激光原理與技術(shù)原理部分第10講光學(xué)諧振腔-縱模、橫模

1、激光原理與技術(shù)原理部分,第10講 光學(xué)諧振腔：縱模、橫模,10.1 光學(xué)諧振腔的縱模,平平腔的駐波 均勻平面波近似 一般的開放式光學(xué)諧振腔都滿足條件： 在滿足該條件時(shí)，可以將均勻平面波認(rèn)為是腔內(nèi)存在的穩(wěn)定電磁場的本征態(tài)，為平行平面腔內(nèi)的電磁場提供一個(gè)粗略但是形象的描述； 嚴(yán)格的理論證明，只要滿足條件 ，則腔內(nèi)損耗最低的模式仍可以近似為平面波，而 是光腔的菲涅爾數(shù)，它描述了光腔衍射損耗的大小。,10.1.1 自由空間中的駐波,沿z方向傳播的平面波可以表示為： 沿-z方向傳播的平面波為： 發(fā)生重疊時(shí)的電磁場分布為： 該疊加的場分布的振幅在沿z方向上有一個(gè)余弦分布。 在z點(diǎn)處的振幅為 當(dāng) 時(shí)，振幅有

2、最大值 ，稱此位置為波腹； 當(dāng) 時(shí)，振幅有最大值 ，稱此位置為波節(jié)； 駐波頻率為平面波頻率，而且可以為任意值。,10.1.1平平腔的駐波,平行平面腔中的駐波 當(dāng)光波在腔鏡上反射時(shí)，入射波與反射波發(fā)生干涉，而多次往復(fù)反射形成的多光束干涉，穩(wěn)定的振蕩要求干涉加強(qiáng)，發(fā)生相長干涉的條件為：波從某一點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)腔內(nèi)往返一次再回到原位時(shí)，相位應(yīng)與初始出發(fā)時(shí)相差2的整數(shù)倍。 以表示往返一周后的相位差： 其中的q為任意正整數(shù)，將滿足上式的波長以 來標(biāo)記，則有： 上式意味著一定長度的諧振腔只能對一定頻率的光波形成正反饋， 為腔的諧振頻率，同時(shí)表明腔內(nèi)的諧振頻率是分立的。,10.1.1平平腔的駐波,當(dāng)發(fā)生諧振時(shí)，腔

3、內(nèi)的光學(xué)長度為光波半波長的整數(shù)倍，這是腔內(nèi)駐波的特征。 當(dāng)腔內(nèi)為均勻的折射率為 的物質(zhì)時(shí)有： 其中L為腔的幾何長度，則 ， 其中的 是物質(zhì)中的諧振波長。 當(dāng)腔內(nèi)物質(zhì)為分段均勻，則有： 當(dāng)物質(zhì)沿軸線分布不均勻時(shí)有：,10.1.2 光學(xué)諧振腔中的縱模,將腔內(nèi)穩(wěn)定存在的、由整數(shù)q表征的光波縱向分布稱為腔的縱模(Longitudinal mode)。在簡化模型中，q單值的決定模的諧振頻率。 腔的兩相鄰縱模的頻率之差稱為縱模間隔： 對于腔內(nèi)是均勻介質(zhì)的諧振腔 則有：,10.1.2 光學(xué)諧振腔中的縱模,例： 對于L=10cm的氣體激光器，=1，則有 ； 對于L=100cm的氣體激光器， ； 對于L=10c

4、m，=1.76的固體激光器， ； 當(dāng)其他參數(shù)固定時(shí)，光腔的腔長增加，頻率間隔減小； 對于微波腔，其尺寸可以與波長相比擬，則在腔中只會激發(fā)低階本征模式，而在光學(xué)諧振腔中，它工作在極高的諧波上，既q是一個(gè)很大的整數(shù)。 例如L=100cm，=632.8nm的He-Ne激光器：,10.1.3 腔內(nèi)的多縱模振蕩,某個(gè)縱模q能夠在腔內(nèi)存在必須滿足以下條件： 滿足腔內(nèi)諧振頻率條件： q必須落在激活介質(zhì)發(fā)光的原子譜線內(nèi)，此時(shí)激活介質(zhì)才能對該縱模提供增益； 滿足振蕩閾值條件 ； 在光學(xué)諧振腔中能夠存在的 縱模數(shù)最多只能有：,10.1.3 腔內(nèi)的多縱模振蕩,頻率漂移 對某個(gè)腔內(nèi)縱模q： 由此可知，當(dāng)腔長L或者折射

