線段垂直平分線33

1、線段垂直平分線（一）教學(xué)實錄課題：線段垂直平分線執(zhí)教老師：李瑤麗教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情境，引趣激思 （教師用多媒體演示）：如圖，A、B表示兩個倉庫，要在一側(cè)的河岸邊建造一個碼頭，使它到兩個倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？生：碼頭應(yīng)建在線段AB的垂直平分線與在A、B一側(cè)的河岸邊的交點上. （由實際問題引出線段垂直平分線性質(zhì)，使學(xué)生認(rèn)識到實際生活中離不開數(shù)學(xué).）師：你為什么要這樣做呢？（讓學(xué)生說明理由，使學(xué)生認(rèn)識到運用數(shù)學(xué)解決問題時要有理有據(jù)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣.）生：七年級時我們學(xué)過“線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等”，在這個問題中要求碼頭到兩個倉庫A、B的距離相等，所以得用

2、此性質(zhì)來解決.師：這位同學(xué)說的非常好，回想七年級我們是用折紙的方法得到的，同學(xué)們知道這是不夠的，還必須利用公理及已學(xué)過的定理、推論證明它這節(jié)課我們一起用所學(xué)的公理、定理來證明線段的垂直平分線性質(zhì)定理。 （教師演示線段垂直平分線的性質(zhì)：定理 線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等 同時，教師板書課題： 線段的垂直平分線(一)） （二）合作交流，探究新知1.線段垂直平分線性質(zhì)定理的證明師：現(xiàn)在就請同學(xué)們思考證明的思路和方法，并嘗試寫出證明過程，并在小組內(nèi)交流. （學(xué)生畫圖，寫出已知、求證.證明方法和寫出證明過程對于學(xué)生來說不是很困難的.）已知：如圖，直線MNAB，垂足是C，且ACBC，P是M

3、N上的點求證：PAPB證明：MNAB，PCAPCB90.ACBC，PCPC，PCAPCB(SAS)PAPB(全等三角形的對應(yīng)邊相等)師：若直線MN上有一點Q，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)定理，說出結(jié)論.生：QAQB （教師在圖形中找出幾個不同位置的點P，學(xué)生分別說出結(jié)論，就是為了讓學(xué)生熟悉圖形，能熟練應(yīng)用垂直平分線性質(zhì)定理找出相等的線段）師：從圖形中，你還能找出哪些相等的線段、相等的角呢？生： AB，CPACPB. （挖掘基本圖形中其它的等量關(guān)系，使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)知識不要局限于定理，為以后應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)定理進(jìn)行證明、計算打基礎(chǔ).）2.線段垂直平分線判定定理的證明師：多媒體演示想一想.你能寫

4、出上面這個定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?生：這個命題不是“如果那么”的形式，要寫出它的逆命題，將原命題寫成“如果那么”的形式，逆命題就容易寫出師：誰來分析原命題的條件和結(jié)論呢?注意表述時要流暢，完整生：原命題的條件是“有一個點是線段垂直平分線上的點”，結(jié)論是“這個點到線段兩個端點的距離相等”師：有了這位同學(xué)的精彩分析，逆命題就很容易寫出來生：如果有一個點到線段兩個端點的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上師：誰能把它描述得更簡捷?生：到線段兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上師：當(dāng)我們寫出逆命題時，就應(yīng)想到判斷它的真假.如果真，則需證明它；如果假，則需用反例說明，請同學(xué)們自行

5、完成生A：已知：線段AB，點P是平面內(nèi)一點且PAPB求證：P點在AB的垂直平分線上證明：過點P作已知線段AB的垂線PC，垂足為CPAPB，PCPC，RtPACRtPBC(HL定理)ACBC，即P點在AB的垂直平分線上生B：我沒有證明RtPAC和RtPBC全等，我是利用“等 腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合”的性質(zhì)證明的.因為AP=BP，所以PBA是等腰三角形，又因為PC垂直AB，PC是PBA底邊上的高，所以PC是AB邊上的中線，所以AC=BC，即P點在AB的垂直平分線上師：比較這兩名同學(xué)的證法，哪名同學(xué)的證明比較簡單？生（齊答）：第二名同學(xué)的證明簡單.師：他應(yīng)用等腰三角

