機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題答案

1、機(jī) 械 優(yōu) 化 設(shè) 計(jì) 復(fù) 習(xí) 題 解 答一、填空題1、 用最速下降法求 f(X)=100(x 2- xj2+(1- xi) 2 的最優(yōu)解時(shí)，設(shè) X(0 =-0.5,0.5T，第一步迭代的搜索方向?yàn)?47,-50 丁。2、 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，其核心一是尋找搜索方向，二是計(jì)算最優(yōu)步長(zhǎng)。3、當(dāng)優(yōu)化問題是凸規(guī)劃的情況下，任何局部最優(yōu)解就是全域最優(yōu)解。4、 應(yīng)用進(jìn)退法來確定搜索區(qū)間時(shí)，最后得到的三點(diǎn)，即為搜索區(qū)間的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)， 它們的函數(shù)值形成高一低一高趨勢(shì)。5、 包含n個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題，稱為 n維優(yōu)化問題。16函數(shù)XtHX BtX C的梯度為B。2 -7、 設(shè)G為nXn對(duì)稱正定

2、矩陣，若n維空間中有兩個(gè)非零向量d, d,滿足(d)TGd=0,則 d0、d1之間存在共軛關(guān)系。8、 設(shè)計(jì)變量、 目標(biāo)函數(shù) 、約束條件是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。9、 對(duì)于無約束二元函數(shù)f(XX2)，若在x0(x!0,x20)點(diǎn)處取得極小值，其必要條件是?f(X10,X20)= 0 ，充分條件是 _?2f(x10,x20) = 0正定。10、 K-T 條件可以敘述為在極值點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的梯度為起作用的各約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。11、用黃金分割法求一元函數(shù)f (x) x210x 36的極小點(diǎn)，初始搜索區(qū)間a,b 10,10，經(jīng)第一次區(qū)間消去后得到的新區(qū)間為 _ -2.36 10_。12、

3、 優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型的基本要素有 設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)_、_約束條件。13、 牛頓法的搜索方向dk=H k gk ，其計(jì)算量大_，且要求初始點(diǎn)在極小點(diǎn) 附近位置。14、 將函數(shù) f(X)=x j+X22-x 1X2-10x1-4x2+60 表 示成XtHX BtX C 的形式212 -1 x1x1J* X2 :_2 X2+ -10-4 ； + 60。15、存在矩陣H,向量d1，向量d2，當(dāng)滿足d1THd=0，向量d 1和向量d2是關(guān)于H共軛。16、采用外點(diǎn)法求解約束優(yōu)化問題時(shí)，將約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為外點(diǎn)形式時(shí)引入的懲罰因子 r數(shù)列，具有單調(diào)遞增特點(diǎn)。17、 采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解多元函數(shù)極值點(diǎn)時(shí)，

4、根據(jù)迭代公式需要進(jìn)行一維搜索，即求最優(yōu) 步長(zhǎng)。二、選擇題1、下面C方法需要求海賽矩陣。A、最速下降法B、共軛梯度法C、牛頓型法D DFP法2、對(duì)于約束問題根據(jù)目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，判斷X11,1T為，X 2弓步為。DA. 內(nèi)點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)B. 外點(diǎn)；外點(diǎn)C. 內(nèi)點(diǎn)；外點(diǎn)D. 外點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)3、內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法可用于求解 B優(yōu)化問題。A無約束優(yōu)化問題B只含有不等式約束的優(yōu)化問題C只含有等式的優(yōu)化問題D含有不等式和等式約束的優(yōu)化問題4、對(duì)于一維搜索，搜索區(qū)間為a，b，中間插入兩個(gè)點(diǎn)a、b, a1b，計(jì)算出f(a ”f(b 1)，則縮短后的搜索區(qū)間為 BA a 1，b1B b 1，bC a 1，bD a，b

5、15、D不是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題數(shù)學(xué)模型的基本要素。A設(shè)計(jì)變量B約束條件C目標(biāo)函數(shù)D最佳步長(zhǎng)6變尺度法的迭代公式為xk+1=xk- a kH f(x k)，下列不屬于Hk必須滿足的條件的是C。A. H k之間有簡(jiǎn)單的迭代形式B. 擬牛頓條件C. 與海塞矩陣正交D. 對(duì)稱正定7、函數(shù)f(X)在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的 A。A、最速上升方向B、上升方向C、最速下降方向D下降方向8、下面四種無約束優(yōu)化方法中，D在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo) 數(shù)。A梯度法B牛頓法C變尺度法D坐標(biāo)輪換法9、設(shè)f(X)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則f(X)在R上為凸函數(shù)的充分 必要條件是海塞矩

6、陣G(X)在R上處處BoA正定B半正定C負(fù)定D半負(fù)定10、 下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法一一黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是D,假設(shè)要求 在區(qū)間a , b插入兩點(diǎn) a i、a 2,且 a i &因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第一迭代步完成。2、試用牛頓法求f( X )=(x1-2) 2+(X1-2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0)=2,1 To解1:(注：題目出題不當(dāng)，初始點(diǎn)已經(jīng)是最優(yōu)點(diǎn)，解2是修改題目后解法。)牛頓法的搜索方向?yàn)镾(k)= -? 2 (f)-1 ?(f),因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0)的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣(f) r4?x1 - 4 ?x2 - 4?(f) F 8?x2 - 4?x

