不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用微點(diǎn)突破

1、微點(diǎn)突破不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用應(yīng)用 1基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例 1】 (2017 天一中學(xué)檢測 )某種商品原來每件售價為25 元，年銷售 8 萬件 .(1)據(jù)調(diào)查，若價格每提高1 元，銷售量將相應(yīng)減少2 000 件，要使銷售的總收入不低于原總收入，該商品每件定價最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定明年對該商品進(jìn)行全面12技術(shù)創(chuàng)新，并提高定價到x 元.公司擬投入 6(x 600)萬元作為技改費(fèi)用，投入501萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入 5x 萬元作為浮動宣傳費(fèi)用 .試問：當(dāng)該商品明年的銷售量 a 至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原總收入與總

2、投入之和？并求出此時商品的每件定價.解 (1)設(shè)每件定價為 x 元，x25依題意，有80.2 x258，1整理得 x2 65x 1 0000，解得 25 x40.答：要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40 元.(2)依題意， x25 時，121不等式 ax 25850 6(x 600) 5x 有解，15011等價于 x25 時， a x 6x 5有解，1501150 1x x2x 10(當(dāng)且僅當(dāng) x 30 時，等號成立 )， a10.2.6x 6答：當(dāng)該商品明年的銷售量a 至少應(yīng)達(dá)到 10.2 萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原總收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30 元.

3、應(yīng)用 2二次不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【例 2】 某公司為幫助尚有26.8 萬元的無息貸款，但沒有償還能力的殘疾人商店，借出20 萬元，將該商店改建為經(jīng)營狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店，并約定用該店經(jīng)營的利潤逐步償還債務(wù)(不計(jì)息 ).已知該種消費(fèi)品的進(jìn)價為每件40 元，該店每月銷售量q(單位：百件 )與銷售價 p(單位：元 /件)的關(guān)系用圖中的一條折線表示 .職工每人每月工資600 元，該店應(yīng)交付的其他費(fèi)用為每月13 200 元.(1)若當(dāng)銷售價 p 為 52 元/件時，該店正好收支平衡，求該店的職工人數(shù)；(2)若該店只安排40 名職工，則該店最早可在幾年后還清所有債務(wù)，此時每件消費(fèi)品價格定為多少元

4、？解 (1)設(shè)該店每月的利潤為 S 元，有職工 m 名，則 S q(p 40) 100600m 13 200. 2p140， 40p58，又由圖可得 qp 82，58p81，所以當(dāng) 40p58 時，S( 2p140)(p40) 100600m13 200，當(dāng) 58p 81 時，S( p 82)(p40) 100 600m13 200.由題設(shè)知，當(dāng) p52 時， S0，即(252140)(52 40) 100600m 13 2000，解得 m50，即此時該店有員工 50 人 .(2)由題意知 S（ 2p140）（ p40）10037 200，40p 58，（ p82）（ p40） 100 37

5、200， 58p81，當(dāng) 40p58 時，求得當(dāng) p55 時， S取最大值 7 800(元 )；當(dāng) 58p 81 時，求得當(dāng) p61 時， S取最大值 6 900(元 ).所以當(dāng) p55 時， S有最大值為 7 800 元.設(shè)該店最早可在n 年后還清所有債務(wù)，依題意得 127 800 n268 000200 0000，解得 n5，即該店最早可在5 年后還清所有債務(wù)，此時消費(fèi)品價格定為每件55 元.探究提高 不等式在實(shí)際問題中應(yīng)用廣泛，常借助于函數(shù)模型求解最值，進(jìn)而探求實(shí)際問題的解；在利用不等式研究實(shí)際問題模型中的數(shù)量關(guān)系時，常常運(yùn)用基本不等式、二次函數(shù)等工具探求最值，有時也涉及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，問題

6、最終還原為實(shí)際問題的解 .【訓(xùn)練 1】 某單位擬建一個扇環(huán)面形狀的花壇 (如圖所示 )，該扇環(huán)面是由以點(diǎn) O 為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點(diǎn) O 的兩條直線段圍成 .按設(shè)計(jì)要求扇環(huán)面的周長為 30 米，其中大圓弧所在圓的半徑為 10 米.設(shè)小圓弧所在圓的半徑為 x 米，圓心角為 (弧度 ).(1)求 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知在花壇的邊緣 (實(shí)線部分 )進(jìn)行裝飾時，直線部分的裝飾費(fèi)用為 4 元 /米，弧線部分的裝飾費(fèi)用為 9 元/米.設(shè)花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求出 x 為何值時， y 取得最大值？解 (1)設(shè)扇環(huán)的圓心角為 ，則 30(1

7、0x)2(10x)，10 2x所以 10x (0x10).(2)花壇的面積為1(102x2(52)x)(10 x) x25x 50(0x10).裝飾總費(fèi)用為 9(10 x)8(10 x)17010x，所以花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比x2 5x5025x50y x，17010x10（ 17x）3913243令 t17x，則 y1010 t t10，12當(dāng)且僅當(dāng) t18 時取等號，此時x1，11.答：當(dāng) x1 時，花壇的面積與裝飾總費(fèi)用的比最大.【訓(xùn)練 2】 (2017 常州水平監(jiān)測 )某輛汽車以 x 千米 /小時的速度在高速公路上勻速行駛 (考慮到高速公路行車安全要求60 x 120)時，每小時的

8、油耗 (所需要的汽1 4500 油量 )為5 xk x升，其中k 為常數(shù)，且60 k 100.(1)若汽車以120 千米 /小時的速度行駛時，每小時的油耗為11.5 升，欲使每小時的油耗不超過9 升，求x 的取值范圍；(2)求該汽車行駛100 千米的油耗的最小值.解(1)由題意，當(dāng)1x120 時， 5 xk4 500 11.5， k100.x14 500由5 x100x9，得 x2145x4 5000， 45x100.又 60x120， 60x100.(2)設(shè)該汽車行駛100 千米的油耗為 y 升，則 y100 1x4 500xx5k20k90 00020 x x2 (60 x 120)，111令 t x，則 t120，60，y90 000t2 20kt 20k2k290 000 t9 000 20900，對稱軸 tk， 60k100，9 000k119 000150，90 .若k1 ，即 75k100，9 000120k2則當(dāng) tk，即 x9 000k時， ymin20；9 0