導(dǎo)數(shù)極難壓軸題解法---羅比達(dá)法則

1、22-2e3xxxxxxlimlimlimx+-,2x導(dǎo)數(shù)極難壓軸題解法：羅比達(dá)法則應(yīng)用 (2010 年全國新課標(biāo)理)設(shè)函數(shù)f ( x) =ex-1 -x -ax2。若 a =0 ，求 f ( x )的單調(diào)區(qū)間；若當(dāng) x 0 時 f ( x ) 0 ，求 a 的取值范圍原解：（1） a =0 時， f ( x ) =ex -1 -x ， f ( x) =e x-1.當(dāng)x ( -,0) 時， f ( x) 0 .故 f ( x) 在 ( -,0) 單調(diào)減少，在 (0, +)單調(diào)增加（ii）f ( x ) =ex-1 -2 ax由（i）知ex1 +x，當(dāng)且僅當(dāng)x =0時等號成立.故f ( x )

2、x -2 ax =(1-2 a ) x，從而當(dāng)1 -2a 0，即a 12時，f ( x ) 0 ( x 0)，而f (0) =0，于是當(dāng)x 0時，f ( x) 0.由ex1 +x ( x 0) 可得 e-x1 -x ( x 0).從而當(dāng)a 12時，f ( x ) ex-1 +2 a( e-x-1) =e -x ( ex-1)(ex-2 a )，當(dāng)x (0,ln 2a)時， f (x) 0，而f (0) =0，于是當(dāng)x (0,ln 2a)時，f ( x) 0時，f ( x) 0等價于a ex-x -1x令g (x)=ex-x -1x(x0), 則g (x) =xex xx+x +2， 令h (x

3、)=xex-2e +x + (2x)0，則h(x)=xe-e +1，h(x)=xex0，知h(x)在(0,+)上為增函數(shù)，h(x)h(0)=0；知h (x)在(0,+)上為增函數(shù)，h(x)h(0)=0 ； g(x)0，g(x)在(0,+)上為增函數(shù)。e -x -1 e e 1 1由洛必達(dá)法則知， = = = ，故 a 綜上，知 a 的取值范圍為2 2 x 2 2 2x 0 x 0 x 0(2011 年高考新課標(biāo)數(shù)學(xué)理科 22) 1 。已知函數(shù)f ( x) =a ln x b+x +1 x，曲線y = f ( x )在點(1, f (1)處的切線方程為x +2 y -3 =0ln x k（i）求

4、 a，b 的值；（ii）如果當(dāng) x0，且 x 1 時， f ( x) +x -1 x，求 k 的取值范圍解（）f ( x) =x +1a ( -ln x )b-( x +1)2 x 2f (1) =1,1 由于直線 x +2 y -3 =0 的斜率為 - ，且過點 (1,1)，故 12 f (1) =- , 2即b =1,a 1 -b =- ,2 2解得 a =1 ， b =1 （由（）知ln x 1 f ( x) = +x +1 x，所以f ( x) -(ln x k 1 ( k -1)(x + ) = (2ln x +x -1 x 1 -x 2 x2-1)。考慮函數(shù)h( x) =2ln x

5、 +( k -1)(x x2-1)( x 0) ，則 h ( x ) =( k -1)(x 2x+1) +2 x 2。（i）設(shè) k 0，由h ( x ) =k ( x 2 +1) -( x -1)2x 2知，當(dāng) x 1時，h ( x) 0，可得11 -x2h ( x ) 0；22()( )21 -x()1 當(dāng) x（1，+）時，h（x）0從而當(dāng) x0,且 xln x k ln x k1 時，f（x）-（ + ）0，即 f（x） + .x -1 x x -1 x（ii）設(shè) 0k0，對稱軸x=11 -k1.當(dāng) x1（1， ）時，（k-1）（x2 +1）+2x0,故 1 -kh（x）0,而 h（1）=

6、0，故當(dāng) x1（1， ）時，h（x）0， 1 -k1可得 h（x）0 h（x）0,而 h（1）=0，故當(dāng)x（1，+1）時，h（x）0，可得 h（x） 只需證 + x +1 x x -1 x +1 x x -1為去分母，故分 x1 與 0x1 時，需證x( x -1)ln x +x2-1 x ( x +1)ln x即ln x x2 -1x即需證ln x 1 得g ( x) 1 時 g（x）0即（1）式成立同理 0xx -1x（2）而由 0x0，所以g ( x) =ln x -x +1x在（0，1）上為增函數(shù)又因 g（1）=0所以 當(dāng) 0x1 時 g（x）0, x 1 時，k0, x 1 ),則

7、g x =2 1 -x 2 2，再 令h (x)=(x2+1)lnx-x2+1 ( x 0, x 1 ) ， 則 h(x)=2xl n x+1 1 - x， h x=2ln x +1 -x x2， 易 知hh(x)=2ln x+ 1- 在 (0,+)上為增函數(shù)，且h(1)=0；故當(dāng)x(0,1) 時， h x 2(x)0；h(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+)上為增函數(shù)；故h(x)h(1)(x)0 =0，當(dāng) x（1，+）時， h (x)在(0,+)上為增函數(shù)h (1)=0 當(dāng) x (0,1) 時， h (x)0當(dāng)x (0,1)時，g(x)0 g (x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+)上

