微專(zhuān)題3立體幾何中的計(jì)算

1、微專(zhuān)題 3立體幾何中的計(jì)算問(wèn)題背景立體幾何是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)基本分支， 也是歷年高考必考內(nèi)容， 立體幾何中的計(jì)算考查形式多樣， 主要考查學(xué)生的空間想象能力、 邏輯推理能力、 運(yùn)算能力以及運(yùn)用有關(guān)知識(shí)和方法分析和解決問(wèn)題的能力， 其中空間想象能力的高考考查要求是： 能夠根據(jù)題設(shè)條件想象并作出正確的平面直觀圖形 能夠根據(jù)平面直觀圖形想象出空間圖形； 能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系，并能夠?qū)臻g圖形進(jìn)行分解和組合高考命題方向：以體積、 表面積、 距離等運(yùn)算為主設(shè)計(jì)試題，解答題中還會(huì)涉及“以算代證” 法的應(yīng)用，或以立體幾何為載體的應(yīng)用題思維模型說(shuō)明：1解決方案及流程根據(jù)題設(shè)條件想象并作出正確

2、的平面直觀圖形， 其本質(zhì)是將符合語(yǔ)言或文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言；掌握棱柱、棱錐各個(gè)部分幾何特征，旋轉(zhuǎn)體則要抓住“旋轉(zhuǎn)”特性，結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征與題設(shè)進(jìn)行分析，尋找圖形間的聯(lián)系建立其中量的關(guān)系2失誤與防范審題不注意區(qū)分題設(shè)中是“表面積”還是“側(cè)面積”亦或是“體積” ，與此類(lèi)似審題要看準(zhǔn)題設(shè)是“棱柱”還是“棱錐” “四棱柱”還是“三棱錐”等，憑解題經(jīng)驗(yàn)主觀臆斷，出現(xiàn)低級(jí)失誤；注意 “分解與組合”的思想方法的運(yùn)用，如研究不規(guī)則幾何體， 可以通過(guò)分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)幾何體解決；將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題， 如幾何體表面上的最短距離問(wèn)題， 通過(guò)幾何體的展開(kāi)圖轉(zhuǎn)化為平面上“兩點(diǎn)之間線段距離最短”解決；學(xué)

3、會(huì)運(yùn)用 “算兩次”的思想方法，如利用等積法求距離，通過(guò)變更頂點(diǎn)和底面轉(zhuǎn)化成利于求幾何體底面積和高問(wèn)題解決一、典型例題題型一空間幾何體的表面積、體積例 1如圖所示， 已知 E，F(xiàn) 分別是棱長(zhǎng)為a 的正方體ABCDA BC D 的棱 A A, CC111111的中點(diǎn)，求四棱錐C1B1EDF 的體積題型二側(cè)面展開(kāi)圖及其應(yīng)用例 2如圖，地上有一圓柱，在圓柱下底面的吃到上底面上C 點(diǎn)處的食物當(dāng)圓柱的高h(yuǎn)12爬行一圈時(shí)最短路程是多少（結(jié)果用表示）？A 點(diǎn)處有一螞蟻，它想沿圓柱表面爬行，厘米，底面半徑r3厘米時(shí)，螞蟻沿側(cè)面變式：同樣的條件下爬行兩圈呢？三圈呢？題型三轉(zhuǎn)化思想在立體幾何計(jì)算中的應(yīng)用例3如圖，在

4、四棱錐PABCD中，PD平 ABCD， PDDCBC1 ，AB2, ABDC ,BCD90（ 1）求證： PC BC ；（ 2）求點(diǎn) A 到平面 PBC 的距離題型四以算代證”在立體幾何證明題中的應(yīng)用例4如圖，在三棱錐PABC中，D, E,F分別為棱PC,AC, AB的中點(diǎn)已知PAAC，PA6, BC8, DF5 （ 1）求證：直線 PA 平面 DEF ；（ 2）平面 BDE 平面 ABC題型五類(lèi)比思維在立體幾何計(jì)算中的應(yīng)用例 5在平面上， 若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為l ：2，則它們的面積比為1：4類(lèi)似地，在空間內(nèi)，若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1： 2，則它們的體積比為_(kāi)題型六以立體幾何為載體的

5、應(yīng)用題例 6請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD 是邊長(zhǎng)為60 cm 的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD 四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E， F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AEFBr cm（ 1）某廣告商要求包裝盒側(cè)面積S cm 2最大，試問(wèn)x 應(yīng)取何值？（ 2）某廣告商要求包裝盒容積V cm3最大，試問(wèn)x 應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值二、自主探究1表面積為 3 的圓錐，它的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為_(kāi)2設(shè)甲、 乙兩個(gè)圓柱的底面積分別是S1, S2 ，

6、體積分別為 V1,V2 ，若他們的側(cè)面積相等，S19，則 V1 的值是 _S24V23（ 1）一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則這個(gè)正方體的外接球的表面積為_(kāi)，這個(gè)正方體的內(nèi)切球的體積為 _（ 2）設(shè) P, A, B,C 是球 O 表面上的四個(gè)點(diǎn)， PA, PB, PC 兩兩垂直 PA PBPC 2，則球 O 的體積為 _（ 3）一個(gè)正四面體的所有棱長(zhǎng)為2，則這個(gè)四面體的外接球的半徑為_(kāi)這個(gè)四面體的內(nèi)切球的半徑為 _4 已 知 三 棱 錐 A BCD 的 底 面 是 等 邊 三 角 形 ， 三 條 側(cè) 棱 長(zhǎng) 都 等 于 l ， 且B A C分別在梭 AC 和 AD 上，求 BMMNNB 的最小值30

7、,M,N5在長(zhǎng)方體 ABCD A BC D中， AB 5, BC4, BB3 ，求沿長(zhǎng)方體的表面自A11111到 C1 的最短路線長(zhǎng)6如圖，在三棱柱 A1 B1C1ABC 中， D , E, F 分別是 AB, AC, AA1 的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐FADE 的體積為 V1 ，三棱柱 A1B1C1ABC 的體積為 V2 ，則 V1 : V2_7要制作一個(gè)由同底圓錐和圓柱組成的儲(chǔ)油罐 （如圖），設(shè)計(jì)要求： 圓錐和圓柱的總高度和圓柱底面半徑相等，都為 r 米市場(chǎng)上，圓柱側(cè)面用料單價(jià)為每平方米 a 元圓錐側(cè)面用料單價(jià)分別是圓柱側(cè)面用料單價(jià)和圓柱底面用料單價(jià)的 4 倍和 2 倍設(shè)圓錐母線和底面所成角為（弧度），總費(fèi)用為y（元）（ 1）寫(xiě)出的取值范圍；（ 2）將 y 表示成的函數(shù)關(guān)系式；（ 3）當(dāng)為何值時(shí)，總費(fèi)用y 最??？8某部門(mén)要設(shè)計(jì)一種如圖所示的燈架，用來(lái)安裝球心為O，半徑為R（米）的球形燈泡該燈架由燈托，燈桿、燈腳三個(gè)部件組成，其中圓弧形燈托EA, EB, EC , ED所在圓的圓心都是O、半徑都是R（米）、圓弧的圓心角都是（弧度）；燈桿EF垂直于地面，桿頂E 到地面的距離為h（米），且 hR ；燈腳 FA1 , FB1, FC1, FD1 是正四棱錐FA1 B1C1D1 的四條側(cè)棱，正方形A1B1C1D1 的外接圓