完整版二次根式易錯題集

1、二次根式易錯題集一、二次根式的概念: 二次根式的性質(zhì)：易錯點：1在計算或求值時，容易疏忽a a 0是0是一個非負數(shù)一個非負數(shù)。2.在開方時，易出現(xiàn)a2 a a 0的錯誤。2. a23. a23二次根式的三個性質(zhì)是正確進行二次根式化簡、 運 算的重要依據(jù)。它們的結(jié)構(gòu)相似，極易混淆，因此同 學們必須弄清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系錯題:2.3 2-(-3) =33. i 25215- 1=44.6 2 232 ? . 69 654 或3.62% 32 6 2、54 彳 54151 21526. .5 27.根據(jù)條件，請你解答下列問題:(1)已知.20 n是整數(shù)，求自然數(shù)n的值;解：首先二次根式有意義，則滿

2、足20n 0,所以n 20,又因為20n是整數(shù)，所以根號內(nèi)的數(shù)一定是一個平方數(shù)，即 20 n必定可化為.20 na2 a為整數(shù)，且a 0這種形式，即9，16。所以 n 20,19,16,11,4.20 n a2 a為整數(shù)，且a 0。所以滿足條件的平方數(shù)a2有0，1，4,(2)已知 20n是整數(shù)，求正整數(shù)n的最小值解：因為,20n是整數(shù)，所以根號內(nèi)的數(shù)一定是一個平方數(shù)，即 、20n必定可化為.20n a2 a為整數(shù) 這種形式，即20n a2 a為整數(shù)，而20n 4 5 a2 a為整數(shù)，4可以開平方，剩下不能開平方的數(shù) 5,所以正整數(shù)n的最小值就是5,因5 5 52能被開平方。所以我們要把常數(shù)先進

3、行分解，把能開平方的 數(shù)分解出來，剩下的不能開平方的數(shù)與字母相乘再配成能開平方的數(shù)，而字母的最小值就是這個不能 開平方的數(shù)。7-2.(2)已知12 n是正整數(shù)，求實數(shù)n的最大值；解：因為 20 n是正整數(shù)，所以滿足12 n 0,所以n 12,所以根號內(nèi)的數(shù)一定是一個平方數(shù)，即20 n必定可化為 20 n . a2 a為整數(shù),且a 0這種形式，即20 n a2 a為整數(shù)，且a 0。所以滿 足條件的平方數(shù)a2有1，4，9。所以n 11,8,3.最大值為11.28. 計算x9計算：若a 4 b 90,則-10.已知 y 2x 55 2x 3，則2xy的值為1成立，則x的取值范圍是11若等式11-1.

4、已知.a a 30，若 b 2 a,則b的取值范圍是解：對于含字母的代數(shù)式，首先應考慮使它有意義或使代數(shù)式成立的條件則應考慮根式成立的條件是a0。又題目aa 30，所以a 3對于本題，首先有根式一 a ,0，a 3，所以 0 a 3.不等式兩邊都乘以1得、3 a 0，不等式兩邊同加2得，232 a 211-2.已知.aa 、3 0,若b 2 a,則b的取值范圍是 。解：對于含字母的代數(shù)式，首先應考慮使它有意義或使代數(shù)式成立的條件。 對于本題，首先有根式 a， 則應考慮根式成立的條件是a 0。又題目、aa 30 ,所以a 0,所以a .30，得a 3，所以0 a .3.不等式兩邊都乘以1得、3

5、a 0 ,不等式兩邊同加2得，2、32 a 21112. 已知 a,b,c 滿足一 a b 2j2b c c2 c 0，求 J ab c 的值。2413. 已知實數(shù)a,b, c滿足,a b 88 a b ,3a be a 2b c 3，請問：長度分別為a, b, c的三條線段能否組成一個三角形？如果能，請求出該三角形的面積；如果不能，請說明理由。14. 已知實數(shù)a,b為兩個連續(xù)的整數(shù)，且 a. 28 b，則a b=。15. 選擇：已知實數(shù)m,n為兩個連續(xù)的整數(shù) m n ,q mn ,設p . q n .q m，貝U p=。A. 總是奇數(shù)B.總是偶數(shù)C.有時是奇數(shù)，有時是偶數(shù)D.有時是有理數(shù)，有

