1985年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試.理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、1985 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案考生注意：這份試題共八道大題， 滿分 120 分第九題是附加題， 滿分10 分，不計(jì)入總分一（本題滿分 15 分）本題共有 5 小題，每小題都給出代號(hào)為A，B，C，D 的四個(gè)結(jié)論，其中只有一個(gè)結(jié)論是正確的，把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi)， 選對(duì)的得 3 分、不選，選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過一個(gè)的（不論是否都寫在圓括號(hào)內(nèi)） ，一律得 0 分（1）如果正方體 ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為 a ，那么四面體 A-ABD的體積是（ D )( A) a3(B) a 3(C) a 3(D) a32346（2） tgx1是 x5的（ A ）4（A）必要

2、條件（B）充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分又不必要的條件（3）在下面給出的函數(shù)中，哪一個(gè)函數(shù)既是區(qū)間(0,) 上的增函數(shù)又2是以 為周期的偶函數(shù)？（ B ）（A）yx2().（ ） y| sin x | (xR)x RB（C） ycos 2x(xR)（D） yesin 2 x ( xR)(4) 極坐標(biāo)方程a sin (a0) 的圖象是（ C ）(A)OXa(C)a2XO2(B)O(D)aXaOX（5）用 1，2，3，4，5 這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000 大，并且百位數(shù)不是數(shù)字 3 的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有（ B ）（A）96 個(gè)（B）78 個(gè)（C）72 個(gè)（D）64 個(gè)二（本題

3、滿分 20 分）本題共 5 小題，每一個(gè)小題滿分4 分只要求直接寫出結(jié)果）（1）求方程 2sin( x)1解集6答： x | xk(1) k1, kZ.6（2）設(shè) | a | 1，求 arccos aarccos( a) 的值答： （3）求曲線 y 216x64 的焦點(diǎn)答：（0，0）（ 4）設(shè) (3x-1) 6=a6 x6+a5x5+a4x4+a3 x3+a2x2+a1x+a0 , 求 a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0 的值答： 64（或 26 ）（ 5）設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域是 0 ，1 ，求函數(shù) f(x 2) 的定義域答： -1 ，1三（本題滿分 14 分）（1）解方程 log

4、 4 (3x)log 0.25 (3x)log 4 (1x)log 0.25 (2x1).解：由原對(duì)數(shù)方程得log 43xlog 0.252x1log 42x1 ,1x3x3xlog 43x2x10,由此得到 (3x)( 2x 1)11x3x(1x)(3x)解這個(gè)方程，得到 x =0,x2=7.1檢驗(yàn)： x=7 是增根， x=0 是原方程的根（2）解不等式2x 5x1.解： 2x502x50或x1 0x102x5x22x 1解得 x |5x2.2四（本題滿分 15 分）如圖，設(shè)平面 AC和 BD相交于 BC，它們所成的一個(gè)二面角為 450，P為平面 AC內(nèi)的一點(diǎn)， Q為面 BD內(nèi)的一點(diǎn) 已知直

5、線 MQ是直線 PQ在平面 BD內(nèi)的射影，并且 M在 BC上又設(shè) PQ與平面 BD所成的角為 ，CMQ=（00900) ，線段 PM的長(zhǎng)為 a ，求線段 PQ的長(zhǎng)解：自點(diǎn) P 作平面 BD的垂AP線，垂足為 R，由于直線BNC 450MQ是直線 PQ在平面 BD內(nèi)MR的射影，所以 R在 MQ上，QD過 R作 BC的垂線，設(shè)垂足為N，則 PNBC（三垂線定理） 因此 PNR是所給二面角的平面角， 所以0PNR=45由于直線 MQ是直線 PQ在平面 BD內(nèi)的射影，所以 PQR=0所以 NR=PR在 RtPNR中， NR=PRctg45,在 RtMNR中， MR=NR1PR1sinsin在 RtPM

6、R中， a 2PR 2MR 2PR2PR2PR2 (11)sin 2sin 200a sin.又已知 0 90 ，所以 PR1sin 2在 RtPRQ中， PQPR1sina sinsin 2.sin1故線段 PQ的長(zhǎng)為asinsin 2sin1五（本題滿分 15 分）設(shè) O為復(fù)平面的原點(diǎn)， Z1 和 Z2 為復(fù)平面內(nèi)的兩動(dòng)點(diǎn)，并且滿足： （1）Z 和 Z 所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的輻角分別為定值和- (0)，122（2） OZZ 的面積為定值 S12求 OZ1Z2 的重心 Z 所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的模的最小值解：設(shè) Z1,Z 2 和 Z 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分Y別為 z1 ,z 2 和 z，其中Z 1z1r1 (coi

7、sin ),z2r2 ( coi sin).O- X由于 Z 是 OZ1Z2 的重心，根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何意義，則有Z23zz1z2(r1r2 ) cos(r1r2 )i sin .于是| 3z |2(r1r2 ) 2 cos2(r1r 2 ) 2 sin 2(r1r2 ) 2cos24r1r2 cos2(r1 r2 )2 sin 2(r1r2 ) 24r1r2 cos2又知 OZZ 的面積為定值 S及 sin 20(0)，所以1221 r1r 2 sin 2S,即 r1r22S2sin 2由此 ,| 3z |2( r1 r2 )28S cos2(r1 r2 ) 24Sctgsin 2故當(dāng) r1

