上海春考數(shù)學(xué)試卷

1、2017年上海市普通高校春季招生統(tǒng)一文化考試數(shù)學(xué)試卷一填空題（本大題共有12 題，滿分 54 分，第 16 題每題 4 分，第712 題每題 5 分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.設(shè)集合 A1,2,3,集合B3,4,則AB.2. 不等式 x 1 3 的解集為。3.若復(fù)數(shù) z 滿足 2z 13 6i （ i 是虛數(shù)單位），則 z 。4.若 cos1 ，則 sin。325. 若關(guān)于 x 、 y 的方程組 x 2 y 4 無解，則實(shí)數(shù) a 。3xay66. 若等差數(shù)列 an 的前 5 項(xiàng)的和為 25 ，則 a1 a5 =。7.若 P 、 Q 是圓 x2y22x 4 y4 0 上的動(dòng)點(diǎn)，則

2、PQ 的最大值為。8.已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 an3n ，則 lim a1a2 a3an。nann9.若 x2 的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為729，則該展開式中常數(shù)x項(xiàng)的值為。10. 設(shè)橢圓x2y 21 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1 、 F2 ，點(diǎn) P 在該橢圓上，2則使得F1F2P 是等腰三角形的點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)是。11.設(shè) a1, a2 , a6 為1,2,3,4,5,6 的一個(gè)排列，則滿足a1a2 a3a4 a5 a6 3 的不同排列的個(gè)數(shù)為。12.設(shè) a ， bR ，函數(shù) f ( x) xab 在區(qū)間 1,2上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，x則 f1 的取值范圍為。二、選擇題13. 函數(shù) f ( x

3、) x 1 2 的單調(diào)遞增區(qū)間是（）。(A) 0,(B) 1,(C),0 (D),114. 設(shè) aR ，“ a0”是“ 10 ”的（）。a(A) 充分非必要條件 (B) 必要非充分條件(C) 充要條件 (D) 既非充分又非必要條件15. 過正方體中心（即到正方體的八個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)）的平面截正方體所得的截面中，不可能的圖形是（）。(A) 三角形 (B) 長(zhǎng)方形 (C) 對(duì)角線不相等的菱形 (D) 六邊形16. 如圖所示，正八邊形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 的邊長(zhǎng)為 2 . 若 P 為該正八邊形上的動(dòng)點(diǎn)，則 A1 A3 A1P 的取值范圍為（）(A)0, 862 (B)2

4、2, 862(C)862, 22 (D)862,862三、解答題17. 如圖，長(zhǎng)方體 ABCD A1 B1C1D1 中，ABBC2, AA13.（ 1）求四棱錐 A1 ABCD 的體積；（ 2）求異面直線 A1C 與 DD 1 所成角的大小 .18. 設(shè) a R , 函數(shù)2xa.f (x)12x（1）求 a 的值，使得 f ( x) 為奇函數(shù)；（2）若 f xa2 對(duì)任意 xR 成立，求 a 的取值范圍 .219. 某景區(qū)欲建造兩條圓形觀景步道 M 1 、M 2 （寬度忽略不計(jì)），如圖所示，已知 AB AC ，AB AC AD 60（單位：米），要求圓 M 1 與 AB 、AD分別相切于點(diǎn) B

5、、D，圓 M2與 AC、 AD分別相切于點(diǎn) C、D.（ 1）若 BAD 60 ，圓 M 1 和圓 M 2 的半徑（結(jié)果精確到 0.1 米）；（ 2）若觀景步道 M 1 與 M 2 的造價(jià)分別為每米 0.8千元與每米 0.9 千元。如何設(shè)計(jì)圓 M 1 、M 2 的大小，使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？ （結(jié)果精確到 0.1 千元）。220. 已知雙曲線： x2y2 1 （ b 0 ），直線 l ： y kx m （ km 0 ），bl 與交于 P 、 Q 兩點(diǎn)， P 為 P 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線 PQ 與 y 軸交于點(diǎn) N 0, n .（1）若點(diǎn) 2,0 是 的一個(gè)焦點(diǎn)，求的漸近線方程；（

