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文檔簡介
1、線段垂直平分線(一)教學(xué)實(shí)錄課題:線段垂直平分線執(zhí)教老師:李瑤麗教學(xué)過程(一)創(chuàng)設(shè)情境,引趣激思 (教師用多媒體演示):如圖,A、B表示兩個(gè)倉庫,要在一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭,使它到兩個(gè)倉庫的距離相等,碼頭應(yīng)建在什么位置?生:碼頭應(yīng)建在線段AB的垂直平分線與在A、B一側(cè)的河岸邊的交點(diǎn)上. (由實(shí)際問題引出線段垂直平分線性質(zhì),使學(xué)生認(rèn)識(shí)到實(shí)際生活中離不開數(shù)學(xué).)師:你為什么要這樣做呢?(讓學(xué)生說明理由,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)要有理有據(jù),培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣.)生:七年級(jí)時(shí)我們學(xué)過“線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”,在這個(gè)問題中要求碼頭到兩個(gè)倉庫A、B的距離相等,所以得用
2、此性質(zhì)來解決.師:這位同學(xué)說的非常好,回想七年級(jí)我們是用折紙的方法得到的,同學(xué)們知道這是不夠的,還必須利用公理及已學(xué)過的定理、推論證明它這節(jié)課我們一起用所學(xué)的公理、定理來證明線段的垂直平分線性質(zhì)定理。 (教師演示線段垂直平分線的性質(zhì):定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 同時(shí),教師板書課題: 線段的垂直平分線(一)) (二)合作交流,探究新知1.線段垂直平分線性質(zhì)定理的證明師:現(xiàn)在就請(qǐng)同學(xué)們思考證明的思路和方法,并嘗試寫出證明過程,并在小組內(nèi)交流. (學(xué)生畫圖,寫出已知、求證.證明方法和寫出證明過程對(duì)于學(xué)生來說不是很困難的.)已知:如圖,直線MNAB,垂足是C,且ACBC,P是M
3、N上的點(diǎn)求證:PAPB證明:MNAB,PCAPCB90.ACBC,PCPC,PCAPCB(SAS)PAPB(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)師:若直線MN上有一點(diǎn)Q,根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)定理,說出結(jié)論.生:QAQB (教師在圖形中找出幾個(gè)不同位置的點(diǎn)P,學(xué)生分別說出結(jié)論,就是為了讓學(xué)生熟悉圖形,能熟練應(yīng)用垂直平分線性質(zhì)定理找出相等的線段)師:從圖形中,你還能找出哪些相等的線段、相等的角呢?生: AB,CPACPB. (挖掘基本圖形中其它的等量關(guān)系,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)知識(shí)不要局限于定理,為以后應(yīng)用線段垂直平分線的性質(zhì)定理進(jìn)行證明、計(jì)算打基礎(chǔ).)2.線段垂直平分線判定定理的證明師:多媒體演示想一想.你能寫
4、出上面這個(gè)定理的逆命題嗎?它是真命題嗎?生:這個(gè)命題不是“如果那么”的形式,要寫出它的逆命題,將原命題寫成“如果那么”的形式,逆命題就容易寫出師:誰來分析原命題的條件和結(jié)論呢?注意表述時(shí)要流暢,完整生:原命題的條件是“有一個(gè)點(diǎn)是線段垂直平分線上的點(diǎn)”,結(jié)論是“這個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”師:有了這位同學(xué)的精彩分析,逆命題就很容易寫出來生:如果有一個(gè)點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,那么這個(gè)點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上師:誰能把它描述得更簡捷?生:到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上師:當(dāng)我們寫出逆命題時(shí),就應(yīng)想到判斷它的真假.如果真,則需證明它;如果假,則需用反例說明,請(qǐng)同學(xué)們自行
5、完成生A:已知:線段AB,點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)且PAPB求證:P點(diǎn)在AB的垂直平分線上證明:過點(diǎn)P作已知線段AB的垂線PC,垂足為CPAPB,PCPC,RtPACRtPBC(HL定理)ACBC,即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上生B:我沒有證明RtPAC和RtPBC全等,我是利用“等 腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合”的性質(zhì)證明的.因?yàn)锳P=BP,所以PBA是等腰三角形,又因?yàn)镻C垂直AB,PC是PBA底邊上的高,所以PC是AB邊上的中線,所以AC=BC,即P點(diǎn)在AB的垂直平分線上師:比較這兩名同學(xué)的證法,哪名同學(xué)的證明比較簡單?生(齊答):第二名同學(xué)的證明簡單.師:他應(yīng)用等腰三角
