人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《正多邊形和圓》教學(xué)學(xué)案

1、24.3正多邊形和圓教學(xué)內(nèi)容1正多邊形和圓的有關(guān)概念：正多邊形的外接圓，正多邊形的中心，?正多邊形的半徑，正多邊形的中心角，正多邊形的邊心距2 在正多邊形和圓中，圓的半徑、邊長(zhǎng)、邊心距中心角之間的等量關(guān)系3 正多邊形的畫(huà)法教學(xué)目標(biāo)了解正多邊形和圓的有關(guān)概念；理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、 中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫(huà)多邊形復(fù)習(xí)正多邊形概念， 讓學(xué)生盡可能講出生活中的多邊形為引題引入正多邊形和圓這一節(jié)間的內(nèi)容重難點(diǎn)、關(guān)鍵1重點(diǎn)：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、?邊長(zhǎng)之間的關(guān)系2難點(diǎn)與關(guān)鍵：通過(guò)例題使學(xué)生理解四者：正多邊形半徑、中心角、?弦心距、邊長(zhǎng)之間

2、的關(guān)系教學(xué)過(guò)程一、復(fù)習(xí)引入請(qǐng)同學(xué)們口答下面兩個(gè)問(wèn)題1 什么叫正多邊形？2 從你身邊舉出兩三個(gè)正多邊形的實(shí)例， 正多邊形具有軸對(duì)稱、 ?中心對(duì)稱嗎？其對(duì)稱軸有幾條，對(duì)稱中心是哪一點(diǎn)？老師點(diǎn)評(píng)： 1各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形2實(shí)例略正多邊形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有無(wú)數(shù)多條；?正多邊形是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是正多邊形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交點(diǎn)二、探索新知如果我們以正多邊形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的交點(diǎn)作為圓心， 過(guò)點(diǎn)到頂點(diǎn)的連線為半徑，能夠作一個(gè)圓，很明顯，這個(gè)正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)圓上，如圖， ?正六邊形 ABCDEF，連結(jié) AD、CF交于一點(diǎn)，以 O為圓心， OA 為半徑作圓，那么肯定 B、 C、?D

3、、 E、F 都在這個(gè)圓上因此，正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓我們以圓內(nèi)接正六邊形為例證明如圖所示的圓，把 O?分成相等的 6?段弧，依次連接各分點(diǎn)得到六邊 ABCDEF，下面證明，它是正六邊形 AB=BC=CD=DE=EF AB=BC=CD=DE=EF又 A= 1 BCF=1 （ BC+CD+DE+EF） =2BC2 21 1 B= CDA= （ CD+DE+EF+FA） =2CD22 A= B同理可證：B= C= D= E= F= A又六邊形 ABCDEF的頂點(diǎn)都在O上根據(jù)正多邊形的定義，各邊相等、各角

4、相等、六邊形ABCDEF是 O的內(nèi)接正六邊形， O是正六邊形ABCDEF的外接圓為了今后學(xué)習(xí)和應(yīng)用的方便，?我們把 一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)多邊形的中心外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距例 1已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑ED是 a， ?求正六邊形的周長(zhǎng)和面積分析：要求正六邊形的周長(zhǎng)，只要求AB 的長(zhǎng)，已知條件是外接圓半徑，因此自然而然，邊長(zhǎng)應(yīng)與半徑掛上鉤，很自然應(yīng)OFC連接 OA，過(guò) O點(diǎn)作 OMAB 垂于 M，在 Rt AOM?中便可求得 AM，又應(yīng)用垂徑定理可求得AB的長(zhǎng)

5、正六邊形的面積是由六塊正三角形面積組成的AM B解：如圖所示，由于ABCDEF是正六邊形，所以它的中心角等于 360 =60， ? OBC是等邊三角形，從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑6因此，所求的正六邊形的周長(zhǎng)為6a在 Rt OAM中， OA=a， AM=1 AB=1 a22利用勾股定理，可得邊心距OM=a21a)21(=3 a22所求正六邊形的面積 =6 1 ABOM=6 1 a3 a= 33 a22222現(xiàn)在我們利用正多邊形的概念和性質(zhì)來(lái)畫(huà)正多邊形例 2利用你手中的工具畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm 的正五邊形分析：要畫(huà)正五邊形，首先要畫(huà)一個(gè)圓，然后對(duì)圓五等分，因此，?應(yīng)該先求邊長(zhǎng)為 3的正五邊形的半

6、徑解：正五邊形的中心角AOB=360=72，5如圖， AOC=30， OA=1 AB sin36 =1.5 sin36 2.55 （ cm）2畫(huà)法（ 1）以 O為圓心， OA=2.55cm為半徑畫(huà)圓；（ 2）在 O上順次截取邊長(zhǎng)為 3cm的 AB、 BC、 CD、DE、 EA（ 3）分別連結(jié) AB、 BC、 CD、 DE、 EA則正五邊形ABCDE就是所要畫(huà)的正五邊形，如圖所示三、鞏固練習(xí)教材 P115 練習(xí) 1、 2、 3 P116探究題、練習(xí)四、應(yīng)用拓展例 3在直徑為 AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示， 使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn) C 在半圓圓周上， 其它兩邊分別為6 和 8，現(xiàn)