6、時是無理數(shù)16. 在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式(1) a2 5(2) x2 2.2x 217. 化簡求值：(1) 2a a b a b2，其中 a 2012 , b “ 2013 ；2(2) a 1 a 2羽 11，其中 a 15a a a19. (2010江蘇南京)如圖，下列各數(shù)中，數(shù)軸上點A表示的可能是A.4的算術(shù)平方根 B.4 的立方根 C.8 的算術(shù)平方根 D.8 的立方根【答案】C1一_I_I_I_I_二亠-3 -2 -1 01 2 320. (2010浙江杭州)4的平方根是A. 2【答案】BB. 2C. 16D. 1621. （2010浙江嘉興）設a 0 b 0 ,則下列運算中錯誤.的是（

7、(A) . ab a . b(B) . a b , a 、b(C) ( a)abA. x 2、,3.5B. .2 .3、6C.6. 23D.( .2)22【答案】A23. （2010江蘇淮安）下面四個數(shù)中與.11最接近的數(shù)是A . 2B.3C.4D.5【答案】B23. （2010湖北荊門）右a、b為實數(shù)，且滿足丨a 2 | + .b2 =0,貝U b a的值為A . 2B . 0C. 2D .以上都不對【答案】B22. （2010江蘇常州）F列運算錯誤的是【答案】CC .若 x =2，貝U x = . 23D.若 X =8，貝U X = 2224. （ 2010湖北恩施自治州）4 的算術(shù)平方根

8、是A. 4B.4C.2D.2【答案】A25.卜列命題是真命題的是（)2 2A .若 a =b ，貝y a = bB .若 x= y，貝U 2 3x 2 3 y【答案】C26. （2010湖北襄樊）下列說法錯誤的是（）的平方根是土 23_27 是有理數(shù)2是分數(shù)2【答案】27. （2010湖北襄樊）計算3225 的結(jié)果估計在（A . 6至7之間【答案】BB . 7至8之間C . 8至9之間D. 9至10之間28. （2010四川綿陽）要使3 x1 有意義，則x應滿足(畀2x 1廠11B . x 3 且 xmC 丄 v xv 32 2).D . - vx 3 2【答案】D)29. (2010四川綿陽

9、) 下列各式計算正確的是(A. m2 -m3 = m6B. 161 J6 1V 333 23 33 2 3 5D. (a 小二,(1 a)2 11a【答案】D30. (2010湖南湘潭)下列計算正確的是A. 23 2.3B. a a2a3 C.(2a) (3a) 6a D. 2【答案】D31. ( 2010貴州貴陽) 下列式子中，正確的是(A) 10 v 127 v 11(B) 11 v 127 v 12(C) 12v . 127 v 13(D) 13v 127 v 14【答案】B32. (2010四川自貢)已知n是一個正整數(shù)，、135n是整數(shù)，則n的最小值是()。A. 3B. 5C. 15D

10、. 25解：.135n是整數(shù)，那么.135n肯定能化為.135na2的形式，所以135n a2 ,將的135分解因式2 2135 3 5 9 3 5 3,要使135n a ,那么必須再乘以 3 x 5=15才行，所以n=15.【答案】C33. (2010天津)比較2,.5 ,3 7的大小，正確的是(A)2.5 7(B)2： 75(C) 7 25(D)5 372解：2=3. 8 7，而25，所以3 72.5【答案】C34. (2010福建德化)若整數(shù)m滿足條件V(m 1)2 = m 1且m v 鼻，則m的值是.V5【答案】035. (2010福建三明)觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：0,3 , .