6、2）若 b1，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 1,0 ，且 NP3 PQ ，求 k 的值；2（3）若 m2 ，求 n 關(guān)于 b 的表達(dá)式。21. 已知函數(shù) f x log 2 1x1x（1）解方程 f x1 ；（2）設(shè) x1, 1， a1,，證明： ax 11,1 且axfax 1f xf1;a xa（3）設(shè)數(shù)列 xn中， x11, 1 ， xn 11 n 1 3xn1 ， nN * , 求 x1 的取值3xn范圍，使得 x3xn 對(duì)任意 nN* 成立.2017 年上海市普通高校春季招生統(tǒng)一文化考試數(shù)學(xué)試卷一填空題（本大題共有12 題，滿分 54 分，第 16 題每題 4 分，第712 題每題 5 分）考生

7、應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.設(shè)集合 A1,2,3,集合B3,4,則AB.【知識(shí)點(diǎn)】集合的運(yùn)算【解】 A B 1,2,33,4 1,2,3,4 ，故 A B 1,2,3,4 .2. 不等式 x 1 3 的解集為?！局R(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法【解】 x 1 33x 132 x 4 ，故原不等式的解集為2,4 。3. 若復(fù)數(shù) z 滿足 2z136i （ i 是虛數(shù)單位），則 z 。【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念、運(yùn)算【解】 2z46i ， z2 3i ，故 z 2 3i 。4. 若 cos1 ，則 sin。32【知識(shí)點(diǎn)】誘導(dǎo)公式【解】 sincos1 ，故 sin21 .2335. 若關(guān)于 x

8、、 y 的方程組 x 2 y 4 無解，則實(shí)數(shù) a 。3xay6【知識(shí)點(diǎn)】線性方程組解的判定【解】方程組x2 y4 無解直線 l 1 ： x2y 4 與直線 l2 ： 3x ay 63xay6互相平行，所以 3a6 ，解得 a6 。1246. 若等差數(shù)列 an 的前 5 項(xiàng)的和為 25 ，則 a1 a5 =?！局R(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，等差中項(xiàng)【解】由 S5 5a325 得 a35 ，所以a1 a5 2a3 10，故 a1 a5 10 .7. 若 P 、 Q 是圓 x2y22x4 y 4 0上的動(dòng)點(diǎn)，則PQ 的最大值為?！局R(shí)點(diǎn)】圓的一般方程，圓的性質(zhì)【解】由 x2y 22x 4 y 4

9、0 得 x 1 2y 2 21，所以半徑 r1，故 PQ的最大值為 2.8. 已知數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 an3n ，則 lim a1a2 a3an。nan【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和，數(shù)列極限【解】由 an3n 得首項(xiàng) a13 ，公比 q31，所以 a1a2a3an3 13n3n，1323 1a1a2a3an33n1313故 limlim2limn1nnann3n2322n9. 若 x的二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為729，則該展開式中常數(shù)x項(xiàng)的值為?！局R(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理n【解】令 x1 ，則 x23n729 ，解得 n6 ；x6r所以 x2展開式的通項(xiàng) Tr 1C6r x6 r2C6r 2r

10、 x6 2rxx令 r3，則 T4C63 23160, 故所求的常數(shù)項(xiàng)為 160.10. 設(shè)橢圓 x2y 21 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1 、 F2 ，點(diǎn) P 在該橢圓上，2則使得F1F2P 是等腰三角形的點(diǎn)P 的個(gè)數(shù)是?！局R(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，分類討論思想【解】由x22y21得 a22, b21 ，所以 ca2b21，故F1F22c2 且F11,0 , F21,0.（1）若點(diǎn)P 位于橢圓的短軸的端點(diǎn)處，F(xiàn)1F2 P 是等腰三角形， 此時(shí)點(diǎn)P 有兩個(gè)；（2）若點(diǎn) P 在橢圓上，則 PF2 max 21； PF2 min21 . ，所以21F1F22 1, F1F2 為兩腰、 PF2 為

