同函數(shù)的判斷方法： 表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；u 定義域一致(p9，3時具備) 2值域 : 先考慮其定義域(p9，7/8;p10，10/6;p14，6) (1)觀察法 （遇見上下都有 x，優(yōu)先分離常數(shù)）(2) 配方法(3) 代換法x -2、函數(shù)的解析表達(dá) 式(p10

8、，9、4) 求函數(shù)的解析式的主要方法有：1) 湊配法已知 f1 x2 1 ，求 f(x)xx22) 待定系數(shù)法已知一次函數(shù) f(x)滿足 f(f(x)4x1，求xxf(x)3) 換元法已知 f(2)x4，求 f(x)（注意新?lián)Q元的范圍）1) 平移變換2) 伸縮變換3) 對稱變換（p10，2）4區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間5映射（箭射靶，且箭要全射出去）定義：(p11，1/3/5/6/7/9/10)對于映射 f：ab 來說，則應(yīng)滿足：(1) 集合 a 中的每一個元素，在集合 b 中都有象，并且象是唯一的；(2) 集合 a 中不同的元素，在集合 b 中對應(yīng)的象可以是同一

9、個；(3) 不要求集合 b 中的每一個元素在集合 a 中都有原象。一一映射：一對一，且集合 b 當(dāng)中沒有多余的元素（p11，8）6 . 分段函數(shù)（一般畫圖處理題目）（p11，9;p12，7;p24，10) (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2) 各部分的自變量的取值情況(3) 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集 注意：分段函數(shù)單調(diào)性，除了保證每一段的單調(diào)性，還要保證最值之間的關(guān)系，即整體的單調(diào)性。（ 補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u)(um),u=g(x)(xa),則 y=fg(x)=f(x)(xa)稱為f、g 的復(fù)合函數(shù)。二函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性(

10、局部性質(zhì))(p12，1/2;p14，2/3)（1） 增函數(shù).如果對于區(qū)間 d 上的任意兩個自變量的值 x1，x2，當(dāng) x1x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說 f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間 d 稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；（2） 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù) y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù) y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(a) 定義法：（p14，9/8;p15，9;p30,10）1 任取 x1，x2d，且 x

11、1x2；2 作差 f(x1)f(x2)；3 變形（通常是因式分解和配方） ；4) 消參法（函數(shù)方程法）已知： 2 f (x) - f ( 1 )= 3 xx23. 函數(shù)圖象知識歸納a、 圖象變換法常用變換方法有三種4 定號（即判斷差 f(x1)f(x2)的正負(fù)）；5 下結(jié)論（指出函數(shù) f(x)在給定的區(qū)間 d 上的單調(diào)性）(b)圖象法(從圖象上看升降)(c)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(p14，4;p31,9;p39,8)復(fù)合函數(shù) fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù) u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相（2）若-b m,

12、 n，則 f (x)max2a= maxf (m), f (n)， f (x)min= minf (m), f (n)同的區(qū)間和在一起寫成其并集.（d）利用已知函數(shù)的單調(diào)性。（一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)， 雙勾函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)）(p12，3/4/5/6;p14，1/5)注：增+增=增；減加減=減（p13，3/4）8函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（1）偶函數(shù)一般地，對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f(x)=f(x)， 那么 f(x)就叫做偶函數(shù)（2）奇函數(shù)一般地，對于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個 x，都有 f(x)=f(x)， 那么 f(x)就叫做奇函數(shù)（3） 具有

13、奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱（圖像法）另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時，自變量的取值離開 x 軸越遠(yuǎn)，則對應(yīng)的函數(shù)值越大；反過來，當(dāng)二次函數(shù)開口向下時，自變量的取值離開 x 軸越遠(yuǎn)，則對應(yīng)的函數(shù)值越小。2 利用圖象求函數(shù)的最大（?。?值(p22，5;)3 利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲?：如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞減則函數(shù) y=f(x)在 x=b 處有最大值 f(b)；如果函數(shù) y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增則函數(shù) y=f(x)在 x=b 處有最小值 f(b)；11:恒成立問

14、題轉(zhuǎn)化為最值問題，（一般求什么，就把它放到一邊。） (p24,9;p17,8;p37,6/7/10；p44,6;p45,4;)例題：x2 - 2x -15x + 3 - 31- ( x -1)2x +11. 求下列函數(shù)的定義域：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：1 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對稱； y = y =2 確定 f(x)與 f(x)的關(guān)系；3 作出相應(yīng)結(jié)論：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則 f(x)是偶函數(shù)；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則 f(x)是奇函數(shù)2. 設(shè)函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?，1，則函數(shù) f (x