11、6,3,2 3,那么第10個數(shù)據(jù)應是。解：040v3,73訴 V3,46421V2屈,3V3V3,243434443，第n個數(shù)應為 n 13，第10個數(shù)為 10 13933 336.已知:a、b為兩個連續(xù)的整數(shù)，且 a . 15 b,貝U a + b =,154，所以 a 3,b4, a b 7.16，即 3.15 6分8分 1分4 3分因為.9【答案】737.已知x 1. 3，求代數(shù)式(x 1)24(x【答案】解法一：原式=(x 12)2=(x 1)2當x 1、.3時原式=(,3)2=3解法二：由x 1.3得x . 31化簡原式=x2 2x 1 4x 41)4的值. 2分38. ( 2010

12、山東煙臺)(本題滿分6分)先簡化，再求值:其中=x2 2x 1 4 分=C.31)22( _31)1 5 分=32.31232 1 7 分=3 8 分x 2yx y【答案】22/小、2解：2LA 2x y 2= (X 2y)x 2y x 4xy 4y x 2y (x y)(x y)時,原式=12 2(12)3.2 11 ,2 1 、239.（2010福建晉江）（8分）先化簡,再求值:3x xx 1 x 1x21x其中x、2 2【答案】解一：原式3xx 1x213x23xx 1 x2x2 4xx 1 x 1x1 x1x=2 x2當x22時，原式=2 22原式= 3x2 x12x x1x 1xx1

13、x3xx1 x1xx1xx1=3 x1x 1=3x3 x1=2x4當x22時，原式=：2（、22）2x x 22=2 2解二:4 = 2 2x 1 xx 1 x 140. ( 2010湖北武漢)先化簡，再求值：(x 2-)x 2買，其中X-2 3.I答案】答案:原式=(Jx 25 )？2(x 2)x 2) x 39 ? 2(x2) = (x 3)(x 3) ?空x 3x 22 =2x+6.x 3當x=、23時，原式=2( . 23)+6= 2.2 .41.右等式Q 2)01成立，則x的取值范圍是0次幕的底數(shù)不能為 0，為0時無意義。a0 abba ，右a 0 ,則有 000b0b0無意義。0【

14、答案】x 0且x 1242.已知 6 3m (n 5)2 3m 6 J(m 3)n2，則解：使.m 3 n2有意義的條件是6 3m 3m 6,所以原式為3m3 n20 ,而2n 50,所以只需m 3所以.m 3 n20,所以得m 3,所以m n 3 5【答案】243. 已知x, y為實數(shù)，且滿足 解：使.1 y有意義，則y 所以(y 1).1 y【答案】2;44. 已知a、b為有理數(shù)， 分析：只需首先對 51進行計算.2 v ,7 v 3，所以23,7 .3、7 代入 amn16b, 7 2a 6bamn bn2解：因為n= 5 v 7把 m=2, n化簡得6a3m 620,所以n 50,所以

15、n1 x (y1,則0, 1 x0,求得1)、1 y=0,0,所以(yx 1, y 1.所以3。所以6 3m 0,所以2 2m 3 n。因 n 50,5，代入、m 3 n2 0,得 m 3 520,y2011=_1)1 y 0，又.1 x x2011 y2011= 2.那么x20110,且 1 x (y 1) 1 y =0,m n分別表示57估算出大小，從而求出其整數(shù)部分7的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且 amna,其小數(shù)部分用3. 72,所以 5等式兩邊相對照，因為結(jié)果不含所以 6a+16b=12a+6b=0，解得bn21 得,1 ,.7 ,3 h a= , b=2237 a所以2a+b= 3bn2

16、5. 75. 75 2,所以1，貝U 2a b 。a表示再分別代入v 3，故 m=2 ,【答案】-2卄201145.若 m2q1，則543m 2m 2011m的值是解：如果直接代入計算,將會非常復雜。必須將已知和要求的代數(shù)式分別化簡再代入計算。一2011可得2012 12011 2012 1m . 2012 1,則 m 1. 2012.貝y m 1 2丁2012 1 0,點評：此題主要考查了絕對值以及互為相反數(shù)的定義和算術(shù)平方根的性質(zhì)，初中階段學習了三個非負數(shù): |a| 0, a0 （a0）;必須熟練掌握非負數(shù)的性質(zhì).50. 在下列二次根式中，與.b是同類二次根式的是（A. ：(a b)351

