二次微分方程的通解

1、第六節(jié) 教學目的:二階常系數(shù)齊次線性微分方程使學生掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，了解二階常系數(shù)非齊教學重點： 教學過程:二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程 二階常系數(shù)齊次線性微分方程：方程yyy=0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程、其中P、q均為常數(shù).如果yi、y是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關解r那么y上iyi+C2y2就是它的通解.我們看看*能否適當選取 J使?jié)M足二階常系數(shù)齊次線性微分方程為此將代入方程yrypy=02rx(r 巾r+q)e =0.只要r滿足代數(shù)方程r2+prpm、函數(shù)“就是微分方程的解.特征方程：方程r2+pr+q=0叫做微分方

2、程yHpyHqy=0的特征方程.特征方程的兩個根 可用公式由此可見門、2-p + Jp 2 -4qri,2 =2特征方程的根與通解的關系(1)特征方程有兩個不相等的實根ri、2時.函數(shù)yi =eriX、yer2X是方程的兩個線性無關yqX函數(shù)yeriX、y2=er2X是方程的解 又= y2er2x=e(rr2)x不是常數(shù).因此方程的通解為y Pex +C2er2X次線性微分方程的解法方程的兩個線性無關的解這是因為r y =er是方程的解、又(xeX)” +p (xer1x)+q(xer1x) =(2 +xr12)er1x + p (1 + xr1)er1x +qxer1x=erix(2ri +

3、 p)+xerix(ri2 + pri+q)=O 、所以yxerix也是方程的解、且x牛訐x不是常數(shù)因此方程的通解為y =Ger1x +C2xer1x(3)特征方程有一對共軛復根關的復數(shù)形式的解.函數(shù)ycosPx1,時*函數(shù)y=e(皿x是微分方程的兩個線性無、yw%in Px是微分方程的兩個線性無關的實數(shù)形式的解.函數(shù)1=3%和y2w(WBx都是方程的解而由歐拉公式(of pxxy w (cosx+isi nx)(aLpxxy2=e=e(cosx-isi nx)y1W2=2e xcosxexCOSPx=2(y1+y2)y1-y2=2ie xsinx尹sin Px=(y1-y2)2i故 ecos

4、Rx、y2 =esinPx也是方程解.可以驗證.y1N%osPx、y2 wsin Px是方程的線性無關解.因此方程的通解為y=e*tCicos図弋2Sin Px ).第一步求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y巾ypyn的通解的步驟為：寫出微分方程的特征方程第二步r2 巾rp=O求出特征方程的兩個根1、2.第三步根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況.寫出微分方程的通解.求微分方程y2yyy=0的通解.所給微分方程的特征方程為r2-2r3=0、即(r+l)(r3)=0其根1亠12書是兩個不相等的實根-因此所求通解為亠 孑丄亠 3xy=C1e 七2e .例2求方程y“H2y，Hy=0滿足初始條件 yX=04、y

5、|x亠2的特解.解所給方程的特征方程為2 2r242r+1、即(r+1)2=0其根ri才21是兩個相等的實根、因此所給微分方程的通解為ynCiM2X)e.將條件y|x2蟲代入通解、得Ci 4、從而yn42X)e,將上式對x求導、得xy=(C2/-C2X)e .再把條件y很=0=2代入上式 得C2=2 .于是所求特解為例3求微分方程y-2yH5y= 0的通解.解所給方程的特征方程為2r -2+=0特征方程的根為1=1 42i2-2i是一對共軛復根因此所求通解為y=eX(Cicos2x 乜sin2x).n階常系數(shù)齊次線性微分方程：方程y齊1y(n)+p2+ ”+ pn jypny=0 ”稱為n階常

6、系數(shù)齊次線性微分方程、其中pir P2Pn_l、Pn都是常數(shù).二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推廣到n階常系數(shù)齊次線性微分方程上去.引入微分算子 D及微分算子的n次多項式L(D)=Dn 巾1Dn巾2 Dn+ “ + Pn4D*pn則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作/n 丄 fn-l,fn-2(D +p1D 巾2 D注D叫做微分算子 D0y=yDy=/+ +pnD +pn)y=0 或 L(D)y=0D2y=yD3y=yDny=y(n)分析 令yF伙則L(D)y=L(D)e伙=(rn+p1rnd 邛2 rn + ”+ p nxr+pn)e伙丸(伙因此如果r是多項式L(r)的

7、根 則ywrx是微分方程L(D)y=0的解n階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程L(r)Tn 巾仃2邛2 rn稱為微分方程L(D)yn的特征方程特征方程的根與通解中項的對應單實根r對應于一項:Cerx ;一對單復根riip對應于兩項：e密(Cicospx2sinPx)；rxk 1k重實根r對應于k項:e (Ci 次+”4Ckx )；一對k重復根riip對應于2k項：e癥(CiM2X +M0 .解這里的特征方程為r4+P SPP它的根為上二石土。，3,4 =-石(1i) 因此所給微分方程的通解為-xPp- xppy=eT2 （C1COS石X +C2Sin石x） +e、2 （C3COS石X+C4Si

8、n石x）.、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程簡介二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：方程yPyFEx)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程、其中P、q是常數(shù).二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次方程的通解yM(x)與非齊次方程本身的一個特解y弓*(x)之和：yh(x) + y*(x).當f(x)為兩種特殊形式時.方程的特解的求法：一、f(x) =Pm(x)e 型.因此*設特解形式為當f(x)=Pm(x)e云時.可以猜想*方程的特解也應具有這種形式 y*F(x)/、將其代入方程、得等式Q ”(x) +(2 幾巾)Q (x)丸泊邛)+q)Q(x) =Pm(x).(1)如果)不是特征方程r2巾r+q=0

