中考培優(yōu)競賽專題經(jīng)典講義 第28講 存在性問題之平行四邊形

1、例題1.如圖,一次函數(shù)y=-x+2分別交y軸、x軸于a、b兩點,拋物線y=x2+bx+c過a、b兩地，第28講存在性問題之平行四邊形此類問題一般從平行四邊形的性質(zhì)著手對邊平行且相等構(gòu)造全等；對角線互相平分利用中點公式.【例題講解】12(1)求這個拋物線的解析式；(2)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線ab于m，交這個拋物線于n，求當(dāng)t取何值時，mn有最大值？最大值是多少？(3)在(2)的情況下,以a、m、n、d為頂點作平行四邊形,求第四個頂點d的坐標(biāo).yna解:(1)y=-x+2分別交y軸、x軸于a、b兩點,mbox12a、b點的坐標(biāo)為:a(0,2),b(4,0),將x=0,y=2代y=

2、x2+bx+c得c=2.將x=4,y=0代y=x2+bx+c得0=16+4b+2,解得b72.拋物線解析式為:y=x2+72x+2(2)如答圖1,設(shè)mn交x軸于點e,則e(t,0),be=4t,tanabo=oa21=,ob42=2tme=betanabo=(4t)1122又n點在拋物線上,且xn=t,yn=t2+72t+2mn=ynme=t2+7t+2(2t)=t2+4t122當(dāng)t=2時,mn有最大值4.(3)由(2)可知,a(0,2),m(2,1),n(2,5)以a、m、n、d為頂點作平行四邊形,d點的可能位置有三種情形,如答圖2所示：(i)當(dāng)d在y軸上時,設(shè)d的坐標(biāo)為(0,a)由ad=m

3、n,得|a1|=4,解得a1=6,a2=2,從而d為(0,6)或d(0,2),易得d1n的方程為y=-x+6,d2m的方程為y=x2(ii)當(dāng)d不在y軸上時,由圖可知d3為d1n與d2m的交點,1322由兩方程聯(lián)立解得d為(4,4)故所求的d點坐標(biāo)為(0,6),(0,2)或(4,4).【單動點】例題2.在直角坐標(biāo)系中，已知a(2,4),b(2,2),c(1,1),當(dāng)a、b、c、d四點組成的四邊形為平行四邊形時,求點d的坐標(biāo).yaboxc【分析】我們知道,平行四邊形的對角線互相平分,所以我們可以利用這個性質(zhì)幾何中點公式來解決這類問題.中點公式:若a(x1,y1),b(x2,y2),則ab的中點坐

4、標(biāo)為(x+xy+y12,12).22標(biāo)可計算出m點的坐標(biāo)為(-,),再根據(jù)bd的中點也為m(-,)，即可算出d1(3,1)，同理可計算出【解析】如下圖,當(dāng)bd與ac為對角線時,bd與ac互相平分,所以ab的中點即為bd的中點,根據(jù)a、c坐13132222d2(1,7),d3(5,3).d3yyaambd1d1mbocxocxd2【總結(jié)】我們可以把過程再簡單化一點,我們發(fā)現(xiàn),在算d1時,利用中點公式均需要除2,所以為了方便快捷,直接省略這一步,所以就是a點、c點的橫坐標(biāo)相加=b點、d1點的橫坐標(biāo)相加(即xa+xc=xb+xd1),記住這個方法，連圖都不用畫了！例題3.在直角坐標(biāo)系中,已知有一條直

5、線y=-x+3,a(0,1),b(1,0),在直線上y=-x+3找一點c,x軸上有一點【雙動點】3344d,當(dāng)以a、b、c、d為頂點的四邊形為平行四邊形時,求點d的坐標(biāo).【分析】本題中有兩個不確定的點,點c和點d,根據(jù)上一例題,我們只需將雙動點轉(zhuǎn)化為單動點,這個問題就可以解決了.yaobx2），d2(m1,-m+4),d3(m+l,-m+2),因為點d在x軸上，所以縱坐標(biāo)為0，即可算出m.【解析】設(shè)c(m,m+3),根據(jù)上一例題講述的中點法,即可把三個點d都用m表示出來,分別為d1(1m,334434m【鞏固訓(xùn)練】1.如圖,abc的三個頂點坐標(biāo)為a(2,3)、b(6,0)、c(1,0).(1)