11、底邊構(gòu)成, 故以 PF1等腰三角形， 此時(shí)點(diǎn) P 有兩個(gè)；同理以 PF2, F1F2為兩腰、 PF1 為底邊構(gòu)成等腰三角形，此時(shí)點(diǎn)P 有兩個(gè)；綜上（ 1）（ 2）滿足條件的點(diǎn) P 的個(gè)數(shù)為 6 個(gè)。11. 設(shè) a1, a2 , a6 為1,2,3,4,5,6 的一個(gè)排列，則滿足a1a2a3a4a5a63 的不同排列的個(gè)數(shù)為。【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合【解】根據(jù)題意可知，若 i1,2,3,4,5,6 ； j1,2,3,4,5,6 ，且 ij ，則ai a j1,2,3,4,5即 aia j的最小值為1，當(dāng) a1a2a3a4a5a63時(shí)，只有 a1a2 a3a4a5 a61，所以在 1,2與 2,1中選

12、出一個(gè)，在 3,4與 4,3中選出一個(gè)，在 5,6與 6,5中選出一個(gè)，然后將選出的三個(gè)元素全排列，故不同排列的總數(shù)為C21 C21 C21P3348 .12. 設(shè) a ， b R ，函數(shù) f ( x)xab 在區(qū)間1,2上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，x則 f 1的取值范圍為?！局R(shí)點(diǎn)】函數(shù)性質(zhì)的綜合，不等式的基本性質(zhì)【解】方法 1 令函數(shù) f ( x)xab 在區(qū)間 1,2上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)分x別為 x1 、 x2 ,且 x1x2 ，所以 1x12 、1x22，故0x111、 0x21 1 （* ）令 f (x)0，則 xab 0 ，即 x2bxa0 （ x0 ） （ * ）x故 x1 、 x2 是（

13、 * ）的解，所以 x2bxa( xx1 ) x x2 0于是 f (1)(1 x1)(1x2 )( x11)( x21)由（*）可知 0( x11)( x2 1)1，即 0f (1)1 。方法 2f1a b1由于函數(shù) f ( x)ab 在區(qū)間 1,2上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則必xx有 a0。且 1a2 ，即1 a4，此時(shí) xaa （當(dāng)且僅當(dāng) xa 時(shí)，等號(hào)成2x立）令 xab 0 ，即 xabxa ， yxa 在區(qū)間 1,2 上與函數(shù)記 g( x)xb ，則函數(shù) g( x)xxxy b 的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。由于 g(1) 1a, g(2)2 a ，再令 1a2aa10得 a22a ，則 2

14、a22（1）若 1 a2，則 1 a 2b 1 a21a2可行域?yàn)?b2a ，其端點(diǎn)分別為 2,3、 2,22、 1,2 。所以ba1當(dāng) a2,b3或 a1,b2時(shí)，ab10 ；當(dāng) a2, b22 時(shí)，a b1322。此時(shí) 0f (1) 32 2 ；（2）若 a2 ，則 1 a 2 a3，則2 2b 3 ，即 3b2 2 ，2所以 0 1 ab322，此時(shí) 0f (1)322 ；（3）若 2 a4 ，則 1 a 2a ，則 2 ab 2a ，221a2可行域?yàn)?b2a其端點(diǎn)分別為 2,3、4,4、2,22ba22當(dāng) a2, b3 時(shí)， ab1 0 ；當(dāng) a4,b4 時(shí)， ab11；當(dāng)a 2,

15、b2 2 時(shí)， ab1322. 此時(shí)，0f (1)1；綜上（ 1）（2）（3）可得，0f (1)1，即 f(1)的取值范圍是0,1 .方法 3 令 f (x) xab0 ，則 x 2bxa0xa故“函數(shù) f (x)xb 在區(qū)間 1,2上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)”等價(jià)于x“關(guān)于 x 的方程 x 2bxa0 在區(qū)間 1,2 上有兩個(gè)不同的根?！庇?g (x)x 2bxa ，對(duì)稱軸為 xb ，則其圖像在區(qū)間1,2 上與 x20b24a01b24b2軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，需滿足條件：2可行1ba0g (1)042ba0g (2)0域端點(diǎn)為3,2、2,1、4,4 ，故當(dāng) b3, a2 或 b2, a1時(shí)，f (1