8、為增函數(shù)由洛必達(dá)法則知limg (x)=2limx 1 x 1x ln x1 -x 2+1 =2limx 11 +ln x-2x 1 +1 =2 - +1 =0 2 k 0，即k 的取值范圍為（- ，0規(guī)律總結(jié)：對恒成立問題中的求參數(shù)取值范圍，參數(shù)與變量分離較易理解，但有些題中的求分離出來的函數(shù)式101的最值有點麻煩，利用洛必達(dá)法則可以較好的處理它的最值，是一種值得借鑒的方法。 (2012)鄭州第一次質(zhì)量檢測21.解：（i）當(dāng) p =1 時，f ( x) = ln x - x + 1，其定義域為 (0,+).所以f1 (x) = -1x.2 分由f1(x) = -1 0x得0 x 1，所以f

9、( x)的單調(diào)增區(qū)間為 (0,1)；單調(diào)減區(qū)間為 (1,+).5分（ii）由函數(shù)g ( x) =xf ( x ) +p(2 x2-x -1) =x ln x +p ( x2-1) ,得 g (x) =ln x +1 +2 px.由（i）知，當(dāng) p =1 時， 即不等式成立. ln x x -1f ( x) f (1) =0，7 分 當(dāng) p - 時， g 2(x) =ln x +1 +2 px ( x -1) +1 +2 px =(1+2 p) x 0，即 g(x)在1, +)上單調(diào)遞減，從而g ( x) g (1) =0滿足題意； 9 分 當(dāng)1- p 0,1 +2 px 0，從而g(x) =l

10、n x +1 +2 px 0，即 g(x)在 1 1 ,-1 p上單調(diào)遞增，從而存在 1 x 1,-2 p使得g ( x ) g (1) =0 0不滿足題意；當(dāng) p 0 時，由 x 1 知 g ( x ) =x ln x +p ( x 2 -1) 0恒成立，此時不滿足題意.綜上所述，實數(shù) p 的取值范圍為 p - . 12 分2解法二:二次求導(dǎo)分離變量型由函數(shù)g ( x ) =xf ( x) +p (2 x2-x -1) =x ln x +p( x2-1) ,得 g (x) =ln x +1 +2 px.由（i）知，當(dāng) p =1 時，f ( x) f (1) =0，即不等式ln x x -1成

11、立.因而，要使 g(x）0 成立，只需g/( x ) 0 恒成立即可，分離變量，再二次求導(dǎo)，即可得。解法三：直接分離變量，然后羅比達(dá)法則求出最值即可設(shè)函數(shù) f(x)=ln(x1)+2a/x (a r)(1) 求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間。（2）如果當(dāng)x 1,且x 2時，ln( x -1) a x -2 x恒成立，則求實數(shù) a 的取值范圍。解：（1）f(x) =x 2 -2 ax +2 a x 2 ( x -1），對分子討論，當(dāng)d0，即，在（1，+）上增函數(shù)。2 當(dāng) a 0,對稱軸 x=a 0,f(1)=10,增函數(shù)。3 當(dāng) a2 時，在（1,x1）是增函數(shù)，在（x1,x2）是減函數(shù)，在（x2,+

12、 可得結(jié)論：當(dāng)）是增函數(shù)f（x)-12（2）方法一：利用第一問結(jié)論構(gòu)造函數(shù)。ln( x -1)x -2a 1 2a ln( x -1) + -a 0x x -2 x 轉(zhuǎn)化為1x -1f ( x) -a 0，令 h(x)=f(x)-a,利用第一問結(jié)論可知a2 時，h(x)在（1，+）是增函數(shù)，因為 1x2,h(x)2 時，h(x)h（2）=0 成立，所以當(dāng) a2 時，原式成立。當(dāng) a2 時，因為 f（x）在（x1,2）是減函數(shù)，所以，h(x)在（x1,2）是減函數(shù)，所以當(dāng) x1xh(2)=0 不成 立。綜上可知，a 的取值范圍是（ ，2.方法二：分離變量，羅比達(dá)法則 a0g(x)0，而 g(2)

13、=0.可知，g(x)在（1,2）是減函數(shù)，在（2，+無窮）上是增函數(shù)，所以，g(x)ming(2),此處開始羅比達(dá) 法則，可得最后結(jié)果。（2012 年河南省六市高中畢業(yè)班第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)理科）已知函數(shù) f(x)= x(1+a)lnx 在 x=1 時，存在極值。（1）求實數(shù) a 的值；（2）若 x1，mlnx 成立，求正實數(shù)m 的取值范圍。解法:（一）常規(guī)討論二次取導(dǎo)法x-1（1）f（x）=1-（1+a）/x , 有導(dǎo)數(shù)=0 可知 a=0.(2)當(dāng)x1時 ，去分母 。g (= x )-m( x 1 +)x -，xg(x) =mx ln x +mx -x +1 -m mx ln x +( x -

14、1）（m-1)=x x，進(jìn)入討論若 m1,則導(dǎo)函數(shù)分子大于零，所以原函數(shù)是增函數(shù)，g(x)g(1)=0,顯然成立。若 mx -ln x -1 x -ln x -1 ( x -1) ln x 1 1 m = + = -x -1 ( x -1)ln x ( x -1)ln x ( x -1)ln x ln x x -1=g（x）g ( x ) =(ln x）-1+（x-1)-1, 則g(x) =-1 x (lnx )+1 ( x -1)2=x(ln x) 2 -( x -1)2 x( x -1)(ln x) 2,令 h(x)=x(ln x)2-( x -1)2h(x) =(ln x)2+2ln x -2 x +2,令r ( x ) =h(x），則r(x) =2ln x +2 -2 xx，