第09講點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)

1、第三章 金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ),第二節(jié) 應(yīng)變分析,第二講 點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)分析,體積不變條件,應(yīng)變狀態(tài)分析,應(yīng)變?cè)隽?簡(jiǎn)單應(yīng)變,塑性變形時(shí)的體積不變條件,設(shè)單元體初始邊長(zhǎng)為 dx,dy,dz,變形前的體積,變形后邊長(zhǎng),變形后的體積,展開(kāi)，略去高階微量,體積變化率,在彈性變形中，可正可負(fù)，在塑性變形中，認(rèn)為體積不變?yōu)榱恪?體積不變條件為,塑性變形時(shí)，三個(gè)線應(yīng)變分量不可能全部同號(hào)，絕對(duì)值最大的應(yīng)變分量永遠(yuǎn)和另外兩個(gè)應(yīng)變分量的符號(hào)相反。,塑性變形時(shí)的體積不變條件,對(duì)數(shù)應(yīng)變表示的體積不變條件:,例:一塊長(zhǎng)、寬、厚為120mm36mm 0.5mm的平板，拉伸后在長(zhǎng)度方向均勻伸長(zhǎng)至144mm，若寬度不變時(shí)，求

2、平板的最終尺寸。 根據(jù)變形條件可求得長(zhǎng)、寬、厚方向上的主應(yīng)變（用對(duì)數(shù)應(yīng)變表示)為：,由體積不變條件,得,所以,即,所以，平板的最終尺寸為 144mm36mm 0.417mm,塑性變形時(shí)的體積不變條件,點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)相比較,點(diǎn)的應(yīng)變張量與應(yīng)力張量不僅在形式上相似，而且其性質(zhì)和特性也相似。因此，在研究應(yīng)變狀態(tài)理論時(shí)，一些公式不需再推導(dǎo)，直接由與應(yīng)力張量相似性得到，只要將應(yīng)變張量中的線應(yīng)變分量和切應(yīng)變分量分別與應(yīng)力張量中的正應(yīng)力分量和切應(yīng)力分量相對(duì)應(yīng)即可。,1、主應(yīng)變、應(yīng)變張量不變量、主切應(yīng)變和最大切應(yīng)變、主應(yīng)變簡(jiǎn)圖,（1）主應(yīng)變 過(guò)變形體內(nèi)一點(diǎn)存在有三個(gè)相互垂直的應(yīng)變主方向(也稱應(yīng)變主軸)

3、，該方向上線元沒(méi)有切應(yīng)變，只有線應(yīng)變，稱為主應(yīng)變。用1, 2, 3表示,在主軸坐標(biāo)系統(tǒng)中，應(yīng)變張量為,（2）應(yīng)變張量不變量,應(yīng)變狀態(tài)特征方程,應(yīng)變張量不變量,（3）主切應(yīng)變和最大切應(yīng)變,若123,則,(4)主應(yīng)變簡(jiǎn)圖 用主應(yīng)變的個(gè)數(shù)和符號(hào)來(lái)表示應(yīng)變狀態(tài)的簡(jiǎn)圖稱主應(yīng)變狀態(tài)圖，簡(jiǎn)稱為主應(yīng)變簡(jiǎn)圖或主應(yīng)變圖。,a)壓縮類變形,b)剪切類變形(平面變形),c)伸長(zhǎng)類變形,特征應(yīng)變?yōu)樨?fù)應(yīng)變，另外兩個(gè)應(yīng)變?yōu)檎龖?yīng)變。,一個(gè)應(yīng)變?yōu)榱?，其他兩個(gè)應(yīng)變大小相等，方向相反。,特征應(yīng)變?yōu)檎龖?yīng)變，另外兩個(gè)應(yīng)變?yōu)樨?fù)正應(yīng)變。,2、八面體應(yīng)變,八面體線應(yīng)變,八面體切應(yīng)變,3、應(yīng)變偏張量和應(yīng)變球張量,4、等效應(yīng)變,取八面體切應(yīng)變絕