16、)ab10；當(dāng) b4, a4 時(shí)，f (1)ab1，所以0f (1)1，即 f (1)的取值范圍是 0,1 .方法 4 要使得函數(shù) f (x) xab 在區(qū)間1,2上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，必x有 a0 ， b0 ，否則不成立。還需滿足如下條件：1a21a41ab0f (1)02ab0 ，以下解法同上。fa0af (2)02b02二、選擇題13. 函數(shù) f ( x) x 1 2 的單調(diào)遞增區(qū)間是（）。(A) 0,(B) 1,(C),0 (D),1【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性【解】函數(shù)f (x)x1 2 圖像的對(duì)稱軸為直線x1 ，且該拋物線的開口向上，所以該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為1,，故正確選項(xiàng)為B.14.

17、設(shè) aR ，“ a 0 ”是“ 10 ”的（）。a(A) 充分非必要條件 (B) 必要非充分條件(C) 充要條件 (D) 既非充分又非必要條件【知識(shí)點(diǎn)】分式不等式的解法，充要條件【解】C.10a 0 , 所以 a0 是 10 成立的充要條件 . 故正確選項(xiàng)為aa15. 過正方體中心（即到正方體的八個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)）的平面截正方體所得的截面中，不可能的圖形是（）。(A) 三角形 (B) 長(zhǎng)方形 (C) 對(duì)角線不相等的菱形 (D) 六邊形【知識(shí)點(diǎn)】平面的性質(zhì)、截面【解】不可能是三角形，故正確選項(xiàng)為A16. 如圖所示，正八邊形 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 的邊長(zhǎng)為 2 . 若

18、P 為該正八邊形上的動(dòng)點(diǎn)，則 A1 A3 A1P 的取值范圍為（）(A)0, 862(B)22, 862(C)862, 22 (D)862,862【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積【解】 A1 A3A1 A2A2 A3，當(dāng)點(diǎn) P 在 A8 處， A1A3A1 P 取最小值，此時(shí)A1P A1 A8 A1 A3 A1PA1 A2A2 A3A1A8 22cos135cos9022 ；當(dāng)點(diǎn) P在 A4處， A1A3A1P 取最大值， A1PA1 A2A2 A3A3 A484222262 .82所以 A1 A3A1 P 的取值范圍是22,862，故正確答案為 B三、解答題17. 如圖，長(zhǎng)方體 ABCD A1 B

19、1C1D1 中，ABBC2, AA13.（ 1）求四棱錐 A1 ABCD 的體積；（ 2）求異面直線 A1C 與 DD 1 所成角的大小 .【知識(shí)點(diǎn)】椎體的體積，異面直線所成的角【解】（ 1）四棱錐 A1ABCD 的底面為正方形ABCD ,其面積 S4;由于A1 A 底面 ABCD , 所以 A1 A 是四棱錐 A1 ABCD 的高，故 h3 ，于是 VA ABCD1 Sh1434 .133（2）由于 A1 A / D1 D , 所以 AA1C 或其補(bǔ)角即為異面直線 A1C 與 DD1 所成角。在三角形 AA1C 中， A1 A3, AC22, A1C22223217由余弦定理可得， cosA

20、A1C91783 170, 所以2317173 17cosAA1C，即 AA1Carccos 317 ，故異面直線 A1C 與 DD1 所成角的大小為17arccos 3 17 .1718. 設(shè) a R , 函數(shù)2xa.f (x)12x（1）求 a 的值，使得 f ( x) 為奇函數(shù)；（2）若 fxa2 對(duì)任意 xR 成立，求 a 的取值范圍 .2【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論思想【解】（ 1）函數(shù) f ( x)2xa 的定義域?yàn)椋?x1R由于 f ( x) 為奇函數(shù)，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)x , 均有 f ( x)f ( x) 成立即 2 xa2xa 對(duì)于任意實(shí)數(shù) x 都成立 ,

