專(zhuān)題18 坐標(biāo)系與參數(shù)方程-三年(2017-2019)高考真題數(shù)學(xué)(文)分項(xiàng)匯編(解析版)

1、x=，1+t2y=【答案】（1）x+=1(x-1)；l的直角坐標(biāo)方程為2x+3y+11=0；（2）71，且x2+=21+t(1+t2)2=1，所以c的直角坐標(biāo)方程為2專(zhuān)題18坐標(biāo)系與參數(shù)方程1-t21【2019年高考全國(guó)卷文數(shù)】在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）以4t1+t2坐標(biāo)原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2rcosq+3rsinq+11=0（1）求c和l的直角坐標(biāo)方程；（2）求c上的點(diǎn)到l距離的最小值y2241-t2y21-t224t2【解析】（1）因?yàn)?1+1+t2y2x2+=1(x-1)4l的直角坐標(biāo)方程為2x+3y+11=0（2）

2、由（1）可設(shè)c的參數(shù)方程為x=cosa,y=2sina（a為參數(shù)，-a0)在曲線c:r=4sinq上，直線l過(guò)點(diǎn)a(4,0)且與om垂直，垂足為p3（1）當(dāng)q=p0時(shí)，求r0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)m在c上運(yùn)動(dòng)且p在線段om上時(shí)，求p點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程【答案】（1）r=23，l的極坐標(biāo)方程為rcosq-=2；（2）r=4cosq,q,0pp42p3時(shí)，r=4sin=2333【解析】（1）因?yàn)閙(r,q00)在c上，當(dāng)q0=pp0由已知得|op|=|oa|cosp3=2設(shè)q(r,q)為l上除p的任意一點(diǎn)在rtopq中，rcosq-=|op|=2，p3經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)p(2,)在曲線rcosq-p=2

3、上3p3=2所以，l的極坐標(biāo)方程為rcosq-p3因?yàn)閜在線段om上，且apom，故q的取值范圍是,所以，p點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為r=4cosq,q,（2）設(shè)p(r,q)，在rtoap中，|op|=|oa|cosq=4cosq,即r=4cosq42pp42pp【名師點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型3【2019年高考全國(guó)卷文數(shù)】如圖，在極坐標(biāo)系ox中，a(2,0)，b(2,p4)，c(2,3p4)，d(2,p)，弧ab，bc，cd所在圓的圓心分別是(1,0)，(1,)，(1,p)，曲線m1是弧ab，曲線m2是弧bc，p2曲線m3是弧cd（1）分別寫(xiě)出m1

4、，m2，m3的極坐標(biāo)方程；（2）曲線m由m1，m2，m3構(gòu)成，若點(diǎn)p在m上，且|op|=3，求p的極坐標(biāo)m的極坐標(biāo)方程為r=2cosq0q，m2的極坐標(biāo)方程為【答案】（1）14r=2sinqm的極坐標(biāo)方程為r=-2cosq，q444q333（2）3,或3,或3,或3,633625【解析】（1）由題設(shè)可得，弧ab,bc,cd所在圓的極坐標(biāo)方程分別為r=2cosq，r=2sinq，r=-2cosqm的極坐標(biāo)方程為r=2sinq，2，m3所以m1的極坐標(biāo)方程為r=2cosq0q44q34的極坐標(biāo)方程為r=-2cosq3q4（2）設(shè)p(r,q)，由題設(shè)及（1）知，則2cosq=3，解得q=；若0q46

5、32若q，則2sinq=3，解得q=或q=；4433若35q，則-2cosq=3，解得q=46綜上，p的極坐標(biāo)為3,或3,或3,或3,256336【名師點(diǎn)睛】此題考查了極坐標(biāo)中過(guò)極點(diǎn)的圓的方程，思考量不高，運(yùn)算量不大，屬于中檔題,b2,，直線l的方程為42rsinq+=34【2019年高考江蘇卷數(shù)學(xué)】在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)a3,p4（1）求a，b兩點(diǎn)間的距離；（2）求點(diǎn)b到直線l的距離pp【解析】（1）設(shè)極點(diǎn)為在oab中，a（3，p【答案】（1）5；（2）2p），b（2，），42-)=5由余弦定理，得ab=32+(2)2-232cos(（2）因?yàn)橹本€l的方程為rsin(q+p)=3，4pp24