7、要建造一個(gè)內(nèi)接于 ABC?的矩形水池 DEFN，其中 D、 E在 AB上，如圖 24-94的設(shè)計(jì)方案是使 AC=8，BC=6（ 1）求 ABC的邊 AB 上的高 h（ 2）設(shè) DN=x，且 h DNNF ，當(dāng) x 取何值時(shí)，水池 DEFN的面積最大？h AB（ 3）實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在 AB上距 B 點(diǎn) 185 的 M處有一棵大樹(shù)，問(wèn)：這棵大樹(shù)是否位于最大矩形水池的邊上？如果在， 為了保護(hù)大樹(shù)， 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案， 使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開(kāi)大樹(shù)CNFhADGEB分析：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達(dá)式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學(xué)的知識(shí)，應(yīng)用配方法求最值

8、（ 3）的設(shè)計(jì)要有新意， ?應(yīng)用圓的對(duì)稱性就能圓滿解決此題解：（1）由 AB CG=AC BC得 h= AC BC8 6=4.8AB10（ 2） h= hDNNF 且 DN=xhAB10(4.8x) NF=4.8則 S 四邊形 DEFN=x 10 （ 4.8-x ） =- 25 x2 +10x4.812=-25 （ x2- 120 x）1225=-25 （ x-60 ）2-3600 1225625=-25 （ x-2.4） 2+12x - 25 （ x-2.4 ） 2 0x - 25 （ x-2.4 ） 2+12 12 且當(dāng) x=2.4 時(shí)，取等號(hào)x當(dāng) x=2.4 時(shí)， SDEFN最大（ 3）

9、當(dāng) SDEFN最大時(shí)， x=2.4 ，此時(shí)， F 為 BC中點(diǎn)，在 Rt FEB中， EF=2.4， BF=3 BE=DE2EF 2322.42 =1.8 BM=1.85， BMEB，即大樹(shù)必位于欲修建的水池邊上，應(yīng)重新設(shè)計(jì)方案當(dāng) x=2.4 時(shí)， DE=5 AD=3.2，由圓的對(duì)稱性知滿足條件的另一設(shè)計(jì)方案，如圖所示:CGFADEB.c此時(shí)， ?AC=6， BC=8， AD=1.8， BE=3.2，這樣設(shè)計(jì)既滿足條件，又避開(kāi)大樹(shù)五、歸納小結(jié)（學(xué)生小結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）本節(jié)課應(yīng)掌握：1正多邊和圓的有關(guān)概念：正多邊形的中心，正多邊形的半徑，?正多邊形的中心角，正多邊的邊心距2正

10、多邊形的半徑、正多邊形的中心角、邊長(zhǎng)、?正多邊的邊心距之間的等量關(guān)系3 畫(huà)正多邊形的方法4 運(yùn)用以上的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題六、布置作業(yè)1教材 P117復(fù)習(xí)鞏固1綜合運(yùn)用5、 7 P118 82 選用課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)1一、選擇題如圖 1 所示，正六邊形A 60B 45ABCDEF內(nèi)接于 O，則C 30D22 5ADB的度數(shù)是（）(1)(2)(3)2圓內(nèi)接正五邊形 ABCDE中，對(duì)角線 AC和 BD相交于點(diǎn) P，則 APB的度數(shù)是（）A36 B 60 C 72D 1083若半徑為 5cm的一段弧長(zhǎng)等于半徑為2cm的圓的周長(zhǎng)， ?則這段弧所對(duì)的圓心角為 （）A18B 36C 72D 144二、填

11、空題1已知正六邊形邊長(zhǎng)為 a，則它的內(nèi)切圓面積為 _2在 ABC中， ACB=90， B=15，以 C 為圓心， CA長(zhǎng)為半徑的圓交AB于 D，如圖 2 所示，若 AC=6，則 AD的長(zhǎng)為 _3 四邊形 ABCD為 O的內(nèi)接梯形，如圖 3 所示， AB CD，且 CD為直徑， ?如果 O的半徑等于 r ，C=60，那圖中 OAB的邊長(zhǎng) AB是 _；ODA的周長(zhǎng)是 _； BOC的度數(shù)是 _三、綜合提高題1等邊 ABC的邊長(zhǎng)為a，求其內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形DEFG的面積2如圖所示，?已知 O?的周長(zhǎng)等于6cm，?求以它的半徑為邊長(zhǎng)的正六邊形ABCDEF的面積3 如圖所示，正五邊形 ABCDE的對(duì)角線 AC、 BE 相交于 M（ 1）求證：四邊形CDEM是菱形；2（ 2）設(shè) MF=BE BM，若 AB=4，求 BE的長(zhǎng)答案 :一、1C 2C 3D二、 13423r 3r 60a 2三、 1設(shè) BC與 O切于 M，連結(jié) OM、 OB，則 OM BC于 M， OM= 3 a，6連 OE，作 OEEF 于 N，則 OE=OM= 3 a， EOM=45， OE= 3 a，66 EN=6 a， EF=2EN= 6 a， S 正方形 = 1 a2 1