17、B. 1、2Fb 3D. Ib解：使a b有意義則a b 所以；廠b3a a b, 1丁b45a b 33、a b.所以答案為A.a b a b51. 若最簡二次根式 x 君飛與2.3x 5是同類二次根式,x的值為-1提示：根據(jù)題意得 x+3=3x+5,解得x=-1.52.在 中，是最 簡二次根式的有3提示：/藥a b是最簡二次根式.xy的值.53.已知 x y 5, xy 3,求y解：Q x y 5,xy 3, x0,y0,原式xy xyx yy x xy54閱讀下列材料，然后回答問題.在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如2二一樣的式子，其實我3.3 1們可以將其進一步化簡5.33, 33

18、出；(一).6 ；;3232_.3 12 (G 1)(-3 1)C-3 1)2( . 3 1)3以上這種化簡的步驟叫做分母有理化.2還可以用以下方法化簡:“3 13 1.3 1.32 1、3 1 、3 1V3 131 (四)(1)請用不同的方法化簡2參照(二)式得 尸V5 V3C. (a b)4 a b2參照（四）式得 2V5 V31化簡=1_（2）3 1.5,37.52n 1.2n 12解：（1）躬V3_2（空 3）_ 仁 5 、3）（5 .3）.5,3.匚5七_5_3_5 ;3（可（回2；5 、3（75盡逅品）亦運75翻11乜13 5、2n 1, 2n 1 1.1_1 1 13 1,5、3

19、.7. 5. 2n 1、2n 1罷1亦薦V7屈J2n 1 J2n 13 1 v3 1、53 v5375 .7 . 5 .2n 1 、2n 1 . 2n 1 、2n 13 153.752n 1 2n 13 1537 52n 1 2n 11 .3 15、3,7. 5.2n 1. 2n 12-2 n 11255. 在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x4 9 , x2 2j2x 2 答案：x2 3 x 3 x . 3 ; x 256. 把a的根號外的因式移到根號內(nèi)等于 。解：使二次根式有意義則a 0,所以a.10,將根號外的因式移到根號內(nèi)時應在二次根式前加負號使V a其小于0.即a丄Ja2答案：57. 在式子扌x

20、f 0，近,1 y 2 , J 2x x p 0，篦,1, xy中，二次根式有（ C ）A. 2個 B. 3 個C. 4個 D. 5 個解：根據(jù)二次根式定義：式子 a （a0）叫做二次根式。滿足兩個條件，第一根指數(shù)是 2,第二被開方數(shù)大于等于0.所以；.；x 2xx0 , . x21 滿足條件，.y 1 y2的被開方數(shù)小于0，3 3的根指數(shù)為3，x y不是根式。故選C.58. 下列各式一定是二次根式的是（CA.B. 3 2m C.a2 1 D.解：只有.a2 1 一定滿足二次根式的兩個條件:第一根指數(shù)是2,第二被開方數(shù)大于等于0故選C.59. 計算：2a 1 21 2a 2 的值是（D ）A.

21、 0 B. 4a 2 C. 2 4a D. 2 4a 或 4a 2【專題解讀】當遇到某些數(shù)學問題存在多種情況時，應進行分類討論.本章在運用公式|a|進行化簡時，若字母的取值范圍不確定，應進行分類討論解:J 2a 1 2 J1 2a 2 = 2a 11 2a1 令2a 10,1 2a 0,得a -.2于是頭數(shù)集被分為a1知 和a1兩部分。22當a2時,2a 10,1 2a0.所以原式=2a 12a 1 4a 2.當a1時,2a 10,1 2a0.所以原式=12a 1 2a 2 4a.規(guī)律方法對于無約束條件的化簡問題需要分類討論，用這種方法解題分為以下步驟：首先，求出絕對值為零時未知數(shù)的值，這些未

22、知數(shù)的值在數(shù)軸上的對應點稱為零點；其次，以這些零點為分點，把數(shù)軸劃分為若干部分，即 把實數(shù)集劃分為若干個集合，在每個集合中分別進行化簡，簡稱“零點分區(qū)間法”60.下面的推導中開始出錯的步驟是（Q2322 312122 2 312L 22 32、3l L L L L L 32 2LLLLLLLL 4A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解：第（2）步出錯了。正確的應為2.322 3.1261. 已知 x2 3x 10 ,求.x2；2的值。解：此題如果直接解方程求出x的值后再代入計算非常繁瑣?？蓪σ阎匠毯鸵蟮母竭M行適當變形后再代入求解更簡單。觀察根式.X2 ； 2中含有X2 土，是這是典型的