6、abc繞坐標(biāo)原點o逆時針旋轉(zhuǎn)90，直接寫出點a的對應(yīng)點a的坐標(biāo)；(2)請直接寫出:以a、b、c為頂點的平行四邊形的第四個頂點d的坐標(biāo).yabcox2.如圖,已知拋物線y=x24x+3與x軸交于a、b,頂點為c.(1)對于任意實數(shù)m,點m(m,2)是否在該拋物線上？請說明理由；(2)求證abc是等腰直角三角形；(3)已知點d在x軸上,那么拋物線上是否存在點p,使得以b、c、d、p為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,求出點p的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.yoabx3.如圖,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于a、b兩點,且a點坐標(biāo)為(3,0),經(jīng)過b點的直線交拋物線于點d(2,3).(1)求

7、拋物線的函數(shù)關(guān)系式和直線bd的函數(shù)關(guān)系式；(2)過x軸上的點e(a,0)(e點在b點的右側(cè))作直線efbd,交拋物線于點f,是否存在實數(shù)a使四邊形bdef是平行四邊形？如果存在,求出滿足條件的a;如果不存在,請說明理由。yoabxdb4.如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于a、兩點,且b點的坐標(biāo)為(3,0),經(jīng)過a點的直線交拋物線于點d(2,3).(1)求拋物線的解析式和直線ad的解析式；(2)過x軸上的點e(a,0)作直線efad,交拋物線于點f,是否存在實數(shù)a,使得以a、d、e、f為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在,求出滿足條件的a如果不存在,請說明理由.ydabox參考答案1.解:

8、d(5,3)或(7,3)或(3,3).2.解:(1)假設(shè)存在,則將m點的坐標(biāo)代入拋物線得:2=m24m+3,化簡得方程:m24m+5=0,因為4)245=40,所以該方程無解,故對于任意實數(shù)m,點m(m,2)不在拋物線上.(2)如圖所示,過點c作chx軸,交x軸與點h,連接ca、cb.拋物線的表達式為y=(x2)21,所以拋物線與x軸的交點的坐標(biāo)為a(1,0)和b(3,0),拋物線的頂點坐標(biāo)為c(2,1),以h點的坐標(biāo)為(2,0).=1,tanhbc=1,因為tanhac=hchcahbh4-2b+c=-3所以bac=abc=45,ac=bc,那么acb=180cabcba=90,故acb為等

9、腰直角三角形.(3)存在.若bd為平行四邊形的邊,則bdcp,因為c為拋物線上的頂點,所以拋物線上不存在點p使得cpx軸,即bd不能作為該平行四邊形的邊。若bd為平行四邊形的對角線,因為平行四邊形對角線互相平分,所以cp被x軸平分,因為c(2,1),所以p的縱坐標(biāo)為1,代入拋物線解析式得:1=x24x+3,解得:x1=2+2或x2=22.故p點的坐標(biāo)為:(2+2,1)或(22,1)9-3b+c=03.解:(1)將點a和點o的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達式得:,得:b=2,將b=2代入得:c=3,故拋物線解析式為y=x2+2x3,故當(dāng)y=0時,即(x+3)(x1)=0,根據(jù)題意知,xb=1,即點b的坐標(biāo)

10、為(1,0).k+m=0設(shè)直線bd的解析式為y=kx+m,將點b和點d的坐標(biāo)代入得:-2k+m=-3得:3k=3,解得:k=1,將k=1代入得:m=1,故直線bd的解析式為y=x1.(2)因為efbd,所以直線ef的解析式為y=xa,因為四邊形bdfe為平行四邊形,所以dfx,故點f的縱坐標(biāo)為3。當(dāng)y=3時,x=a3,故點f的坐標(biāo)為(a3,3)。因為點f在拋物線上,所以(a3)2+2(a3)3=3,整理得:a24a+3=0,即(a1)(a3)=0,解得:a1=1。此時點e與點b重合,舍去a2=3,此時點e的坐標(biāo)為(3.0),符合題意,故存在a=3使四邊形bdfe為平行四邊形.-9+3b+c=04.解:(1)把點b和d的坐標(biāo)代入y=x2+bx+c,得解得b=2,c=3.-4+2b+c=3拋物線的解析式為y=x2+2x+3,當(dāng)y=0時x2+2x+3=0.解得x=3或x=