21、 所以 1a 2x2xa2 x12x11 2x12x于是 1 a 2x2xa , 即 1 a 12x0 , 所以 a 1 .（2） f xa 22xaa2 ，由于 2 x1 0 ，故 a2xa 222x12若 a0，則 02 ，不等式恒成立；若若a0，則 2xa2 ，因?yàn)?y 2x0 ，所以 a 20 ，解得 0 a2 ；aaa0 ，則 2xa2 ，此時(shí)不等式不是恒成立。a綜上所述，實(shí)數(shù)a 的取值范圍是0,2 。19. 某景區(qū)欲建造兩條圓形觀景步道 M 1 、M 2 （寬度忽略不計(jì)），如圖所示，已知 ABAC ，AB AC AD 60（單位：米），要求圓 M 1 與 AB 、AD分別相切于點(diǎn)

22、B、D，圓 M2與 AC、 AD分別相切于點(diǎn) C、D.（1）若 BAD60 ，求圓 M 1 和圓 M 2 的半徑（結(jié)果精確到 0.1 米）；（ 2）若觀景步道 M 1 與 M 2 的造價(jià)分別為每米 0.8千元與每米 0.9 千元。如何設(shè)計(jì)圓 M 1 、M 2 的大小，使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？ （結(jié)果精確到 0.1 千元）?！局R(shí)點(diǎn)】三角比，建立函數(shù)關(guān)系式，基本不等式【解】（ 1）已知 BAD 60 ，得圓 M 1 的半徑為AB tan 1BAD60tan 3034.6（米）。2又CAD906030 , 得圓M2的半徑為ACtan 1ACD60tan1516.1（米）。2（2）設(shè)圓 M

23、1 和圓 M 2 的半徑分別為 r1 和 r2， ttan1BAD2由于 0BAD 90, 得01BAD45，故0t12r1 60tan1BAD60t ， r260 tan451BAD60 1t ，221t因此，觀景步道的總造價(jià)為12 8 1 t18263.9 （千元）17 12 2 144 17 841 t當(dāng)且僅當(dāng) t1 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)半徑 r130, r2 202答：當(dāng)觀景步道M 1 和 M 2 的半徑分別設(shè)計(jì)為30米和 20 米時(shí)，總造價(jià)最低，且最低總造價(jià)約為 263.9 千元。220. 已知雙曲線： x2y2 1 （ b 0 ），直線 l ： y kx m （ km 0 ），bl 與

24、交于 P 、 Q 兩點(diǎn)， P 為 P 關(guān)于 y 軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線 PQ 與 y 軸交于點(diǎn) N 0, n .（1）若點(diǎn)2,0 是 的一個(gè)焦點(diǎn)，求的漸近線方程；（2）若 b1，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 1,0 ，且 NP3 PQ ，求 k 的值；2（3）若 m2 ，求 n 關(guān)于 b 的表達(dá)式?！局R(shí)點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其基本性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系【解】（1）根據(jù)已知條件，可得 c2,a1 ，所以 b23, 故 的方程為x2y21，其漸近線方程為 y3x .3（2）當(dāng) b1 時(shí)，的方程為 x2y21，點(diǎn) P 1,0設(shè) Q s,t，由 NP3 PQ 得， 1,n3s1, t，解得 s5223又由點(diǎn) Q

25、 在 上，解得 t4 ，故直線 l的斜率 kt01 .3s ( 1)2（3）當(dāng) m 2時(shí)，直線 l 的方程為 ykx2 ，設(shè) P x1, y1Q x1 , y1由 b2 x2y 2b2 得， b2k 2 x24kx b24 0ykx2由已知可得， b2k 20 且16 k24 b2k 2b240x1x24kb2k 2 （ * ），又 P所以x1, y1，x1x2b24b2k 2故直線 PQ 的方程為 yy1y2y1xx1x2x1由點(diǎn) N 0,n 在直線 P Q 上，得x1 y2x2 y1x1 kx22x2kx122kx1x22（* ）nx1x2x1x2x1x2將（ *）代入（ * ）得， n2kb242 ，即 nb2.4k221. 已知函數(shù)1xf xlog 2 1x（1）解方程 f x1 ；（2）設(shè) x1, 1 ， a1,，證明： ax11, 1且axf ax1f xf1;axa（3）設(shè)數(shù)列