數學建模-零件參數的優(yōu)化設計

1、零件參數的優(yōu)化設計摘 要本文建立了一個非線性多變量優(yōu)化模型。已知粒子分離器的參數y由零件參數決定，參數的容差等級決定了產品的成本?？傎M用就包括y偏離y0造成的損失和零件成本。問題是要尋找零件的標定值和容差等級的最佳搭配，使得批量生產中總費用最小。我們將問題的解決分成了兩個步驟：1.預先給定容差等級組合，在確定容差等級的情況下，尋找最佳標定值。2.采用窮舉法遍歷所有容差等級組合，尋找最佳組合，使得在某個標定值下，總費用最小。在第二步中，由于容差等級組合固定為108種，所以只要在第一步的基礎上，遍歷所有容差等級組合即可。但是，這就要求，在第一步的求解中，需要一個最佳的模型使得求解效率盡可能的要高，

2、只有這樣才能盡量節(jié)省計算時間。經過對模型以及matlab代碼的綜合優(yōu)化，最終程序運行時間僅為3.995秒。最終計算出的各個零件的標定值為：=0.0750,0.3750,0.1250,0.1200,1.2919,15.9904,0.5625,等級為：一臺粒子分離器的總費用為：421.7878元與原結果相比較，總費用由3074.8（元/個）降低到421.7878（元/個），降幅為86.28%，結果是令人滿意的。為了檢驗結果的正確性，我們用計算機產生隨機數的方式對模型的最優(yōu)解進行模擬檢驗，模擬結果與模型求解的結果基本吻合。最后，我們還對模型進行了誤差分析，給出了改進方向，使得模型更容易推廣。關鍵字：

3、零件參數 非線性規(guī)劃 期望 方差一、問題重述一件產品由若干零件組裝而成，標志產品性能的某個參數取決于這些零件的參數。零件參數包括標定值和容差兩部分。進行成批生產時，標定值表示一批零件該參數的平均值，容差則給出了參數偏離其標定值的容許范圍。若將零件參數視為隨機變量，則標定值代表期望值，在生產部門無特殊要求時，容差通常規(guī)定為均方差的倍。 進行零件參數設計，就是要確定其標定值和容差。這時要考慮兩方面因素：一是當各零件組裝成產品時，如果產品參數偏離預先設定的目標值，就會造成質量損失，偏離越大，損失越大；二是零件容差的大小決定了其制造成本，容差設計得越小，成本越高。 試通過如下的具體問題給出一般的零件參

4、數設計方法。 粒子分離器某參數（記作y）由7個零件的參數（記作x1,x2,.,x7）決定，經驗公式為：y的目標值（記作y0）為1.50。當y偏離y0+0.1時，產品為次品，質量損失為1,000元；當y偏離y0+0.3時，產品為廢品，損失為9,000元。零件參數的標定值有一定的容許范圍；容差分為、三個等級，用與標定值的相對值表示，等為+1%，等為+5%，等為+10%。7個零件參數標定值的容許范圍，及不同容差等級零件的成本（元）如下表（符號表示無此等級零件）：標定值容許范圍等等等x10.075,0.12525x20.225,0.3752050x30.075,0.1252050200x40.075,

5、0.12550100500x51.125,1.87550x612,201025100x70.5625,0.93525100現進行成批生產，每批產量1,000個。在原設計中，7個零件參數的標定值為：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等級。請你綜合考慮y偏離y0造成的損失和零件成本，重新設計零件參數（包括標定值和容差），并與原設計比較，總費用降低了多少？二、模型假設1、將各零件參數視為隨機變量，且各自服從正態(tài)分布；2、假設組成離子分離器的各零件互不影響，即各零件參數互相獨立；3、假設小概率事件不可能發(fā)生，即認為各零件參

6、數只可能出現在容許范圍內；4、在大批量生產過程中，整批零件都處于同一等級，。本題可認為1000各零件都為A等、B等或C等；5、生產過程中出質量損失外無其他形式的損失；6、在質量損失計算過程中，認為所有函數都是連續(xù)可導的。三、符號說明：第i類零件參數的標定值（i=1,27）；：第i類零件參數的實際值相對目標值的偏差（i=1,27）；：第i類零件參數的容差（i=1,2,7）；：第i類零件參數的方差（i=1,2,7）；：標定值的上、下限；y：離子分離器某參數的實際值；：離子分離器該參數的目標值；：離子分離器某參數的均值；：離子分離器某參數的實際值y相對平均值的偏差；：離子分離器某參數的方差；:一批產