6、形的“三線合一”性質(zhì)省了一個(gè)全等的步驟,我們以后在做證明或計(jì)算時(shí),要尋求簡單的方法.生C:取AB的中點(diǎn)C,過PC作直線APBP,AC=BC, PCABP點(diǎn)在AB的垂直平分線上生D:過P點(diǎn)作APB的角平分線.APBP,1=2,AC=BC ,PCABP點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上 (學(xué)生用多種方法來證明命題結(jié)論的正確性,不同輔肋線的引用,可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力.只是有的學(xué)生還是用全等的方法來證較繁,應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)步驟就簡化多了,提醒學(xué)生在作證明、計(jì)算時(shí)應(yīng)多加注意.)師:從同學(xué)們的推理證明過程可知線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆命題是真命題,我們把它稱做線段垂直平分線的判定定理師:我們已經(jīng)完成了線
7、段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理的證明,請(qǐng)同學(xué)們思考一下我們可以用這兩個(gè)定理來證明什么?生:用這兩個(gè)定理可以證明線段相等、兩條直線互相垂直.3.線段垂直平分線的作法師:我們?cè)谜奂埖姆椒ㄕ鄢鲞^線段的垂直平分線,現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理,能否用尺規(guī)作圖的方法作出已知線段的垂直平分線呢?做一做用尺規(guī)作線段的垂直平分線師:下面我們一同來寫出已知、求作、作法,體會(huì)作法中每一步的依據(jù)師生共作:已知:線段AB(如圖)求作:線段AB的垂直平分線作法:(1)分別以點(diǎn)A和B為圓心,以大于AB的長為 半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)C和D(2)作直線CD直線CD就是線段AB的垂直平分線師:根據(jù)上面作
8、法中的步驟,請(qǐng)你說明CD為什么是AB的垂直平分線?請(qǐng)與同伴進(jìn)行交流 (尺規(guī)作圖的步驟是:已知、求作、作法、證明四個(gè)步驟,作圖后要說明作圖的理由,不僅是培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,而且讓學(xué)生明白幾何每一步都要有理有據(jù).學(xué)生說明理由也是為了靈活應(yīng)用定理.)生:從作法的第一步可知 ACBC,ADBDC、D都在AB的垂直平分線上(線段垂直平分線的判定定理)CD就是線段AB的垂直平分線(兩點(diǎn)確定一條直線)師:說的非常好,看來同學(xué)們能靈活運(yùn)用這節(jié)課所學(xué)的兩個(gè)定理了.師:如何用尺規(guī)作線段AB的中點(diǎn)?生:還是作線段AB的垂直平分線,它與線段AB的交點(diǎn)就是線段AB的中點(diǎn).師:如何將線段AB四等分?同學(xué)們自己獨(dú)立完
9、成.(三)學(xué)以致用(多媒體演示)1如圖,已知AB是線段CD的垂直平分線, E是AB上的一點(diǎn),如果EC7 cm,那么ED cm,如果ECD60,那么EDC .(學(xué)生口述答案,并說出推理過程.讓學(xué)生能從圖形中應(yīng)用線段垂直平分線性質(zhì)定理容易找出相等的線段、角)2如圖,在ABC中,AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E. (1)若BE=3,則AE=?(2)若AEC=70,則B=? (3)若BC=5,AEC的周長為7,則AC=?(以下是對(duì)于(3)題的分析)生:我從AEC的周長為7入手,因?yàn)锳EC的周長等于AE+EC+AC,又因?yàn)锳E=BE,所以將AE替換為BE,而從圖形中看出BE+EC=BC,因此AEC的周長等
10、于AC+BC,從而求出AC的長.師:說的非常好. (從2題的學(xué)習(xí)中,我們可以看到用線段的垂直平分線的性質(zhì)來證明線段相等和角等.)變式1如圖,在ABC中,AB的垂直平分線交AC邊于點(diǎn)E. (1)若BE=3,則AE=?(2)若BEC=70,則A=?(3)若BC=5,BEC的周長為12,則AC=?師:兩個(gè)圖形比較一下,你發(fā)現(xiàn)了什么?生:無論與AC相交還是與BC相交,與第三邊形成的三角形周長都等于AC+BC.師:說的很好,這位同學(xué)善于總結(jié)規(guī)律,我們大家要向他學(xué)習(xí). (AB邊上的垂直平分線與AC相交,圖形變換,學(xué)生能應(yīng)用定理找出AE=BE,進(jìn)而解決此題.)變式2如圖,在RtABC中,AB的垂直平分線交B