5、率發(fā)生 變化時(shí)，縱模的諧振頻率也會發(fā)生變化。 這種振蕩頻率隨外界環(huán)境變化而發(fā)生緩 慢變化的現(xiàn)象稱為頻率漂移。 假設(shè)腔內(nèi)縱模頻率會隨溫度發(fā)生變化， 如圖所示，當(dāng)溫度為T0時(shí)，只有q能 夠振蕩；當(dāng)溫度為T2時(shí)，q漂出T 的范圍，而q+1漂進(jìn)T ，則腔內(nèi)模 式發(fā)生了變化，稱為跳模現(xiàn)象 頻率漂移現(xiàn)象都是有害的嗎？,10.2.0 開腔模式的物理概念和衍射理論分析方法,我們關(guān)心的問題：在由無側(cè)面的共軸反射鏡構(gòu)成的開放光學(xué)諧振腔區(qū)域中，是否存在不隨時(shí)間變化的穩(wěn)定的電磁場分布？ 如何求出這個(gè)分布的具體形式？ 在考察光學(xué)諧振腔中電磁場的分布時(shí)，我們首先關(guān)心的是鏡面上的分布，因?yàn)殓R面一般作為激光輸出窗口，而輸出激

6、光的場分布就直接與鏡面上的場分布有關(guān)。,10.2 開腔模式的物理概念,開腔中有多種損耗： 由于反射鏡尺寸有限，在反射鏡邊界處引起的衍射損耗，該損耗會影響開腔中振蕩的激光模式的橫向分布； 反射鏡不完全反射、介質(zhì)吸收等因素引起的損耗不影響模式的橫向分布； 開腔的理想模型：兩塊反射鏡片處于均勻的各向同性介質(zhì)中；,10.2 開腔模式的物理概念,假設(shè)初始時(shí)在鏡面1上有分布為u1的電磁場從鏡面1向鏡面2傳輸，經(jīng)過一次渡越，在鏡面2上有分布為u2的場，在經(jīng)過反射后再次渡越回到鏡面1時(shí)場的分布為u3，如此反復(fù)。 受到各種損耗的影響，不僅每次渡越會造成能量的衰減，而且振幅橫向分布也會由于衍射損耗的存在而發(fā)生改變

7、； 由于衍射損耗僅發(fā)生在鏡面的邊緣，因此只有中心振幅大，邊緣振幅小的場才會盡可能少的受到衍射損耗的影響。經(jīng)過多次渡越后，這樣的模式除了振幅整體下降，其橫向分布將不發(fā)生變化，即在腔內(nèi)往返傳輸一次后可以“再現(xiàn)”出發(fā)時(shí)的振幅分布。,10.2 開腔模式的物理概念,將開腔中這種經(jīng)一次往返可再現(xiàn)的穩(wěn)定電磁場分布稱為開腔的自再現(xiàn)模； 自再現(xiàn)模經(jīng)一次往返所發(fā)生的能量損耗定義為模的往返損耗，它等于衍射損耗； 自再現(xiàn)模經(jīng)一次往返所產(chǎn)生的相位差定義為往返相移，往返相移應(yīng)為2的整數(shù)倍，這是由腔內(nèi)模的諧振條件決定的。,10.2 開腔模式的物理概念,孔闌傳輸線 開腔物理模型中衍射的作用 腔內(nèi)會隨機(jī)的產(chǎn)生各種不同的模，而衍