7、品中正品的概率；:一批產品中次品的概率；:一批產品中廢品的概率；：一批產品的總費用（包括損失和成本費）；：第i類零件對應容差等級為j的成本（j=A,B,C） 單位：元/個。四、問題分析最 優(yōu) 解總費用 損失費 成本費 次品率 廢品率 服從正態(tài)分布 容差等級 服從正 容差態(tài)分布 泰勒公式將 期 望 方 差 其線性化 該問題是一定約束條件下的最優(yōu)化問題，經分析題意，擬建立以總費用為目標函數的非線性規(guī)劃模型。總費用由損失費和成本費兩部分組成，零件成本由簡單的線性代數式決定，而損失費涉及概率分布的非線性函數。要求出損失費，就必須知道一批產品的次品率和廢品率，結合各類零件都服從，可假設y也服從正態(tài)分布，

8、聯(lián)想正態(tài)分布的性質當各變量均服從正態(tài)分布時，其線性組合也服從正態(tài)分布。題中所給經驗公式為一復雜的非線性的公式，無法直接對其分析處理，所以需借助泰勒公式將其展開并作相應處理使其線性化。而對于零件成本，需先確定容差等級才能求得成本費。由容差等級和各類零件的標定值便可知道給類零件的容差。最后，便將問題轉化為、關于總目標函數的最優(yōu)解的問題上。在進行零件參數設計時，如果零件設計不妥，造成產品參數偏離預先設定值，就會造成質量損失，且偏差越大，損失也越大；零件容差的大小決定了其制造成本，容差設計得越?。淳仍礁撸┝慵杀驹礁?。 合理的設計方案應既省費用又能滿足產品的預先設定值，設計方向應該如下： （1）設

9、計的零件參數，要保證由零件組裝成的產品參數符合該產品的預先設定值，即使有偏離也應是在滿足設計最優(yōu)下的容許范圍。 （2）零件參數（包括標定值和容差等級）的設計應使總費用最小為優(yōu)。 此外分析零件的成本及產品的質量損失不難發(fā)現，質量損失對費用的影響遠大于零件成本對費用的影響，因而設計零件參數時，主要考慮提高產品質量來達到減少費用的目的。五、模型建立為了確定原設計中標定值（的期望值）及已給的容差對產品性能參數影響而導致的總損失，即確定偏離目標值所造成的損失和零件成本，先列出總損失的數學模型表達如下： 當然，為了確定總損失，必須知道、（即正品、次品及廢品的概率）。為此，將經驗公式用泰勒公式在處展開并略去

10、二次以上高次項后來研究y的概率分布，設，則將標定值帶入經驗公式即得 所以 由于在加工零件時，在標定值知道的情況下，加工誤差服從正態(tài)分布，即 且相互獨立，由正態(tài)分布性質可知 由誤差傳遞公式得 （1）由于容差為均方差的3倍，容差與標定值的比值為容差等級，則 y的分布密度函數為 y偏離的概率，即次品的概率為 （2）y偏離的概率，即廢品的概率為 （3）由于y偏離越遠，損失越大，所以在固定時，調整y使之等于目標值可降低損失。取即，則 為標準正態(tài)分布函數。綜合考慮y偏離y0造成的損失和零件成本，設計最優(yōu)零件參數的模型建立如下：目標函數 min s.t. 六、模型求解初略分析 對于原給定的設計方案，利用ma

11、tlab編程計算（見附錄），計算結果如下：正品率次品率廢品率成本費損失費總費用0.12600.62390.25012002874.83074.8由于按原設計方案設計的產品正品率過低，損失費過高，顯然設計不夠合理。進一步分析發(fā)現，參數均值=1.7256偏離目標值=1.5太遠，致使損失過大。盡管原設計方案保證了正本最低，但由于零件參數的精度過低，導致正品率也過低。所以我們應綜合考慮成本費和損失費。模型的實現過程：本模型通過matlab進行求解，我們通過理論模型求解和隨機模擬的求解過程如下：在給定容差等級的情況下，利用matlab中求解非線性規(guī)劃的函數fmincon，通過多次迭代求解，最終求得一組最