9、的根、則a邛入為 0.要使上式成立、Q(x)應設為m次多Qm(x)=boxm4bixm+ ”+bmjix+bm *通過比較等式兩邊同次項系數(shù)可確定bo *bi*bm *并得所求特解y* =Qm(x)e如果)是特征方程r2 4pr +q =0的單根、則a+pZJq T、但2 A/巾0、要使等式2Q (X)+(2 k4p)Q(X)% A Fp)K)Q(x)=Pm(x).成立P(x)應設為m4l次多項式：Q(x) =xQm(X)、Qm(X)=b0Xm +bixmd+ ” +bmx+bm ,通過比較等式兩邊同次項系數(shù)*可確定bo*bi并得所求特解y* nQm(x)eX.2 2如果A是特征方程r切+q=

10、0的二重根、則A巾A+q=0 2沖=0、要使等式Q (X)+(2 幾巾)Q (xph/-hZ+q)Q(x) =Pm(x).成立、Q(x)應設為m吃次多項式：Q(x) /Qm(x)、 Qm(X)=b0Xm 加ixm+bmx+bm ,通過比較等式兩邊同次項系數(shù)、可確定b0 .birbm ,并得所求特解y* m2Qm(x)e 為.綜上所述 我們有如下結論：如果f(x)=Pm(x)e趙.則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypypy #(x)有形如y* =xkQm(x)e 入的特解、其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式、而k按/不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2.例

11、1求微分方程y“2yynxF的一個特解.解 這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.且函數(shù)f(x)是Pm(x)?x型(其中Pm(x)=3x十1丄=0).與所給方程對應的齊次方程為y2yy=0 *它的特征方程為r2-2r3=0 .由于這里A =0不是特征方程的根、所以應設特解為y* =b0x+bi.把它代入所給方程.得-3box-2bo-3bi =3x+1 ,比較兩端x同次幕的系數(shù)*得3bo =32bo -3bi =13bo =3、2bo-3bi =1 .由此求得bo=_1 r d二丄.于是求得所給方程的一個特解為3* 亠1求微分方程yHyH6y=xe2x的通解.解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方

12、程.且f(x)是Pm(x)x型(其中Pm(X)=X J尸2).與所給方程對應的齊次方程為它的特征方程為特征方程有兩個實根 ri.于是所給方程對應的齊次方程的通解為Y=Cie%2e3x .由于A=2是特征方程的單根.所以應設方程的特解為 y* =(box 加 i)e2x.把它代入所給方程.得-2box吃bo-bi=x.比較兩端x同次幕的系數(shù)、得：-2bo =12bo-bi=o-2boW . 2boTi=O .由此求得bo*bi亠1.于是求得所給方程的一個特解為yJx(x1歸“從而所給方程的通解為y =Cie2x +C2e3x -2 (x2x)e2x提示2x22xy*=Xbox+bi)e pbox

13、 加ix)e(box2 也ixjeV豐(2box%i)丸box2+bix) 2e2x(box2北ixjeVboabox+bi) 2+(box2+bix) 22e“ y-ny-七y* 彳(box+bixlerK box2+bix)e2x北(box2+bix)e2x22 2x22x22x=2bo 吃(2box+bi) 2+(box +bix) 2 e -5(2box+bi)+(box +bix) 2e +6(box +bix)e2x2x42 bo -44(2 box+bi) -5(2b0x+bi) e一2b0x+2b0i e方程 y4py4qy=eP| (x)coso3x+Pn(x)sinx的特解

14、形式應用歐拉公式可得e Pl (x)cosKix+Pn(x)si nxrxeix+e-xeix_e-it5X=ex P(X)e子+ Pn(x)22i=iP(x)-iPn(x)e(Ex+2P(x)+iPn(x)eM)x=P(x)e仃Mx +P(x)e(l x其中 P(x)=1(PPni) r P(x)=i(P+Pni) .而 mmax l,n. 設方程 yFyFy=P(x)e0如的特解為 yi* zkQm(x)ex則* =xkQm(x)e(3簡必是方程yf Py+qy =P(x)ee的特解*其中k按kdi 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1 .于是方程 y巾ypy=e勺Pi(x)cos

15、o;)x+Pn(x)sinccx的特解為y* =xkQm(x)e仇如x+xkge恥=xke 紐Qm(x)(cosx +i si n 詠)+ Qm(x)(cosx -isi n x)k e必Rm(x)coscox枳m(x)sincox.綜上所述、我們有如下結論：如果f(x)/P|(x)cosxPn(x)sinX r則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程yrypyh(x)的特解可設為y* 怙作只m(x)cosx托m(x)sin Ox、其中Rm(x)、Rm(x)是m次多項式、m=max i、n、而k按入松(或Xh)不是特征方程的根或是 特征方程的單根依次取O或i .例3求微分方程y*ymcos2x的一個特解.解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程且 f(x)屬于 e勺Pl(x)cos酥+Pn(x)sinx型(其中 Z Z Fl(x)點*Pn(x)=0).與所給方程對應的齊次方程為它的特征方程為r2+1 由于這里A出=2i不是特征方程的根、所以應設特解為y* =(ax+b)cos2x+(cx+d )sin2x.把它代入所給方程、得(-3ax -3b +4c)cos2x -(3cx +3d 4a)sin2x =xcos2x .比較兩端同類項的系數(shù)*得a = 1d=4 .39于是求得一個特解為y* =1xcos2x +4sin2x .39提示y* =(ax+