23、a2 b2的形式，可使用完全平方公式進行配方為 a2 b2 a2 b2 2ab 2ab a b 2ab。于是可將二次根式變形為2也可變形為1x已知方程X2 3x 1 0要變成x 1或x 1的形式就必須降次，因為方程隱含x 0所以將方程兩邊Xx同時除以x進行降次得X丄3,代入得.X 1432 4 .5xVx二、二次根式的乘除二次根式的乘除混合運算，應先把根號外的因式（即有理式）進行運算，再把無理式因式進行運算，最后把兩個結(jié)果相乘。記住兩個公式ab a 0,b 0,但a 0, b 0。 b 4b錯題：1.化簡.9 125,9 5 25 ,32 5 52 3 5 一 5 15.52. . 20216

24、220 16 20 1636 4.62 226 2 128.化簡.0.610.化簡4：2m 0, n 011:12.1a2 b2a2b213.x x14將X2 1x 1, y 0化成最簡二次根式為xy y15. 等式、x成立的條件是Vi x16. 選擇題：計算15，同學甲的解法是15 ，3 55 ;同學乙的解法是、. 5 ;同學丙的解法是15153 英5。你認為解法正確的同學是（ A ）晶 晶梶 3A.甲、乙、丙 B甲、乙C乙D甲、丙17. 當 a 0，bp 0時，70b3 。解：VOb3 Jab?b2 b?Tab，因為 b 0.所以 b?J0bbjab.18. 若/2mTT和凋m刃都是最簡二

25、次根式，則m ,n o解：因為都是最簡二次根式，所以被開方數(shù)的次數(shù)為1.所以有m n 2 1 ，解這得m 1,n 2.3m 2n 2 119. 已知xyf 0，化簡二次根式X y的正確結(jié)果為（）A. , y B. 、y C. 、. y D. , y解：使二次根式x, J有意義，必須y 0,且x 0,又已知xyf 0,所以y 0,所以y 0,所以x 0.所以x? 1J y x?x20. 對于所有實數(shù)a,b，F(xiàn)列等式總能成立的是（B.C. a2 b2 2b2D.TT32、ab對于B有取a 1,b.b2-a21代入，則.a2 b2 2，而a b 2，所以不對。對于 C有 p a2 b2 $ a2 b

26、2 a2 b2，成立。*工小若:嚴, a b當（a b 0時）對于D有J a b a b、/:a b當（a b 0時）21. 對于二次根式 x9，以下說法中不正確的是（）A.它是一個非負數(shù)B.它是一個無理數(shù)C.它是最簡二次根式D.它的最小值為3解：A,二次根式都是非負數(shù)；B,只有當二次根式中含有不能開方的因數(shù)的時候才是無理數(shù)。比如說.2, .7中含有不能開方的因數(shù)，是無理數(shù)。而像.16,.9中含有能開方的因數(shù)，是有理數(shù)當x? 99,或、x 9716,時就是有理數(shù)，而不是無理數(shù)。D, -x2 9當x 0時有最小值為3.22. 嘗試用兩種方法化簡Xy_vx的解一：-：y.y解一.解二: -x y2

27、3.化簡a3 a2V a解：根據(jù)二次根式有意義的條件可知10,所以aa0.所以-a?a22 aa|aa.a a a ?24.把根號外的因式移到根號內(nèi):2 . 1x解：（1）.552-5（2）使二次根式有意義的條件是10,即x 1,所以1 x0.所以1 x1 x 1.1x 1x 1x 12?Jx 1x 125.計算電卅151分析：二次根式的乘除混合運算，應先把根號外的因式（即有理式）進行運算，再把無理式因式進行運算，最后把兩個結(jié)果相乘。記住兩個公式a?（b ab a 0,b 0 /1. aa 0, b 0；b 、b解：原式=31111 411J3 -f1 一5-3 _ 4、8411 2 728