12、優(yōu)解。最初，我們設定的fmincon函數的目標函數就是總費用，約束條件為各個標定值的容許范圍，以及各零件標定值帶入產品參數表達式應為，即1.5。然而，在迭代過程中我們發(fā)現，求解過程十分慢，在給定容差等級的確定的情況下，計算最優(yōu)標定值需要將近400秒，如果在此基礎上對108種容錯等級進行窮舉查找最優(yōu)組合，將需要大概12小時。顯然這是不合理的。因此，我們在仔細對matlab實現代碼研究發(fā)現，求解過程之所以慢，是因為代碼中存在多次調用求偏導和積分的函數，在fmincon的多次迭代中，耗費大量時間。所以，為了提高求解速度，我們首先利用matlab中diff函數對產品參數中的各個表達式進行求偏導，然后得

13、到多個帶參表達式，利用int函數對y的概率密度函數進行積分，分別得到出現次品和廢品概率的表達式，然后將這些表達式寫進程序里，這樣在求解過程中就不需要在每一次迭代中都要求偏導和積分了，修改后的程序運行時間大大減少。程序流程圖確定一組容差等級初始化最小費用為INF利用fmincon尋找最佳標定值 求出總費用W Y 還有容差 N 算 法 等級未計算 結 束 Y N程序見附錄，求解結果如下：零 件種 類1234567零 件參 數0.07500.37500.12500.12001.291915.99040.5625容 差等 級BBBCCBB正品率次品率廢品率成本費損失費總費用0.85330.14760.

14、0000275146.7878421.7878運行總時間：3.995s離子分離器參數均值=1.5離子分離器參數方差=0.0689模型檢驗對設計方案進行動態(tài)模擬，由于每種零件參數均服從正態(tài)分布，用正態(tài)分布隨機數發(fā)生器在每種零件參數允許范圍內產生1000個隨機數參與真實值的計算隨機模擬N次后結果如下：正品率次品率廢品率成本費損失費總費用0.85700.14300.0000275143418根據最優(yōu)解的=1.5，=0.0689畫出y的概率分布圖，再對x隨機取樣畫出y的概率分布圖（見圖6.1），由圖可知：兩組數據所畫概率分布圖的擬合度相當高，進一步確保了模型的正確性。 圖6.1概率分布圖對比圖 通過以

15、上數據，與原設計方案所得結果相比較，總費用由3074.8（元/個）降低到421.7878（元/個），降幅為86.28%，結果是令人滿意的。七、誤差分析1、在建模過程中，通過泰勒公式將展開并略去二次及以上項使線性化，不可避免地產生了截斷誤差，所以展開后的式子只是原經驗公式的近似關系式。但在一般情況下，線性化和求總和在實用上具有足夠的精度，所以由于函數線性化而略去的高次項可以忽略不計。在函數關系式較復雜的情況下，將其線性化更具有明顯的優(yōu)勢。2、本模型忽略了小概率事件發(fā)生的可能，認為零件的參數只可能出現在允范圍內，即。現實中，小概率事件仍有發(fā)生的可能性，但在大批量生產中，小概率事件的發(fā)生對最終結果沒

16、有影響，所以可以忽略。3、 該模型對于質量損失的計算，將所有函數都看作連續(xù)函數，而這對于每個零件參數而言是不可能的，所以其中也會產生誤差。 八、模型的評價及推廣1.優(yōu)點（1）建模過程中，采用泰勒公式將經驗公式簡化，并假設各零件參數都服從滿足大量數據的正態(tài)分布，使得整個模型的建立及求解得到大大簡化。（2）本模型運用概率統(tǒng)計與優(yōu)化知識對零件參數進行優(yōu)化設計。通過建立一個反映設計要求的數學模型，利用MATLAB軟件，經過編程來實現對設計方案參數的調整，將總費用由3074.8（元/個）降低到421.7878（元/個），降幅達到86.28%，結果還是令人十分滿意的。（3）本模型在程序運算的過程中，做了適