4、對(duì)值的,倍所得之參量稱為等效應(yīng)變，也稱廣義,應(yīng)變或應(yīng)變強(qiáng)度。,比較,等效應(yīng)變的特點(diǎn),1)是一個(gè)不變量； 2)在塑性變形時(shí)，其數(shù)值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的 線應(yīng)變。,應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)變速率張量,1、速度分量和速度場(chǎng),速度分量：質(zhì)點(diǎn)在單位時(shí)間內(nèi)的位移稱位移速度，位移速度在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影稱位移速度分量，簡(jiǎn)稱速度分量。,位移速度是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，又是時(shí)間的函數(shù)，,或,2、位移增量和應(yīng)變?cè)隽?位移增量:物體在變形過(guò)程中，在一個(gè)極短的時(shí)間dt內(nèi)，其質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生極小的位移變化量稱為位移增量,記為dui,全量應(yīng)變和應(yīng)變?cè)隽康母拍?全量應(yīng)變:在變形的某過(guò)程或過(guò)程的某階段終了時(shí)的應(yīng)變,應(yīng)變?cè)隽浚鹤冃芜^(guò)程中

5、某極短階段的無(wú)限小應(yīng)變,速度分量：,或,位移增量分量：,應(yīng)變?cè)隽浚?代入幾何方程,即,一點(diǎn)的應(yīng)變?cè)隽恳彩嵌A對(duì)稱張量，稱應(yīng)變?cè)隽繌埩?注意：dij中的d不是微分符號(hào)， dij不表示ij的微分。,3、應(yīng)變速率張量,應(yīng)變速率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)的應(yīng)變稱為應(yīng)變速率,將,代入,兩邊同除以時(shí)間dt,或,應(yīng)變速率表示變形程度的變化快慢，它不但取決于成形工具的運(yùn)動(dòng)速度，而且與變形體的形狀尺寸及邊界條件有關(guān)，所以不能僅僅用工具或質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度來(lái)衡量物體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的變形速度。,例一：矩形柱體在無(wú)摩擦的光滑平板間壓縮。,設(shè)：u,v,w線性分布,壓下量H:,當(dāng)z=0時(shí)，w=0, z=H時(shí)，w= -H,所以：,例題,由體積不變條

6、件：,設(shè)壓下量為H時(shí)，長(zhǎng)寬方向伸長(zhǎng)2L,展開(kāi)，略去高階微量,設(shè)：u=cx+d,當(dāng)x=0時(shí)，u=0, 得 d=0,同理：,平面應(yīng)變,概念 如果物體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都只在同一個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)發(fā)生變形，而在該平面的法線方向沒(méi)有變形，這種變形稱為平面變形或平面應(yīng)變。發(fā)生變形的平面稱塑性流平面。,特點(diǎn)：,、z 為主方向，各分量與z無(wú)關(guān)，對(duì)z的偏導(dǎo)數(shù)為零,、塑性變形時(shí)體積不變,平面應(yīng)變,幾何方程,平面應(yīng)變,應(yīng)力特點(diǎn),1)由于平面變形時(shí)，物體內(nèi)與z軸垂直的平面始終不會(huì)傾斜扭曲，所以z平面上沒(méi)有切應(yīng)力分量，為應(yīng)力主方向。,平面應(yīng)變,應(yīng)力特點(diǎn),),平面變形的應(yīng)力狀態(tài)是純切應(yīng)力狀態(tài)疊加一球應(yīng)力狀態(tài)。,平面應(yīng)變,應(yīng)力特點(diǎn),3)平面變形時(shí)，由于z是不變量，而且其它應(yīng)力分量 都與z軸無(wú)關(guān)，所以應(yīng)力平衡微分方程和平面應(yīng)力狀態(tài) 下的應(yīng)力平衡微分方程是一樣的，即,平面應(yīng)變,平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài)的共同點(diǎn),3) 各應(yīng)力分量與z無(wú)關(guān)，對(duì)z的偏導(dǎo)數(shù)為零，平衡微分方程相同。,工程應(yīng)用,絕對(duì)變形量 鍛造和軋制時(shí) 壓下： 展寬： 管材拉拔時(shí) 減徑： 減壁：,1、特殊工藝，特殊的方向 2、不能表示變形