28、T7 11 232 7 1123 -326：.Xy5? 2，X解：原式=2 ?y9_55x yy27閱讀下面解題過程，然后回答總題?x2y2. Xy9x2y . xyy已知：a b 3遜1,求，；b的值。ab a 、b a . b上面的解法是否正確？若不正確，找出錯因，并寫出正確的解題過程。b解： a b 3,ab 1,、 a、ab分析：本題主要是逆用了二次根式的除法公式a 0,b0 ，但忽略了公式成立的條件a 0,b0 o解：上面的解法是不正確的,30, ab0,a 0, b0,公式 :正確解法:baba2b2三、二次根式的加減 abab abV _a_、abb-aba b . abab錯題

29、：1. V0.5 23148 248d422.已知-.7的整數(shù)部分是a,小數(shù)部分是b,求7a b的值3計算4計算5計算200112 1201226先化簡再求值aa a 6 ,其中a 、5 丄27已知a 23，試求；a的值8. 下面說法正確的是(A. 被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式B. 與80是同類二次根式C. .2與、1不是同類二次根式D. 同類二次根式是根指數(shù)為2的根式解:同類二次根式的定義：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式A正確；B,.82 2, ,804.5，所以不是同類二次根式；C 11 . 505 .22與；2是同類50

30、505010二次根式；D同類二次根式不會根指數(shù)為2,而且被開方數(shù)要相同。錯誤。9. 與.a3b不是同類二次根式的是（）解：先將每個式子化為最簡根式，再看其被開方數(shù)是否相同 將 需不化為最簡二次根式為 荷b = a ?A的最簡二次根式為鳥Sab ； a尋；B的最簡二次根式為點C的最簡二次根式為1Jab2 . aba其中只有A的被開方數(shù)與-ab不同，所以答案為A。10. 下列根式中，是最簡二次根式的是（）A.閔 B. ,12a 12b C.x2 y2D. 、帝最簡二次根式：被開方數(shù)不含分母，不含能開得盡方的因數(shù)或因式分母中不含有二次根式解：A二次根式被開方數(shù)中含有小數(shù)即含有分數(shù)，即含有分母，不是最

31、簡。B二次根式中 12a 12b 、4 3a 3b含有可開方的數(shù)4,不是最簡。C二次根式滿足最簡二次根式條件。2D二次根式中含有可開方的數(shù) b，不是最簡。11. 若最簡二次根式a72a 5與J b 4a是同類二次根式，則a ,b最簡二次根式：最簡二次根式：被開方數(shù)不含分母，不含能開得盡方的因數(shù)或因式分母中不含有二次根式 同類二次根式的定義：幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫做同類二次根式。同類二次根式滿足的條件：根指數(shù)相同，都等于 2 ；被開方數(shù)相同。 a 12解：因為a 12a 5與 3b 4a是同類二次根式，則，解之得a 1, b 1.2a 5 3b

32、4a四、二次根式的混合運算_ _ 21.2.36 2 363 2分析：直接應用平方差公式和完全平方公式計算，注意去后面的括號時要變號。_ 2 22.計算 2、3.62 .36分析：仔細觀察這題是典型的兩個數(shù)的平方差，可用平方差公式化簡3二次根式x ,3中x的取值范圍是4.規(guī)定運算：aa b,其中a,b為實數(shù)，則“3歷5先化簡，再求值-，其中x ,2 11則 abc20127.已知xa b化間ab1x xb 2 ab解： a b a b 2. aba b a b 2 ab； a2b 2 ab2 b2解：x、y y、xx.y y xy、x x y y、x x yy xx yy、xx yx yy i

33、 xy x x yx y y、x x yxyy i xyxx、yxyy i xyxx.y2 22xy 2x y2 2xy x y2 x-y yx22X、yxy? 2xy、xy x?y xy2 2xy x y2xy. xy x、xy y xxy y x10.化簡咗.b_b 、abjb ab2 a b9. 化簡燈以y長x j xjy yVxylx xyy:原式=a2 a? . b . b2aJbJbJ ab7、J.b2、a. abbab、aa . b、.a, bJbvaba.b . ab.a . a.bbib .a掐：.a、.、b11b、a,b.a、a、bbaaa一 b- b、a 、a、b.b、a、b* a小” a ab2、- ab、a- b、a、b2 b、aI b、a 、ba 、b11.已知：x 32,