6、則直線l過(guò)點(diǎn)(32,p)，傾斜角為23p4又b(2,p)，所以點(diǎn)b到直線l的距離為(32-2)sin(23pp-)=242【名師點(diǎn)睛】本題主要考查曲線的極坐標(biāo)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力5【2018年高考全國(guó)卷文數(shù)】在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c的方程為y=k|x|+2以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，1x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程為r2+2rcosq-3=02（1）求c的直角坐標(biāo)方程；2（2）若c與c有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求c的方程121【答案】（1）c2的直角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4；（2）c1的方程為y=-43|x|+2【解析】（1）由x=rcosq，y=rsinq得c2的直

7、角坐標(biāo)方程為(x+1)2+y2=4（2）由（1）知c2是圓心為a(-1,0)，半徑為2的圓由題設(shè)知，c1是過(guò)點(diǎn)b(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的兩條射線記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l由于b在圓c的外面，故c與c有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l與c只有一個(gè)公共點(diǎn)且l與c有22121222兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與c2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與c2有兩個(gè)公共點(diǎn)=2，故k=-或k=0當(dāng)l1與c2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，a到l1所在直線的距離為2，所以|-k+2|k2+143經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=0時(shí)，l與c沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k=-時(shí)，l與c只有一個(gè)公共點(diǎn)，l與c有兩個(gè)公共34121222點(diǎn)當(dāng)l2與c2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，a到l2

8、所在直線的距離為2，所以|k+2|k2+1=2，故k=0或k=43經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k=0時(shí)，l1與c2沒(méi)有公共點(diǎn)；當(dāng)k=43時(shí)，l2與c2沒(méi)有公共點(diǎn)綜上，所求c1的方程為y=-43|x|+2直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）y=2+tsinx=2cos，6【2018年高考全國(guó)卷文數(shù)】在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c的參數(shù)方程為（為參數(shù)），y=4sinx=1+tcos，（1）求c和l的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線c截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率+=1，l的直角坐標(biāo)方程為x=1；（2）l的斜率為-2【答案】（1）曲線c的直角坐標(biāo)方程為x2y2416【解析】（1）曲線c的直角坐標(biāo)方程為+=11+

9、3cos2a7【2018年高考全國(guó)卷文數(shù)】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，o的參數(shù)方程為（q為參數(shù)），y=sinq()x2y2416當(dāng)cosa0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為y=tanax+2-tana，當(dāng)cosa=0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為x=1（2）將l的參數(shù)方程代入c的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2a)t2+4(2cosa+sina)t-8=0因?yàn)榍€c截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在c內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為t1，t2，則t1+t2=0又由得t+t=-4(2cosa+sina)，故2cosa+sina=0，于是直線l的斜率k=tana=-212x=cosq，過(guò)點(diǎn)0，-2且傾斜角為a的

10、直線l與o交于a，b兩點(diǎn)（1）求a的取值范圍；（2）求ab中點(diǎn)p的軌跡的參數(shù)方程【答案】（1）a的取值范圍是(,)；（2）點(diǎn)p的軌跡的參數(shù)方程是2x=sin2a,p3p244y=-2-2cos2a22(a為參數(shù)，p3pa44)【解析】（1）o的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=1當(dāng)a=p2時(shí)，l與o交于兩點(diǎn)時(shí)，記tana=k，則l的方程為y=kx-2l與o交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)|1+k2當(dāng)ap22|1，解得k1，即a(,)或a(,綜上，a的取值范圍是(,)ppp3p4224p3p44)(t為參數(shù)，a)x=tcosa,（2）l的參數(shù)方程為y=-2+tsinap3p44設(shè)a，b，p對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為ta，tb，t

11、p，則t=t+t2pab，且ta，tb滿(mǎn)足t2-22tsina+1=0于是t+t=22sina，t=2sina又點(diǎn)p的坐標(biāo)(x,y)滿(mǎn)足y=-2+tsina.x=tcosa,pabpp(a為參數(shù)，a)2x=sin2a,2所以點(diǎn)p的軌跡的參數(shù)方程是y=-2-2cos2a22p3p448【2018年高考江蘇卷數(shù)學(xué)】在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為rsin(4cosq，求直線l被曲線c截得的弦長(zhǎng)【答案】直線l被曲線c截得的弦長(zhǎng)為23【解析】因?yàn)榍€c的極坐標(biāo)方程為r=4cosq，所以曲線c的圓心為（2，0），直徑為4的圓因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為rsin(-q)=2，6則直線l過(guò)a（4，0），傾斜角為，6

