初中數(shù)學(xué)競賽：分類與討論

1、初中數(shù)學(xué)競賽：分類與討論分類在數(shù)學(xué)中是常見的，讓我們先從一個簡單的例子開始有四張卡片，它們上面各寫有一個數(shù)字：1，9，9，8從中取出若干張按任 意次序排列起來得到一個數(shù)，這樣的數(shù)中有多少個是質(zhì)數(shù)？因為按要求所得的數(shù)可能是一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)和四位數(shù)，我們分別給 予討論任取一張卡片，只能得 3 個數(shù)：1，8，9，其中沒有質(zhì)數(shù)；任取二張卡片， 可得 7 個數(shù)：18，19，81，89，91，98，99，其中 19，89 兩個是質(zhì)數(shù)；任取三 張卡片，可得 12 個數(shù)：189，198，819，891，918，981，199，919，991，899， 989，998，其中 199，919，991 三個數(shù)

2、是質(zhì)數(shù)；取四張，所得的任一個四位數(shù)的 數(shù)字和是 27，因而是 3 的倍數(shù)，不是質(zhì)數(shù)綜上所述，質(zhì)數(shù)共有 23=5 個上面的解題方法稱為分類討論法當我們要解決一個比較復(fù)雜的問題時，經(jīng) 常把所要討論的對象分成若干類，然后逐類討論，得出結(jié)論分類討論法是一種很重要的數(shù)學(xué)方法在分類中須注意題中所含的對象都必 須在而且只在所分的一類中分類討論一般分為三個步驟，首先確定分類對象， 即對誰實施分類第二是對對象實施分類，即分哪幾類，這里要特別注意，每次 分類要按照同一標準，并做到不重復(fù)、不遺漏，有些復(fù)雜的問題，還要逐級分類最 后對討論的結(jié)果進行綜合，得出結(jié)論例 1 求方程x2-2x-1-4=0的實根x2+2x-1

3、-4=0，x2-2x1-4=0，x 3，x =-1 1 2說明 在去絕對值時，常常要分類討論例 2 解方程 x2-x=2，其中x是不超過 x 的最大整數(shù) 解 由x的定義，可得xx=x2-2，所以 x2-x-20，解此不等式得-1x2現(xiàn)把 x 的取值范圍分成 4 個小區(qū)間(分類)來進行求解 (1)當-1x0 時，原方程為x2-(-1)=2，所以 x=-1(因 x=1 不滿足-1x0)(2)當 0x1 時，原方程為x2=2(3)當 1x2 時，原方程為x2-1=2，所以(4)當 x=2 時，滿足原方程例 3 a 是實數(shù)，解方程xx+1+a=0分析 方程中既含有絕對值，又含有參數(shù) a，若以平方化去絕

4、對值的話，則 引入了高次方程，把問題更加復(fù)雜化了對這種問題，宜討論 x 的取值范圍來求 解解 (1)當 x-1 時，原方程變形為x2x-a=0當=14a0(且 a=-x1x0)，即 a0 時，的解為(2)當 x-1 時，原方程為x2xa=0又 x-1，即綜上所述，可得：當 a0 時，原方程的解為例 5 已知三角形中兩角之和為 n，最大角比最小角大 24，求 n 的取值范 圍解 設(shè)三角形的三個角度數(shù)分別是 ， ， ，且有 由題設(shè) - =24(1)若 + =n，則 =180-n， = -24156-n， n- 2n-156所以156-n2n-156180-n，所以 104n112(2)若 =n，則

5、 =180-n，于是所以所以 112n128(3)若 =n，則 =180-n， = +24=204-n， =n- =2n-204于是180- n2n-204204-n，所以 128n136綜上所述，n 的取值范圍是 104n136例 6 證明：若 p 是大于 5 的質(zhì)數(shù)，則 p2-1 是 24 的倍數(shù)分析 關(guān)于整數(shù)的問題，我們常把它分成奇數(shù)和偶數(shù)(即按模 2 分類)來討論， 有時也把整數(shù)按模 3 分成三類：3k，3k1，3k2一般地，可根據(jù)問題的需要， 把整數(shù)按模 n 來分類本題我們按模 6 來分類證 把正整數(shù)按模 6 分類，可分成 6 類：6k，6k+1，6k2，6k3，6k4， 6k5因

6、p 是大于 5 的質(zhì)數(shù)，故 p 只能屬于 6k+1，6k+5 這兩類當 p=6k1 時，p2-1=36k2+12k=12k(3k+1)因 k，3k1 中必有一個偶數(shù)，此時 24p2-1當 p=6k5 時，p2-1=36k260k2412k212k=12k(k1)0(mod 24)所以，p2-1 是 24 的倍數(shù)例 7 證明a=x-y+x+y-2z+x-y+x+y+2z4maxx，y，z，其中 maxx，y，z表示 x，y，z 這三個數(shù)中的最大者分析 欲證的等式中含有三個絕對值符號，且其中一個在另一個內(nèi)，要把絕 對值去掉似乎較為困難，但等式的另一邊對我們有所提示，如果 x 為 x，y，z 中的最

7、大者，即證 a=4x，依次再考慮 y，z 是它們中的最大值便可證得證 (1)當 xy，xz 時，a=x-y+x+y-2zx-y+x+y+2z=2x-2z+2x+2z=4x.(2)當 yz，yx 時，a=y-x+x+y-2z+y-x+x+y+2z=2y-2z+2y+2z=4y(3)當 zx，zy 時，因為x-yxy=maxx，y2z，所以a=2z-x-y-x-y+x-y+x+y+2z=4z從而 a=4maxx，y，z例 8 在 13 的矩形內(nèi)不重疊地放兩個與大矩形相似的小矩形，且每個小矩 形的每條邊相應(yīng)地與大矩形的一條邊平行，求兩個小矩形周長和的最大值解 兩個小矩形的放置情況有如下幾種：(2)兩個小矩形都“橫放”，如圖 2-124 及圖 2-125 所示，這時兩個小矩形 的周長和的最大值是2(a3a)21-a3(1-a)8(3)兩個小矩形一個“橫放”，一個“豎放”，如圖2-126，這時兩個小矩形 的周長和為練習二十一1 解不等式：x+1x22 解關(guān)于 x 的不等式：a(ax-1)x-1. 3解方程：