6、形的“三線合一”性質(zhì)省了一個全等的步驟，我們以后在做證明或計算時，要尋求簡單的方法.生C：取AB的中點C，過PC作直線APBP，AC=BC， PCABP點在AB的垂直平分線上生D：過P點作APB的角平分線.APBP，1=2，AC=BC ，PCABP點在線段AB的垂直平分線上 （學(xué)生用多種方法來證明命題結(jié)論的正確性，不同輔肋線的引用，可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力.只是有的學(xué)生還是用全等的方法來證較繁，應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)步驟就簡化多了，提醒學(xué)生在作證明、計算時應(yīng)多加注意.）師：從同學(xué)們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題，我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理師：我們已經(jīng)完成了線

7、段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理的證明，請同學(xué)們思考一下我們可以用這兩個定理來證明什么？生：用這兩個定理可以證明線段相等、兩條直線互相垂直.3.線段垂直平分線的作法師：我們曾用折紙的方法折出過線段的垂直平分線，現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理，能否用尺規(guī)作圖的方法作出已知線段的垂直平分線呢?做一做用尺規(guī)作線段的垂直平分線師：下面我們一同來寫出已知、求作、作法，體會作法中每一步的依據(jù)師生共作：已知：線段AB(如圖)求作：線段AB的垂直平分線作法：（1）分別以點A和B為圓心，以大于AB的長為 半徑作弧，兩弧相交于點C和D（2）作直線CD直線CD就是線段AB的垂直平分線師：根據(jù)上面作

8、法中的步驟，請你說明CD為什么是AB的垂直平分線?請與同伴進(jìn)行交流 （尺規(guī)作圖的步驟是：已知、求作、作法、證明四個步驟，作圖后要說明作圖的理由，不僅是培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，而且讓學(xué)生明白幾何每一步都要有理有據(jù).學(xué)生說明理由也是為了靈活應(yīng)用定理.）生：從作法的第一步可知 ACBC，ADBDC、D都在AB的垂直平分線上(線段垂直平分線的判定定理)CD就是線段AB的垂直平分線(兩點確定一條直線)師：說的非常好，看來同學(xué)們能靈活運用這節(jié)課所學(xué)的兩個定理了.師：如何用尺規(guī)作線段AB的中點？生：還是作線段AB的垂直平分線，它與線段AB的交點就是線段AB的中點.師：如何將線段AB四等分？同學(xué)們自己獨立完

9、成.（三）學(xué)以致用（多媒體演示）1如圖，已知AB是線段CD的垂直平分線， E是AB上的一點，如果EC7 cm，那么ED cm，如果ECD60，那么EDC .（學(xué)生口述答案，并說出推理過程.讓學(xué)生能從圖形中應(yīng)用線段垂直平分線性質(zhì)定理容易找出相等的線段、角）2如圖，在ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E. （1）若BE=3，則AE=？（2）若AEC=70，則B=？ （3）若BC=5，AEC的周長為7，則AC=？（以下是對于（3）題的分析）生：我從AEC的周長為7入手，因為AEC的周長等于AE+EC+AC，又因為AE=BE，所以將AE替換為BE，而從圖形中看出BE+EC=BC，因此AEC的周長等

10、于AC+BC，從而求出AC的長.師：說的非常好. （從2題的學(xué)習(xí)中，我們可以看到用線段的垂直平分線的性質(zhì)來證明線段相等和角等.）變式1如圖，在ABC中，AB的垂直平分線交AC邊于點E. (1)若BE=3，則AE=？(2)若BEC=70，則A=？(3)若BC=5，BEC的周長為12，則AC=？師：兩個圖形比較一下，你發(fā)現(xiàn)了什么？生：無論與AC相交還是與BC相交，與第三邊形成的三角形周長都等于AC+BC.師：說的很好，這位同學(xué)善于總結(jié)規(guī)律，我們大家要向他學(xué)習(xí). （AB邊上的垂直平分線與AC相交，圖形變換，學(xué)生能應(yīng)用定理找出AE=BE，進(jìn)而解決此題.）變式2如圖，在RtABC中，AB的垂直平分線交B