17、當處理，將每次循環(huán)本該由計算機求偏導和積分的提前人為處理，將求偏導和積分后的算式寫入程序中，這樣大大節(jié)約了運算時間，將運行時間由幾個小時縮短為3.0995s。2.缺點（1）本模型在模型的求解過程中，對一些可接受范圍內的誤差直接進行了忽略，因而對于結果的精確性還是會有一定的影響。（2）本模型是建立在一些假設中的，所有實用性受到了限制，在實際生產中，如果可以把更多的一些因素考慮進去應該會更好。在已假定的條件下，本模型的優(yōu)化結果是好的。3推廣此模型有較強的應用價值。工程中往往因為某個零件的選取不當，而影響產品的參數，使可靠性降低，造成了極大的經濟損失。所以需綜合考慮零件成本和質量，以求獲得最大的經濟

18、效益。本模型具有廣泛的適用性，很容易加以推廣。模型中的設計變量可以推廣到個的情形，即設計變量，其中設計空間是一個維空間。本模不僅適用于粒子分離器參數的設計，而且也可用于類似的機構、零部件、工藝設備等的基本參數的設計問題；容差等級同樣可推廣應用。參考文獻 【1】 韓之俊,姚平中,概率與統(tǒng)計,國防工業(yè)出版社,1985 【2】 陳寶林,最優(yōu)化理論與算法,清華大學出版社,1989 【3】 裘宗燕,數學軟件系統(tǒng)的應用及程序設計,北京大學出版社,1994 【4】 許波，Matlab 工程數學應用，清華大學出版社，2001附錄：matlab代碼：function f=result%窮舉108種容錯等級組合求

19、解全局最優(yōu)解 fval=inf;tic%Bmin=2 3 3 3 3 3 2;%XminB(1)=2;B(5)=3;for i=2:3 B(2)=i; for j=1:3 B(3)=j; for t=1:3 B(4)=t; for g=1:3 B(6)=g; for m=1:2 B(7)=m; fv,x=getcost(B); if fvfval Xmin=x; Bmin=B; fval=fv; end; end; end; end; end;end;f=fval,Xmin,Bmin,p=getP(Xmin,Bmin)tocsimulation(Xmin,Bmin);%用隨機法和計算的結果進行

20、模擬比較function f=simulation(MU,B)%用隨機法和計算的結果進行模擬比較 for i=1:10000 y(i)=Yfun(getparaX(MU,B);end;f,xi = ksdensity(y); plot(xi,f); % 畫經驗概率密度曲線 hold on;y0=Yfun(MU);fc=getfcY(MU,B);%x = normrnd(y0,fc,1,10000);f1,xj = ksdensity(x);plot(xj,f1,r);%x0=min(y):0.01:max(y);y=(2*pi)0.5*fc)(-1)*exp(-(x0-y0).2/2/fc2)

21、; plot(x0,y,r); %x=min(y):0.01:max(y);yg=gaussmf(x,fc,y0);plot(x,yg,r);%title(對照圖);gtext(注:藍線為對x隨機取樣求得的y分布);gtext(紅線為根據模型計算出的y分布);xlabel(y);ylabel(y的概率密度);hold off; function f,x=getcost(B)%在給定容差等級的情況下求最優(yōu)的標定值，使得Y的均值為y0的情況下，方差最小 MU=0.1 0.3 0.1 0.1 1.5 16 0.75;%給定初始的標定值 options=optimset(LargeScale,off,

22、Display,off);%,Tolx,1.0000e-032); x,fval=fmincon(getfcY,MU,mycon,options,B); x,B,f=cost(x,B)function c,ceq=mycon(MU,B)%求最優(yōu)標定值時的約束條件%c為不等式約束%ceq為等式約束c(1)=MU(1)-0.125;c(2)=0.075-MU(1);c(3)=MU(2)-0.375;c(4)=0.225-MU(2);c(5)=MU(3)-0.125;c(6)=0.075-MU(3);c(7)=MU(4)-0.125;c(8)=0.075-MU(4);c(9)=MU(5)-1.875

