人教版高中數(shù)學(xué)必修一第3講：函數(shù)的相關(guān)概念與映射（教師版）

1、函數(shù)的相關(guān)概念與映射_1、 通過(guò)豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型；2、 學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用；3、 了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.一、映射的概念：設(shè)、是兩個(gè)非空的集合，如果按某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)于集合中的任意一個(gè)元素，在集合中都有唯一確定的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合、，以及對(duì)應(yīng)關(guān)系）叫做集合到集合的映射，記作：。二、像與原像的概念：給定一個(gè)集合A到集合B的映射，且，如果元素和元素b對(duì)應(yīng)，那么我們把元素b叫做元素的像，元素叫做元素b的原像。特別提醒：1、對(duì)于映射來(lái)說(shuō)，則應(yīng)注意理解以下

2、四點(diǎn)： （1）集合中每一個(gè)元素，在集合中必有唯一的象；（2）集合中不同元素，在集合中可以有相同的象；（3）集合中的元素與集合中的元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以是：“一對(duì)一”、“多對(duì)一”，但不能是“一對(duì)多”。（4）允許集合中的元素沒(méi)有象；2、集合、及對(duì)應(yīng)法則是確定的，是一個(gè)系統(tǒng)；3、對(duì)應(yīng)法則有“方向性”。即強(qiáng)調(diào)從集合A到集合B的對(duì)應(yīng)，它與從B到A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；三、映射：一般地，設(shè)，是兩個(gè)非空的集合，是集合到集合的映射，如果在這個(gè)映射下，對(duì)于集合中的不同的元素，在集合中有不同的象，而且中每一個(gè)元素都有原象，那么這個(gè)映射叫做到的一一映射。特別提醒：對(duì)一一映射概念的理解應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：（1）集合B中的

3、每一個(gè)元素都有原象，也就是說(shuō)，集合中不允許有剩余的元素。（2）對(duì)于集合中的不同元素，在集合中有不同的象，也就是說(shuō)，不允許“多對(duì)一”；四、函數(shù)的概念 ：設(shè)、是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系,使對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù),在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)，記作。其中叫自變量，的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。特別提醒：1、函數(shù)實(shí)際上就是集合到集合的一個(gè)特殊映射 ，其特殊處主要在于集合, 為非空的數(shù)集；其中定義域，就是指原象的集合，值域，就是象的集合。2、函數(shù)符號(hào)表示“是的函數(shù)”，應(yīng)理解為：（1）是自變量

4、，它是關(guān)系所施加的對(duì)象；是對(duì)應(yīng)關(guān)系，它可以是一個(gè)或幾個(gè)解析式，可以是圖像、表格，也可以是文字描述；（2）符號(hào)僅僅是函數(shù)符號(hào)，不是表示“等于與的乘積”，也不一定是解析式，再研究函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)外，還常用等符號(hào)來(lái)表示。3、判斷兩個(gè)變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只要檢驗(yàn)：（1）的取值集合是否為空集；（2）根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量在其定義域內(nèi)的每一個(gè)值，是否都有唯一確定的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)。五：函數(shù)的值：表示當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值，這個(gè)值就由“”這一對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)確定；與是不同的，前者表示以為自變量的函數(shù)，后者為常數(shù)六：函數(shù)的三要素 ：我們通常把對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域稱為函數(shù)的三要素。由函數(shù)的定義可知，由于函數(shù)值域被函

5、數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全確定，這樣確定一個(gè)函數(shù)只需兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則。如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則分別相同，我們就說(shuō)這兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)。七：區(qū)間的概念和記號(hào)：名稱定義符號(hào)數(shù)軸表示閉區(qū)間開(kāi)區(qū)間左閉右開(kāi)區(qū)間左開(kāi)右閉區(qū)間無(wú)窮區(qū)間無(wú)窮區(qū)間無(wú)窮區(qū)間無(wú)窮區(qū)間特別提醒：書(shū)寫(xiě)區(qū)間記號(hào)時(shí)：（1）有完整的區(qū)間外圍記號(hào)，有兩個(gè)區(qū)間端點(diǎn)，且左端點(diǎn)小于右端點(diǎn)；（2）兩個(gè)端點(diǎn)之間用“，”隔開(kāi)；（3）無(wú)窮大是一個(gè)符號(hào)，不是一個(gè)數(shù)；以“”或“”為區(qū)間一端時(shí)，這一端必是小括號(hào)。八：分段函數(shù)有些函數(shù)在它的定義域中，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，對(duì)應(yīng)法則不同，這樣的函數(shù)通常稱為分段函數(shù)。如函數(shù)特別提醒：1、分段函數(shù)是一個(gè)

6、函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)；2、它是一類較特殊的函數(shù)。在求分段函數(shù)的值時(shí)，一定首先要判斷屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代相應(yīng)的關(guān)系式；3、分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集。九：復(fù)合函數(shù)如果，那么叫做和的復(fù)合函數(shù)，其中為內(nèi)函數(shù)，為外函數(shù)。 類型一 映射的概念例1：已知集合A1,2,3,4，B5,6,7，在下列A到B的四個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中，能否構(gòu)成A到B的映射？說(shuō)明理由 解析：(1)、(3)是A到B的映射，都符合映射的定義，即A中的每一個(gè)元素在B中都有惟一元素與之對(duì)應(yīng)；(2)不是A到B的映射，因?yàn)锳中的元素4在B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)；(4)不是A到B的映射，因?yàn)锳中的元素3在B中有兩