11、C邊于點E，若BE=2，B =15，求AC的長.變式3如圖，在RtABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E，若BE=2，B =22.5，求AC的長. （變式2、3是與直角三角形有關(guān)的知識聯(lián)用，使學(xué)生學(xué)會綜合應(yīng)用知識.）變式4 如圖，在ABC中，AB=AC, BC=12,BAC =120,AB的垂直平分線交BC邊于點E, AC的垂直平分線交BC邊于點N.(1)求EAN的度數(shù)；(2)判斷AEN的形狀；(3)求AEN的周長.變式5如圖，在ABC中，AB=AC, BC=12,BAC =130,AB的垂直平分線交BC邊于點E, AC的垂直平分線交BC邊于點N.(1)求EAN的度數(shù)；(2)判斷AEN的形狀

12、；(3)求AEN的周長.變式6如圖，在ABC中， BC=12,BAC =100,AB的垂直平分線交BC邊于點E, AC的垂直平分線交BC邊于點N.(1)求EAN的度數(shù)；(2)求AEN的周長.（學(xué)生練習(xí)，小組合作交流.）師：變式4、5、6是三個由特殊到一般的圖形，從頂角是120的等腰三角形到一般的等腰三角形到一般三角形，AEN的形狀及EAN的度數(shù)也不斷的變化，但AEN的周長不變，因此得出結(jié)論：AEN的周長=BC長，AEN的形狀變化規(guī)律是由等邊三角形到等腰三角形到一般三角形，與ABC的形狀有關(guān)不與BAC的度數(shù)有關(guān).EAN的度數(shù)與哪個角的度數(shù)有關(guān)呢？生1：與B的度數(shù)和C的度數(shù)有關(guān)，EAN=180-2

13、B-2C.生2： 與BAC的度數(shù)有關(guān)，因為EAN=180-2B-2C=180-2（B+C）=180-2（180-BAC）=2BAC -180，所以與BAC的度數(shù)有關(guān).師：哪位同學(xué)分析的透徹？生齊：第二名學(xué)生.師：說得很好，第一名學(xué)生沒有進(jìn)一步去分析，第二名學(xué)生發(fā)析的很透徹. （圖形的變式、題條件和結(jié)論的變換是幾何學(xué)習(xí)的主要組成部分，但是有一句話說：萬變不離其中.我們在做這樣的變換時要注意總結(jié)一下，哪些是變化的，哪些是不變的，變化的量是哪個量隨哪個量變化而變化的，找出相應(yīng)的規(guī)律，這樣才能將這種圖形、這種類型的題目學(xué)透、學(xué)通、學(xué)精.）（四）課堂小結(jié)，暢談收獲生1：本節(jié)課我們先推理證明了線段的垂直平

14、分線的性質(zhì)定理和判定定理，并學(xué)會了用尺規(guī)作線段的垂直平分線生2：我們可以用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理證明線段相等.生3：從本節(jié)課練習(xí)題及變式題中，我們總結(jié)了一些等量關(guān)系.師：看來同學(xué)們基本上掌握了這節(jié)課所學(xué)的知識. （五）課后作業(yè)（投影儀）教學(xué)反思成功之處：1.對于線段垂直平分線的判定定理是線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理，判定定理的敘述是本節(jié)課的難點，為了突破這個難點，先分析定理的條件和結(jié)論，然后改寫成如果那么的形式，最后將條件和結(jié)論互換，一步步按逆命題改寫方式完成.師生互動將逆定理完成，突破了本節(jié)課的難點.2.線段垂直平分線性質(zhì)定理的應(yīng)用是本節(jié)課重點內(nèi)容之一，為了讓學(xué)生能靈活運用定理，先要挖掘圖形中的等量關(guān)系，然后在學(xué)生比較熟悉圖形的基礎(chǔ)上，不斷變換.例如，由2題一條垂直平分線與三角形一邊相交，變?yōu)榕c另一邊相交，由一條垂直平分線變?yōu)閮蛇叺拇怪逼椒志€與第三邊相交，垂直平分線無論與哪邊相交，總是存在一定的等量關(guān)系.3.本節(jié)課課堂容量大，學(xué)生在許多圖形不斷變換中體會到線段垂直平分線兩個定理如何應(yīng)用及應(yīng)用時所引的輔助線，同時也認(rèn)識到運用這兩個定