12、6-q)=2，曲線c的方程為r=所以a為直線l與圓c的一個(gè)交點(diǎn)設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為b，則oab=6連結(jié)ob，因?yàn)閛a為直徑，從而oba=2，所以ab=4cos=236因此，直線l被曲線c截得的弦長(zhǎng)為239【2017年高考全國(guó)卷文數(shù)】在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c的參數(shù)方程為（為參數(shù)），y=sinq,直線l的參數(shù)方程為x=a+4t,y=1-t,x=3cosq,（t為參數(shù)）（1）若a=-1，求c與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若c上的點(diǎn)到l距離的最大值為17，求a【答案】（1）(3,0)，(-21,24)；（2）a=8或a=-162525【解析】（1）曲線c的普通方程為x29+y2=1當(dāng)a=-1時(shí)，直線l的普通方程

13、為x+4y-3=0+y2=1x=3,y=24.y=0x+4y-3=0,由x29解得或2521x=-,25從而c與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)，(-21,24)2525（2）直線l的普通方程為x+4y-a-4=0，故c上的點(diǎn)(3cosq,sinq)到l的距離為d=|3cosq+4sinq-a-4|17當(dāng)a-4時(shí)，d的最大值為a+917由題設(shè)得a+9=17，所以a=8；17當(dāng)a0)，m的極坐標(biāo)為(r,q)(r0)，11由題設(shè)知op=r,om=r1=4cosqs=1由omop=16得c的極坐標(biāo)方程r=4cosq(r0)2因此c的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4(x0)2（2）設(shè)點(diǎn)b的極坐標(biāo)為(r,a

14、)(r0)，bb由題設(shè)知oa=2,r=4cosa，于是oab的面積bpp3oarsinaob=4cosa|sin(a-)|=2|sin(2a-)-|2+3.b233211【2017年高考全國(guó)卷文數(shù)】在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直y=kt,線l2的參數(shù)方程為（m為參數(shù)）設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為p，當(dāng)k變化時(shí)，p的軌跡為曲線c【解析（1）消去參數(shù)t得l的普通方程l:y=k(x-2)；消去參數(shù)m得l2的普通方程l:y=1(x+2)k設(shè)p(x,y)，由題設(shè)得，消去k得x2-y2=4(y0)當(dāng)a=-p時(shí)，s取得最大值2+3，所以oab面積的最大值為2+312【名師點(diǎn)睛】本題考查了

15、極坐標(biāo)方程的求法及應(yīng)用。重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力遇到求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問(wèn)題時(shí)，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解，或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解解題時(shí)要結(jié)合題目自身特點(diǎn)，確定選擇何種方程x=2+t,x=-2+m,my=,k（1）寫(xiě)出c的普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3:r(cosq+sinq)-2=0，m為l3與c的交點(diǎn)，求m的極徑【答案】（1）x2-y2=4(y0)；（2）5112y=k(x-2)y=1(x+2)k所以c的普通方程為x2-y2=4(y0)（2）c的極坐標(biāo)方程為r2(cos2q-sin2q)=4(0q2,q)

16、r(cosq+sinq)-2=0r2(cos2q-sin2q)=4,聯(lián)立得cosq-sinq=2(cosq+sinq)（t為參數(shù)），122017年高考江蘇卷數(shù)學(xué)】在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知直線l的參考方程為【2191故tanq=-，從而cos2q=,sin2q=31010代入r2(cos2q-sin2q)=4得r2=5，所以交點(diǎn)m的極徑為5【名師點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程的求法及應(yīng)用，重點(diǎn)考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力遇到求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問(wèn)題時(shí)，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標(biāo)方程后求解，或者直接利用極坐標(biāo)的幾何意義求解要結(jié)合題目本身特點(diǎn)，確定選擇何種方程x=-8+tty=x=2s2曲線c的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）設(shè)p為曲線c上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)p到直線l的距離