7、1?(f (x(0) ) ) = 0?2(f)二-4?2(f)-1 = 4【2S(k)= -?2(f)-1 ?(f) = 0不用搜索，當(dāng)前點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn) 解2:上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點(diǎn)選擇不當(dāng)。以下修改求解題 目的初始點(diǎn)，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。以非最優(yōu)點(diǎn)x(0)=1,2 T作為初始點(diǎn)，重新采用牛頓法計(jì)算牛頓法的搜索方向?yàn)镾(k) = -? 2 (f)-1 ?(f),因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0)的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣梯度函數(shù):?(f)二4?x1 -8 ?x24?x2 -4?x1初始點(diǎn)梯度向量:?(f (x(0)= $海色矩陣:?2(f)二-4-48海色矩陣

8、逆矩陣:?2(f)-1 =；當(dāng)前步的搜索方向?yàn)椋荷?-?2(f)-1 ?(f)二-1需=-1 新的迭代點(diǎn)位于當(dāng)前的搜索方向上：X( k+1)=X( k)+ aS( k)=X( + aS( 0)-111 - a2 + a】0的函數(shù)F( a)把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量1 - af(X(k+1)=f(2 +a)=( a+ 1)2 + (3 汩 3)2 = F( a)令 dF( a)=d a:20 a+ 20-0,可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長(zhǎng)新的迭代點(diǎn)為X=X(0)+ aS()= ；-1 =彳當(dāng)前梯度向量的長(zhǎng)度ll?f 11= #2x12 + 8x8 = 14.4222

9、 &因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。第二迭代步：r4?x1 - 4 ?x2 - 4 ?(f) =8?x2 - 4?x1?(f (x(1) ) ) = l?f ll= 0 0|-2因此蟲正定,X?=；=：是極小點(diǎn)，極值為f(X *)=-84、求目標(biāo)函數(shù)f( X )=x 12+X1X2+2x22 +4x 1+6x2+10的極值和極值點(diǎn)。解法同上5、 試證明函數(shù) f( X )=2x 12+5x22 +x 32+2x3X2+2x3X1-6x 2+3 在點(diǎn)1 , 1, -2 T處具有極小值。解：必要條件：4?x1 + 2?x3=10?x2 + 2?x3 - 6 2 ?x1 + 2?x2+ 2?x3將點(diǎn)1 , 1,-2

10、 T帶入上式，可得0?(f)二00充分條件402于(f) =0102222|4|= 40|0 1加 400402|0102| = 80 -40 -16 = 24 0222空正定。因此函數(shù)在點(diǎn)1 ,1, -2 T處具有極小值6、給定約束優(yōu)化問題min f(X)=(x21-3) 2+(x2-2)22s.t. g i(X)= Xi X2 + 50g2(X)= Xi 2x2 + 40g3(X)= x 1 0 g4(X)=x 2 0驗(yàn)證在點(diǎn)X 2,iTKuhn-Tucker條件成立。 解：首先，找出在點(diǎn)X 2,iT起作用約束:g1(X) = 0g2(X) = 0g3(X)二 2因此起作用約束為 g1(X

11、) 、 g2(X)然后，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否可以表示為起 作用約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。?(f) = 2?x1 - 6 =2 2?x2 - 4-2?(gi)F -2 ?；f-4 ， ?(g2) =；求解線性組合系數(shù)？(f)=入1?g1) +入2?g2)-2_4-1；=入1-；+ 入2；得到入13,入2= 3,均大于0因此在點(diǎn)X 2,iTKuhn-Tucker條件成立7、設(shè)非線性規(guī)劃問題*T用K-T條件驗(yàn)證X 1,0為其約束最優(yōu)點(diǎn)。解法同上8、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)= x計(jì)X2,受約束于：2g*X)=-x 1 +x20g2(X)=x 1 0寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解

12、：內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)的一般公式為其中：r嚴(yán)r(3) 嚴(yán)0 是一個(gè)遞減的正值數(shù)列r(k)= Cr(k-1) ,0 v Cv 1因此罰函數(shù)為：1 1?(X, r(k) = x1 + x2 + r(k)(2+ _)-x1 2 + x2 x1229、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=( x 1-1) +(X2+2)受約束于：g*X)=-x 2-x 1-1 0g2(X)=2-x 1-X2 0g3(X)=x 1 0g；(X)=x 20試寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。解法同上10、 如圖，有一塊邊長(zhǎng)為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長(zhǎng)為 x的方塊并折轉(zhuǎn)，造 個(gè)無蓋的箱子，問如何截法(x取何值)才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題

13、的數(shù)學(xué)模型以及用MATLA軟件求解的程序。11、某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLA軟件求解的程序。12、一根長(zhǎng)I的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例截 斷鉛絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用 MATLAB件求解的程序。13、求表面積為300n2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及 用MATLA軟件求解的程序。14、 薄鐵板寬20cm,折成梯形槽，求梯形側(cè)邊多長(zhǎng)及底角多大，才會(huì)使槽的斷面積最大。寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出 M文件和求解命令）。15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長(zhǎng)度為 c，高度為h，面積A=64516mm斜邊與底邊的夾角為見圖1。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長(zhǎng)s的倒數(shù)成比例關(guān)系（s只包括底邊和兩側(cè)邊，不計(jì)頂邊）。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。寫出這一優(yōu)化設(shè) 計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型。并用 m