7、個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)答案：(1)、(3)是A到B的映射；(2)、（4）不是A到B的映射練習(xí)1：設(shè)集合Ax|0x4，By|0y2，則下列對(duì)應(yīng)f中不能構(gòu)成A到B的映射的是()Af：xyx Bf：xyx2Cf：xy Df：xy|x2|答案：B 練習(xí)2： (20142015學(xué)年度四川德陽(yáng)五中高一上學(xué)期月考)下列對(duì)應(yīng)是集合A到集合B的映射的是()AAN*，BN*，f：x|x3|BA平面內(nèi)的圓；B平面內(nèi)的矩形，f：每一個(gè)圓對(duì)應(yīng)它的內(nèi)接矩形CAx|0x2，By|0y6，f：xyxDA0,1，B1,0,1，f：A中的數(shù)開(kāi)平方答案：C類型二 映射中的象與原象例2：已知集合AR，B(x，y)|x，yR，f：AB是從A到

8、B的映射，f：x(x1，x21)，求A中元素的象和B中元素(，)的原象.解析：把x代入對(duì)應(yīng)法則，得其象為(1,3)，又由，解得x.的象為(1,3)，(，)的原象為.答案：的象為(1,3)，(，)的原象為.練習(xí)1：已知映射f：(x，y)(3x2y1,4x3y1)(1)求(1,2)的象；(2)求(1,2)的原象答案：(1,2)的象為(6,1)(1,2)的原象為(0,1)練習(xí)2：(20142015學(xué)年度安徽宿州市十三校高一上學(xué)期期中測(cè)試)在映射f：AB中，集合AB(x，y)|x、yR，且f：(x，y)(xy，xy)，則B中的元素(1,2)在集合A中的原象為_(kāi)答案：類型三 函數(shù)的概念例3：設(shè)Mx|0x

9、2，Ny|0y2給出下列4個(gè)圖形，其中能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有()A0個(gè)B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)解析：由函數(shù)的定義知，(1)不是，因?yàn)榧螹中10，f：xy|x|；(2)AZ，BZ，f：xyx2x；答案：(1)否 (2)是練習(xí)2：下列關(guān)于函數(shù)與區(qū)間的說(shuō)法正確的是()A函數(shù)定義域必不是空集，但值域可以是空集B函數(shù)定義域和值域確定后，其對(duì)應(yīng)法則也就確定了C數(shù)集都能用區(qū)間表示D函數(shù)中一個(gè)函數(shù)值可以有多個(gè)自變量值與之對(duì)應(yīng)答案：D類型四 同一函數(shù)的判定例4：下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是() f(x)與g(x)x；f(x)x與g(x)；f(x)x0與g(x)；f(x)x22x1與g(x)t22t1.

10、A BCD解析：對(duì)于、，兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則都不同，對(duì)于、，兩函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，故選C答案：C練習(xí)1：(20142015學(xué)年度濰坊四縣市高一上學(xué)期期中測(cè)試)下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是()Af(x)，g(x)xBf(x)x，g(x)Cf(x)，g(x)Df(x)x，g(x)答案：D練習(xí)2：下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，把序號(hào)填在橫線上 。 ； ； 答案： 類型五 函數(shù)的定義域例5：求下列函數(shù)的定義域：(1)y3x；(2)y；解析：(1)函數(shù)y3x的定義域?yàn)镽.(2)要使函數(shù)有意義，則有，解得x2，且x0.所求函數(shù)的定義域?yàn)?答案：（1）R（2） .練習(xí)1：求下列函數(shù)的定義域：(1

11、)y；(2)y；(3)y.答案：(1) xR|x1，且x2(2)1,1(3) (，1)(1，)練習(xí)2：(20142015學(xué)年度山東棗莊第八中學(xué)高一上學(xué)期期中測(cè)試)函數(shù)y的定義域是()A1，)B(0，)C(1，) D1,0)(0，)答案： D類型六 求函數(shù)值例6：若f(x)(x1)，求f(0)，f(1)，f(1a)(a2)，ff(2)解析：f(0)1；f(1)0；f(1a)(a2)；ff(2)2.答案： 2練習(xí)1：已知函數(shù)f(x)3x25x2，求f(3)，f()，f(a1)答案：f(3)14；f()85；f(a1)3a2a.練習(xí)2：已知函數(shù)f(x)x2x1.求f(2)，f()；答案： f(2)5

12、，f.1. 給出下列關(guān)于從集合到集合的映射的論述，其中正確的有_。中任何一個(gè)元素在中必有原象；中不同元素在中的象也不同；中任何一個(gè)元素在中的象是唯一的；中任何一個(gè)元素在中可以有不同的象；中某一元素在中的原象可能不止一個(gè)；集合與一定是數(shù)集；記號(hào)與的含義是一樣的答案：2. 下列集合到集合的對(duì)應(yīng)中，判斷哪些是到的映射? 判斷哪些是到的一一映射?(1)，對(duì)應(yīng)法則；(2)，；答案： (1)是映射，不是一一映射， (2)是映射，是一一映射 3. 下列各式能否確定是的函數(shù)？ （1）；（2）；（3）答案：（1）不能（2）能；（3）不能。4. 已知，則 ； ； ； ； 。答案：-1；41；。5下列各組函數(shù)中，把表示同一函數(shù)組的序號(hào)填在橫線上 。 ； ； ； 答案： _基礎(chǔ)鞏固1下列對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的映射的是（ ）A、 B、 C、 D、 答案：C2. 已知，下列對(duì)應(yīng)不表示從到的函數(shù)的是（ ） A、 B、 C、 D、答案：C3.(20142015學(xué)年度廣東肇慶市高一上學(xué)期期中測(cè)試)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開(kāi)答案：24.