23、;c(10)=1.125-MU(5);c(11)=MU(6)-20;c(12)=12-MU(6);c(13)=MU(7)-0.935;c(14)=0.5625-MU(7); ceq(1)=Yfun(MU)-1.5; function f=cost(MU,B)%當標定值為MU，容差等級為B時，求費用f=25;p=getP(MU,B);%求正品、次品、廢品的概率 if(B(2)=2) f=f+50;else f=f+20;end;switch (B(3) case 1 f=f+200; case 2 f=f+50; case 3 f=f+20;end;switch (B(4) case 1 f=f

24、+500; case 2 f=f+100; case 3 f=f+50;end;f=f+50;switch (B(6) case 1 f=f+100; case 2 f=f+25; case 3 f=f+10;end;if(B(7)=1) f=f+100;else f=f+25;end; f=f+p(2)*1000+p(3)*9000;function f=getfcY(MU,B)%對于所給的標定值和容差求Y的方差 f=0;B=int32(B);for i=1:7 if B(i)=1 sigma(i)=MU(i)*0.01/3; end; if B(i)=2 sigma(i)=MU(i)*0.

25、05/3; end; if B(i)=3 sigma(i)=MU(i)*0.1/3; end;end; x1=MU(1);x2=MU(2);x3=MU(3);x4=MU(4);x5=MU(5);x6=MU(6);x7=MU(7);%求Y對各變量的偏導的評分與對應的方差乘積之和f=(pd1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(1)2;f=f+(pd2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(2)2;f=f+(pd3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(3)2;f=f+(pd4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(4)2;

26、f=f+(pd5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(5)2;f=f+(pd6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(6)2;f=f+(pd7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(7)2;f=abs(f0.5); function f=pd1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y對x1的偏導f=8721/50/x5*(x3/(x2-x1)(17/20)*(1-131/50*(1-9/25/. (x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)+. /1000*x1/x5/(x3/(x2

27、-x1)(3/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2). (14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)*x3/(x2-x1)2; function f=pd2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y對x2的偏導f=-/1000*x1/x5/(x3/(x2-x1). (3/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)(14/25)(. 3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)*x3/(x2-x1). 2+8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1)(17/20)/(1-131/50*(1-9/

28、25/. (x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)*(24759/31250*. (1-9/25/(x4/x2)(14/25)(1/2)/(x4/x2)(2/5)*x4/x22+3799/1250*(1-9/25/. (x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(4/25)*x4/x22)/x6/x7; function f=pd3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y對x3的偏導f=/1000*x1/x5/(x3/(x2-x1)(3/20)*(1-131/50*. (1-9/25/(x4/x2)(14/25)(3/2)*

29、(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)/(x2-x1); function f=pd4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y對x4的偏導f=8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1)(17/20)/(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)(14/25). (3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)*(-24759/31250*(1-9/25/(x4/x2)(14/25). (1/2)/(x4/x2)(2/5)/x2-3799/1250*(1-9/25/(x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(4/25)/x2)/x

30、6/x7; function f=pd5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y對x5的偏導f=-8721/50*x1/x52*(x3/(x2-x1)(17/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2); function f=pd6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y對x6的偏導f=-8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1)(17/20)/(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)(14/25). (3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)

31、*(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x62/x7; function f=pd7(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y對x7的偏導f=-8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1)(17/20)/(1-131/50*(1-9/25/. (x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)*. (1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x72; function f=getP(MU,B)%當標定值為

32、MU，容差等級為B時，求正品、次品、廢品的概率 yb=Yfun(MU);fc=getfcY(MU,B); %syms x0 u a0;yy=subs(2*pi)0.5*a0)(-1)*exp(-(x0-u)2/2/a02),u,yb); %yy=subs(yy,a0,fc);%y0=1.5; f(2)=jf1(yb,fc);f(3)=jf2(yb,fc);%f(1)=0;%f(2)=(cdf(normal,y0+0.3,yb,fc) -cdf(normal,y0+0.1,yb,fc)*2 ;%f(3)=2*cdf(normal,y0-0.3,yb,fc);f(1)=1-f(2)-f(3);f=double(f); function f=jf1(u,a0)%通過積分求出現次品的概率f=-42624/92261*.erf(1/10*2(1/2)*(-9+5*u)/a0)*2(1/2)*pi(1/2).+42624/92261*erf(1/10*2(1/2)*.(-8+5*u)/a0)*2(1/2)*pi(1/2)-42624/922