棱錐體積推導(dǎo)ppt課件

1、棱錐的體積,1,復(fù)習(xí)： 1、等底面積等高的兩個柱體體積相等。 2、V柱體Sh 3、柱體體積公式的推導(dǎo),2,柱體體積公式的推導(dǎo)：,等底面積等高的幾個柱體被平行于平面的平面所截截面面積始終相等,體積相等,V長方體abc,V柱體Sh,3,問題：對比柱體體積公式的推導(dǎo)及結(jié)論，猜想一下 錐體體積是否具有相似的結(jié)論？,4,定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。,h1,S1,h1,S2,h,S,h,S,取任意兩個錐體，它們 的底面積為S，高都是h,平行于平面的任一平面去截,截面面積始終相等,兩個錐體體積相等,5,定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。,證明：取任意兩個錐體，設(shè)它們的底面積為S，高都是h。

2、,把這兩個錐體 放在同一個平面上，這是它們的頂點都在和平面平行的同一個平 面內(nèi)，,用平行于平面的任一平面去截它們，,截面分別與底面相似，,設(shè)截面和頂點的距離是h1，截面面積分別是S1S,根據(jù)祖搄原理，這兩個錐體的體積相等。,6,=,先割后補,先補后割,7,與三棱柱相對照，請猜想三棱錐體積公式。,C1,B1,8,9,與三棱柱相對照，請猜想三棱錐體積公式。,10,C1,B1,把三棱錐1以 ABC為底面、 AA1為側(cè)棱補成 一個三棱柱。,猜測三棱錐的體積公式:,11,連接B1C,然后 把這個三棱柱 分割成三個三 棱錐。,就是三棱錐1 和另兩個三棱 錐2、3。,猜測三棱錐的體積公式:,12,就是三棱錐

3、1 和另兩個三棱 錐2、3。,猜測三棱錐的體積公式:,13,14,15,16,17,V1V2V3 V三棱柱,18,定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么 它的體積是 V三棱錐 Sh,19,猜測:n棱錐的體積公式： Vn棱錐= Vn棱柱,20,任意錐體的體積公式：,定理三：如果一個錐體的底面積是S， 高是h，那么它的體積是 V錐體 Sh,21,小結(jié)： 定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。 定理二：如果三棱錐的底面積是S，高是h， 那么它的體積是 V三棱錐 Sh 定理三：如果一個錐體的底面積是S,高是h， 那么它的體積是 V錐體 Sh,22,例1.如圖是一石柱, 石柱頂上部是一個正四 棱

4、錐,下部是一個正四棱柱. 已知正四 棱柱底面邊長0.5米, 高1米, 正四棱錐 的高是0.3米.石料比重d為每一立方米 2400千克. 求這個石柱的重量.,23,解:,V棱錐=,V棱柱=,所以石柱的重量 P=(V棱柱+V棱錐)d=660(千克).,24,例2.在三棱錐V-ABC中,已知AC=BC=13,AB=10， 三個側(cè)面與底面所成的二面角均為60o, VO平面ABC, 交平面ABC于O.,B,A,C,V,E,O,F,D,(2) 求 三棱錐的高.,(3) 求 三棱錐的體積.,(1) 求證： O是 ABC的內(nèi)心.,25,OD為VD在平面ABC內(nèi)的射影, 根據(jù)三垂線定理, 得VDAB.于是VDO

5、為側(cè)面VAB與底面所成二面角的平面角. VDO=VEO=VFO=60o.,C,V,解:（1）連結(jié)CO并延長交AB于D, 過O在平面ABC 內(nèi)分別作AC、BC的垂線, F、E為垂足. 連結(jié)VD、VF、VE.,A,E,O,F,D,B,RETURN,因為VO平面ABC,CD AB,顯然 OD =OE =OF = VOctg60o, 即點O到 ABC三邊距離相等. 因此 O是ABC的內(nèi)心.,26,C,V,E,O,F,D,A,B,27,例3. 已知正四棱錐相鄰兩個側(cè)面所成二面 角為120o, 底面邊長a, 求它的高、體積.,A,B,C,D,S,E,O,28,解：連結(jié)AC、BD交于O，連結(jié)SO， 則SO為