11、C邊于點(diǎn)E,若BE=2,B =15,求AC的長.變式3如圖,在RtABC中,AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E,若BE=2,B =22.5,求AC的長. (變式2、3是與直角三角形有關(guān)的知識(shí)聯(lián)用,使學(xué)生學(xué)會(huì)綜合應(yīng)用知識(shí).)變式4 如圖,在ABC中,AB=AC, BC=12,BAC =120,AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E, AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.(1)求EAN的度數(shù);(2)判斷AEN的形狀;(3)求AEN的周長.變式5如圖,在ABC中,AB=AC, BC=12,BAC =130,AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E, AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.(1)求EAN的度數(shù);(2)判斷AEN的形狀
12、;(3)求AEN的周長.變式6如圖,在ABC中, BC=12,BAC =100,AB的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)E, AC的垂直平分線交BC邊于點(diǎn)N.(1)求EAN的度數(shù);(2)求AEN的周長.(學(xué)生練習(xí),小組合作交流.)師:變式4、5、6是三個(gè)由特殊到一般的圖形,從頂角是120的等腰三角形到一般的等腰三角形到一般三角形,AEN的形狀及EAN的度數(shù)也不斷的變化,但AEN的周長不變,因此得出結(jié)論:AEN的周長=BC長,AEN的形狀變化規(guī)律是由等邊三角形到等腰三角形到一般三角形,與ABC的形狀有關(guān)不與BAC的度數(shù)有關(guān).EAN的度數(shù)與哪個(gè)角的度數(shù)有關(guān)呢?生1:與B的度數(shù)和C的度數(shù)有關(guān),EAN=180-2
13、B-2C.生2: 與BAC的度數(shù)有關(guān),因?yàn)镋AN=180-2B-2C=180-2(B+C)=180-2(180-BAC)=2BAC -180,所以與BAC的度數(shù)有關(guān).師:哪位同學(xué)分析的透徹?生齊:第二名學(xué)生.師:說得很好,第一名學(xué)生沒有進(jìn)一步去分析,第二名學(xué)生發(fā)析的很透徹. (圖形的變式、題條件和結(jié)論的變換是幾何學(xué)習(xí)的主要組成部分,但是有一句話說:萬變不離其中.我們?cè)谧鲞@樣的變換時(shí)要注意總結(jié)一下,哪些是變化的,哪些是不變的,變化的量是哪個(gè)量隨哪個(gè)量變化而變化的,找出相應(yīng)的規(guī)律,這樣才能將這種圖形、這種類型的題目學(xué)透、學(xué)通、學(xué)精.)(四)課堂小結(jié),暢談收獲生1:本節(jié)課我們先推理證明了線段的垂直平
14、分線的性質(zhì)定理和判定定理,并學(xué)會(huì)了用尺規(guī)作線段的垂直平分線生2:我們可以用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理和判定定理證明線段相等.生3:從本節(jié)課練習(xí)題及變式題中,我們總結(jié)了一些等量關(guān)系.師:看來同學(xué)們基本上掌握了這節(jié)課所學(xué)的知識(shí). (五)課后作業(yè)(投影儀)教學(xué)反思成功之處:1.對(duì)于線段垂直平分線的判定定理是線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理,判定定理的敘述是本節(jié)課的難點(diǎn),為了突破這個(gè)難點(diǎn),先分析定理的條件和結(jié)論,然后改寫成如果那么的形式,最后將條件和結(jié)論互換,一步步按逆命題改寫方式完成.師生互動(dòng)將逆定理完成,突破了本節(jié)課的難點(diǎn).2.線段垂直平分線性質(zhì)定理的應(yīng)用是本節(jié)課重點(diǎn)內(nèi)容之一,為了讓學(xué)生能靈活運(yùn)用定理,先要挖掘圖形中的等量關(guān)系,然后在學(xué)生比較熟悉圖形的基礎(chǔ)上,不斷變換.例如,由2題一條垂直平分線與三角形一邊相交,變?yōu)榕c另一邊相交,由一條垂直平分線變?yōu)閮蛇叺拇怪逼椒志€與第三邊相交,垂直平分線無論與哪邊相交,總是存在一定的等量關(guān)系.3.本節(jié)課課堂容量大,學(xué)生在許多圖形不斷變換中體會(huì)到線段垂直平分線兩個(gè)定理如何應(yīng)用及應(yīng)用時(shí)所引的輔助線,同時(shí)也認(rèn)識(shí)到運(yùn)用這兩個(gè)定
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