8、 r22S 時(shí) ,| z | 最小 ,且 | z |最小值2Sctg .sin 23六（本題滿分 15 分）已知兩點(diǎn) P（-2 ，2），Q（0，2）以及一條直線： L:y=x ，設(shè)長(zhǎng)為 2 的線段 AB在直線 L 上移動(dòng)，如圖 求直線 PA和 QB的交點(diǎn) M的軌跡方程（要求把結(jié)果寫成普通方程）解：由于線段 AB在直線 y=x 上移動(dòng)，且 AB的長(zhǎng)2 ，所以可設(shè)點(diǎn)A和 B 分別是（ a , a ) 和( a +1, a +1) ，其中 a 為參數(shù)于是可得：直線PA的方程是y2a2 ( x2)(a2) (1)Ya2y=x直線 QB的方程是QPy2a1(a1)(2)axX11. 當(dāng) a 2a 1,即

9、 a0時(shí), 直線2 B Oa2a1APA和 QB平行，無交點(diǎn)M2當(dāng) a0 時(shí)，直線 PA與 QB相交，設(shè)交點(diǎn)為M(x,y) ，由（ 2）式得y 2 (12 ) x, a 12x, a 23x y 2 , a 23y x 6 .a 1x y 2x y 2x y 2將上述兩式代入（ 1）式，得y23yx6 ( x 2)整理得 x2y 22x 2 y 8 0 即3xy2(x1) 2( y1) 2(*)818當(dāng) a =-2 或 a =-1 時(shí)，直線 PA和 QB仍然相交，并且交點(diǎn)坐標(biāo)也滿足 （* ）式所以（ * ）式即為所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程注：考生沒指出“ a =0”及“ a =-2 或 a =-1 ”

10、時(shí)的情形不扣分七（本題滿分 14 分）設(shè) an1 22 3n(n1) (n1,2)（1）證明不等式 n(n1)an( n1) 2對(duì)所有的正整數(shù) n 都成立22（2）設(shè) bnan(n1,2), 用定義證明 lim bn1 .n( n1)n2（1）證一：用數(shù)學(xué)歸納法 略證二：由不等式 kk (k1)k(k1)2k1 對(duì)所有正整數(shù) k 成立，22把它對(duì) k 從 1 到 n（n1）求和，得到12n an352n1222又因 12nn(n1) ,以及2352n11 13 5(2n 1)(n1) 2,22222因此不等式 n(n1)an( n1) 2.22對(duì)所有的正整數(shù)n 都成立（2）由（ 1）及 bn

11、的定義知1bnn 1 11 ,于是 bn1bn1122n22n222n對(duì)任意指定的正數(shù) ，要使 bn1，只要使 1，即只要使22nn 1 . 取 N 是 1 的整數(shù)部分，則數(shù)列 bn 的第 N項(xiàng)以后所有的項(xiàng)都滿足221bn2根據(jù)極限的定義，證得 lim bn1 .n2八（本題滿分 12 分）設(shè) a ,b 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，A=(x,y)|x=n,y=na +b,n 是整數(shù) ，B=(x,y)|x=m,y=3m2+15,m 是整數(shù) ，C=(x,y)|x2+y2144 ，是平面 XOY內(nèi)的點(diǎn)集合，討論是否存在a 和 b 使得（ 1）AB （ 表示空集），（ 2）（ a ,b) C同時(shí)成立解：如果實(shí)數(shù) a

12、和 b 使得（ 1）成立，于是存在整數(shù)m和 n 使得(n,n a +b)=(m,3m2+15),n m,即 na b 3m2 15.由此得出，存在整數(shù) n 使得 n a +b=3n2+15, 或?qū)懗?n a +b-(3n 2+15)=0這個(gè)等式表明點(diǎn) P（ a ,b) 在直線 L：nx+y-(3n2+15)=0 上，記從原點(diǎn)3n215n212) 12到直線 L 的距離為 d，于是 d6(2n2n 211當(dāng)且僅當(dāng)n211,即n 23 時(shí)上式中等號(hào)才成立 由于 n 是整數(shù)，因此2n 23，所以上式中等號(hào)不可能成立即 d12因?yàn)辄c(diǎn) P 在直線 L 上，點(diǎn) P 到原點(diǎn)的距離a 2b 2必滿足a2b2d

13、12.而（2）成立要求 a 2+b2144，即a2b 212 由此可見使得（ 1）成立的 a 和 b 必不能使（ 2）成立所以，不存在實(shí)數(shù) a 和 b 使得（ 1），（2）同時(shí)成立九（附加題，本題滿分 10 分，）已知曲線 y=x3-6x 2+11x-6. 在它對(duì)應(yīng)于 x0,2 的弧段上求一點(diǎn)P，使得曲線在該點(diǎn)的切線在y 軸上的截距為最小，并求出這個(gè)最小值解：已知曲線方程是y=x3-6x 2+11x-6 ，因此 y=3x2-12x+11在曲線上任取一點(diǎn)P(x 0,y 0), 則點(diǎn) P 處切線的斜率是2y| x=x0 =3x0 -12x 0+11點(diǎn) P 處切線方程是y=(3x 02-12x 0+11)(x-x 0)+y 0設(shè)這切線與 y 軸的截距為 r ，則r=(3x2-12x +