15、2 ) 的定義域?yàn)開 _ 3. 若函數(shù) f (x +1) 的定義域?yàn)?2，3，則函數(shù) f (2x -1) 的定義域是 x + 2(x -1)注意：（1）函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條4. 函數(shù)f (x) =x2 (-1 x 0且a 1) ，總有f (1) = a ；二、對數(shù)函數(shù)（切記真數(shù)大于零，注意定義域）（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算u 負(fù)數(shù)沒有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0，記作n 0 = 0 。（一）對數(shù)說明：1 注意底數(shù)的限制a 0 ，且 a 1；當(dāng) n 是奇數(shù)時， n an= a ，當(dāng) n 是偶數(shù)時，=| a |= an an- a(a 0, m, n n * , n

16、 1) ，m2 自然對數(shù)：以無理數(shù)e = 2.71828l為底的對數(shù)的對數(shù)ln n (a *0, m, n n , n 1)=-11n amman =（二）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果 a 0 ，且 a 1， m 0 ， n 0 ，那么：a nu 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0，0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義1 loga (m n ) = log amm loga n ；3. 實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)2 log = log m log n ；（1） ar ar = ar +s (a 0, r, s r)a naa（2） (ar )s = ars(a 0, r, s r)(ab)r = ar as3 loga m n

17、 = n log ma注意：換底lo公g式b(n r) （3）（3）(a 0, r, s r)log b =c（ a 0 ，且 a 1； c 0 ，且c 1 ； b 0 ）注意利用平方差公式，完全平方之間的關(guān)系，以及立方差公式。（p27,9,10,p28,9/10;p29,4/6）（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) y = a x (a 0,且a 1) （注意值域大于零）alog ca利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論(p35,3/5/6/8/9;p36,3/4/6/8)nn1a10a 0 ，且 a 1) 叫做對數(shù)函數(shù)， 其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）注意：1 對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式

18、定義，注意辨別。如：y = 2 log2函數(shù)x ， y = log x5 5都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：（1）在a，b上， f (x) = a x (a 0且a 1) 值域是f (a), f (b) 或2 對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：(a 0 ，且 a 1) 2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：0a132.52.5221.51.50.50.5-1-1.5-1.5-2-2.5-2.5函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，0）函數(shù)圖象都過定點(diǎn)（1，0）在 r 上遞減在 r 上遞增值域?yàn)?r值域?yàn)?r定義域 x0定義域 x0-2-17654321 10-0.517654321 10-0.

19、51111183-8注意：對于 y=loga g(x),若 u=g(x)為二次函數(shù)，先畫圖，取 x 軸上半部的圖像，再結(jié)合圖像解題。（一定注意先求定義域，真數(shù)大于 0） f(x)=的圖像要記住，若有 f(a)=f(b),則 a,b 互為倒數(shù)。（三）冪函數(shù) y = xa（a=-1,1/2,2,3 的圖像必須掌握）（1） 所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義并且圖象都過點(diǎn)（1，1）；（2） a 0 時，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間0,+) 上是增函數(shù)特別地，當(dāng)a 1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0 a 1時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3） a 0 時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+) 上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng)

20、x 從右邊趨向原點(diǎn)時，圖象在 y 軸右方無限地逼近 y 軸正半軸，當(dāng) x 趨于+ 時，圖象在 x 軸上方無限地逼近 x 軸正半軸(p22,1)總結(jié)：冪函數(shù)在第一象限為減函數(shù)，則a 0 ； 冪函數(shù)為奇函數(shù)，則 a 為奇數(shù)，為偶函數(shù)則 a 為偶數(shù)（p22,9）第三章 函數(shù)的應(yīng)用即：方程 f (x) = 0 有實(shí)數(shù)根 函數(shù) y = f (x) 的圖象與 x 軸有交點(diǎn) 函數(shù) y = f (x) 有零點(diǎn)3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：1 （代數(shù)法）求方程 f (x) = 0 的實(shí)數(shù)根；2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y = f (x) 的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)4、二次函數(shù)的零點(diǎn)： 二次函數(shù) y = ax 2 + bx + c(a 0) （1） 根的分布：畫圖！看四點(diǎn)、開口方向，對稱軸，端點(diǎn)值的符號。（注意隱含條件，和經(jīng)過的定點(diǎn) ）沒有隱含條件時，切記每一個都要考慮。（2） 兩個正根，兩個復(fù)根，一正一負(fù)根時一般用維達(dá)定理.（除了一正一負(fù)隱含了德塔大于零，其他時候不要忘記德塔）（3） 若已知一個根，代入求出參數(shù)，再解方程，檢驗(yàn)另外一根是否滿足條件?！啊薄啊盿t the end, xi