（推薦）第九章-方向?qū)?shù)與梯度

1、1,方向?qū)?shù)與梯度,實(shí)例：一塊長(zhǎng)方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問(wèn)這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？,問(wèn)題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行,2,一、方向?qū)?shù)的定義,討論函數(shù) 在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問(wèn)題,3,當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，,是否存在？,4,記為,方向?qū)?shù)的幾何意義,5,過(guò)直線,作平行于 z 軸的平面,與曲面 z = f ( x , y ) 所交的曲線記為 C,表示C 的割線向量,即,割線轉(zhuǎn)化為切

2、線,6,上式極限存在就意味著當(dāng)點(diǎn),趨于點(diǎn),曲線C在點(diǎn) P0 有唯一的切線,它關(guān)于 方向的斜率,就是方向?qū)?shù),7,證明,由于函數(shù)可微，則增量可表示為,兩邊同除以,得到,8,故有方向?qū)?shù),9,解,10,解,由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知,故,11,推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義,12,解,令,故,方向余弦為,13,故,14,二、梯度的概念,問(wèn)題：,15,16,在幾何上 表示一個(gè)曲面,曲面被平面 所截得,所得曲線在xoy面上投影如圖,梯度為等高線上的法向量,等高線,17,等高線的畫法,18,例如,19,梯度與等高線的關(guān)系：,20,此時(shí) f ( x , y ) 沿該法線方向的方向?qū)?shù)為,故應(yīng)從數(shù)值較低的等高線

3、指向數(shù)值較高的等高線，梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)，這個(gè)法線方向就是方向?qū)?shù)取得最大值的方向。,21,梯度的概念可以推廣到三元函數(shù),類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.,22,23,解,由梯度計(jì)算公式得,故,24,解一,用方向?qū)?shù)計(jì)算公式,即要求出從 x 軸正向沿逆時(shí)針 轉(zhuǎn)到內(nèi)法線方向的轉(zhuǎn)角,在,兩邊對(duì)x 求導(dǎo),25,解得,（切線斜率）,故法線斜率為,內(nèi)法線方向的方向余弦為,26,解二,用梯度,梯度是這樣一個(gè)向量，其方向與取得最大方向 導(dǎo)數(shù)的方向一致，它的模等于方向?qū)?shù)的最大值, 即梯度是函數(shù)在這點(diǎn)增長(zhǎng)最快的方向,從等高線的角度來(lái)看，f ( x , y ) 在點(diǎn) P 的梯度,27,方向與過(guò)點(diǎn)P 的等高線 f ( x , y ) = C 在這點(diǎn) 的法線的一個(gè)方向相同，且從數(shù)值較低的等高線 指向數(shù)值較高的等高線,等高線為f ( x , y ) = C,即,橢圓,大于橢圓,28,故,29,三、小結(jié),1、方向?qū)?shù)的概念,（注意方向?qū)?shù)與一般所說(shuō)偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）,2、梯度的概念,（注意