8、射效應(yīng)將其中可以實(shí)現(xiàn)自再現(xiàn)的模式選擇出來； 由于衍射的影響，鏡面上每一點(diǎn)的電磁場都可以視作前一個(gè)鏡面上每一點(diǎn)作為次級子波源發(fā)出光波場的疊加，因此每點(diǎn)的相位之間的關(guān)聯(lián)就越來越緊密，即相干性越來越好；,10.3 開腔衍射理論分析,菲涅爾-基爾霍夫衍射積分 惠更斯-菲涅爾原理：波前上每一點(diǎn)都可以看成是新的波源，發(fā)出次級子波，空間中的任意一點(diǎn)的光場就是這些子波在該點(diǎn)相干疊加的結(jié)果； 該原理是研究光學(xué)衍射現(xiàn)象的基礎(chǔ)，因此也必然是開腔模式的物理基礎(chǔ)； 該原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式是基爾霍夫衍射積分方程；,10.3 開腔衍射理論分析,設(shè)已知空間某一曲面S上光波長的振幅和相位分布函數(shù)為u(x,y)，則空間任一點(diǎn)P處的光

9、場分布，可以看作曲面S上每點(diǎn)作為次級子波源發(fā)出的非均勻球面波在P點(diǎn)的疊加，由菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式來描述： 為什么用菲涅爾-基爾霍夫衍射積分公式？ 其中k=2/為波矢的模，也稱為波數(shù)； dS是S面上的面積元； 為源點(diǎn)與P點(diǎn)之間連線的長度； 為源點(diǎn)處S面法線與P點(diǎn)連線之間的夾角； 表示球面波，(1+cos)為傾斜因 子，表示非均勻球面波；,10.3 開腔衍射理論分析,將該公式應(yīng)用于研究諧振腔問題，它描述了鏡面S1上光場u1(x,y)經(jīng)過衍射后在鏡面S2上面形成光場分布u2; 要做出如下假設(shè)： 1、 在小角度近似下有： 并且在此 情況下可以將光場的兩種偏 振狀態(tài)作為獨(dú)立變量分別求解； 2、

10、，被積函數(shù)中的指 數(shù)因子 不能簡單將用L代 替，只能根據(jù)不同諧振腔情況 來簡化； 3、腔內(nèi)振幅衰減是緩慢的；,10.3 開腔衍射理論分析,經(jīng)過q次傳播后： 將第一個(gè)假設(shè)帶入其中有： 由開腔理論中描述的自再現(xiàn)模的定義可知，在開腔內(nèi)穩(wěn)定傳輸?shù)墓獠Ｊ綉?yīng)滿足關(guān)系： 在穩(wěn)定情況下，uq從鏡面S1傳播到S2時(shí)，除 了一個(gè)表示振幅衰減和相位移動(dòng)的、與坐標(biāo) 無關(guān)的復(fù)常數(shù)因子外， 其分布能夠被 uq+1再現(xiàn)。,10.3 開腔衍射理論分析,腔內(nèi)存在的穩(wěn)定光波場，它們由一個(gè)腔面?zhèn)鞑サ搅硪粋€(gè)腔面的過程中，雖然會受到衍射效應(yīng)的影響，但是這些光波長在兩個(gè)腔面處的相對振幅分布和相位分布保持不變。,10.3 開腔衍射理論分

11、析,以E(x,y)表示開腔中的穩(wěn)定光場分布函數(shù)u，則上式可以簡化為： 該式是開腔自再現(xiàn)模滿足的積分方程，滿足以上方程的函數(shù)E稱為本征函數(shù)，為本征值，而K為積分方程的核； 對于對稱腔：,10.3 開腔衍射理論分析,滿足上式的本征函數(shù)E就是腔的自再現(xiàn)模，也稱為腔的橫模，E一般是復(fù)函數(shù)，其模|E(x,y)|描述的是鏡面上的振幅分布，其幅角argE(x,y)表示鏡面上的相位分布； 為復(fù)常數(shù)，不妨設(shè)為： 其中的a、為與坐標(biāo)無關(guān)的實(shí)常數(shù)，則自再現(xiàn)模可以表示為： 由此可見，e-a表示腔內(nèi)渡越一次后自再現(xiàn)模的振幅衰減，a越大損耗越大，a=0表示無損耗傳輸； 表示渡越一次后自再現(xiàn)模的相位滯后，越大相位滯后越多。,10.3 開腔衍射理論分析,從鏡面S1出射的光功率為： 被鏡面S2反射后的自再現(xiàn)模的功率為： 自再現(xiàn)模在腔內(nèi)渡越一次時(shí)受到的