6、正四棱錐的高. 過B作BESC, E為垂足.連結(jié)DE, 則DEB為二面角D-SC-EB的平面角, 所以DEB=120o.,29,A,S,B,C,D,E,O,連結(jié)OE,30,例4.如圖三棱錐V-ABC中, D為BC上一點,E為 AV上一點, BCED, BCAV, ED AV, 已知 BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm. 求:三棱錐的體積.,V,A,B,C,D,E,31,NEXT,RETURN,解：,32,RETURN,33,例5、如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,G為A1B1上的點,E、F在棱AB上,H在C1D1上. (1).若點G在A1B1上滑動, H在C1D1上滑動,線段E

7、F在AB上滑動,則VH-EFG的值有何變化? (2).若點G滑動到B1,E、F滑動到A、B點,H滑動到D1點,則VH-EFG體積為多少?,G,H,E,F,34,例6：已知：三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD， 側(cè)面ABC與底面所成的角為 求證：V三棱錐 SABCADcos, SAB C ADcos, BC AEcos AD,V三棱錐 SB CD AD, BC DE AD,35,例6：已知:三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD， 側(cè)面ABC與底面所成的角為 求證：V三棱錐 SABCADcos,問題1、ADcos有什么幾何意義？,F,結(jié)論： V三棱錐 SAB C DF,36,例6、已

8、知：三棱錐A-BCD的側(cè)棱AD垂直于底面BCD， 側(cè)面ABC與底面所成的角為 求證：V三棱錐 SABCADcos,結(jié)論： V三棱錐VC-AEDVB-AED,問題2、解答過程中的 BC AEcos AD其中 AEcos AD可表示什么意思？,AEcosED,又BE與CE都垂直平面AED，故BE、CE 分別是三棱錐B-AED、C-AED的高。,分析：,37,練習(xí)1：,將長方體沿相鄰三個面的對角線截去一個三棱錐， 這個三棱錐的體積是長方體體積幾分之幾？（請 列出三棱錐體積表達式）,問題1、你能有幾種 解法？,問題2、如果這是一 個平行六面 體呢？或者 四棱柱呢？,38,練習(xí)2:,從一個正方體中，如圖

9、那樣截去四個三棱錐，得 到一個正三棱錐A-BCD，求它的體積是正方體體 積的幾分之幾？,問題2、如果改為求 棱長為a的正四面 體A-BCD的體積。 你能有幾種解法？,問題1、你能有幾種 解法？,解一、補形，將三棱 錐補成一個正方體。,解二、利用體積公式 V四面體 SBCDh,解三、將四面體分割為 三棱錐C-ABE和三棱 錐D-ABE,E,39,小結(jié)：,1、錐體體積公式的證明體現(xiàn)了從整體上掌握知識的思想，形象具體地在立體幾何中運用“割補”進行解題的技巧。,2、三棱錐體積的證明分兩步進行： 、證明底面積相等、高也相等的任意兩個錐體體積相等： （一個錐體的體積計算可以間接求得） 、證明三棱錐的體積等

10、于其底面積與高的積的三分之一： （它充分揭示了一個三棱錐的獨特性質(zhì)，可根據(jù)需要重 新安排底面，這樣也為點到面的距離、線到面的距離計 算提供了新的思考方法。這一點以后再學(xué)習(xí)。）,3、錐體的體積計算在立體幾何體積計算中，占有重要位置，它 可補成柱體又可以截成臺體，它可以自換底面、自換頂點，在 計算與證明中有較大的靈活性，技巧運用得當，可使解題過程 簡化，常常給人耳目一新的感覺。,40,小結(jié)： 4、定理及推論 定理一、等底面積等高的兩個錐體體積相等。 定理二、如果三棱錐的底面積是S，高是h，那么 它的體積是 V三棱錐 Sh 定理三：如果一個錐體（棱錐、圓錐）的底面積 是S，高是h，那么它的體積是 V錐體 Sh 推論：如果圓錐的底面半徑是