VAR模型、協(xié)整和VEC模型介紹學(xué)習(xí)資料

1、var模型、協(xié)整和vec模型1. var（向量自回歸）模型定義2. var模型的特點3. var模型穩(wěn)定的條件4. var模型的分解5. var模型滯后期的選擇6. 脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解7. 格蘭杰（granger）非因果性檢驗8. var模型與協(xié)整 9. var模型中協(xié)整向量的估計與檢驗10. 案例分析1980年sims提出向量自回歸模型（vector autoregressive model）。這種模型采用多方程聯(lián)立的形式，它不以經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)。在模型的每一個方程中，內(nèi)生變量對模型的全部內(nèi)生變量的滯后項進(jìn)行回歸，從而估計全部內(nèi)生變量的動態(tài)關(guān)系。1. var（向量自回歸）模型定義以兩個變量

2、y1t，y2t滯后1期的var模型為例， y1, t = c1 + p11.1 y1, t-1 + p12.1 y2, t-1 + u1t y2, t = c2 + p21.1 y1, t-1 + p22.1 y2, t-1 + u2t 其中u1 t, u2 t iid (0, s 2), cov(u1 t, u2 t) = 0。寫成矩陣形式是， =+ 設(shè)yt =, c =, p1 =, ut =,則， yt = c + p1 yt-1 + ut (1.3)含有n個變量滯后k期的var模型表示如下：yt = c + p1 yt-1 + p2 yt-2 + + pk yt-k + ut, ut

3、iid (0, w)其中，yt = (y1, t y2, t yn, t)， c = (c1 c2 cn) pj =, j = 1, 2, , k ut = (u1 t u2,t un t),不同方程對應(yīng)的隨機(jī)誤差項之間可能存在相關(guān)。因var模型中每個方程的右側(cè)只含有內(nèi)生變量的滯后項，他們與ut是漸近不相關(guān)的，所以可以用ols法依次估計每一個方程，得到的參數(shù)估計量都具有一致性。2. var模型的特點（1）不以嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)。（2）var模型的解釋變量中不包括任何當(dāng)期變量。（3）var模型對參數(shù)不施加零約束。（4）var模型有相當(dāng)多的參數(shù)需要估計。（5）var模型預(yù)測方便、準(zhǔn)確（附圖）。（

4、6）可做格蘭杰檢驗、脈沖響應(yīng)分析、方差分析。（7）西姆斯（sims）認(rèn)為var模型中的全部變量都是內(nèi)生變量。近年來也有學(xué)者認(rèn)為具有單向因果關(guān)系的變量，也可以作為外生變量加入var模型。 附： 圖1 油價與靜態(tài)擬合值 圖2 油價與靜態(tài)擬合值3. var模型平穩(wěn)（穩(wěn)定）的條件對于var(1)，yt = c + p1 yt-1 + ut模型穩(wěn)定的條件是特征方程 |p1-l i |=0的根都在單位圓以內(nèi)，或相反的特征方程|ilp1|= 0的根都要在單位圓以外。對于k1的var(k)模型可以通過矩陣變換改寫成分塊矩陣的var(1)模型形式y(tǒng)t = c + a yt -1 + ut模型穩(wěn)定的條件是特征方程

5、 |a-li| =0的根都在單位圓以內(nèi)，或其相反的特征方程 |i-la|=0的全部根都在單位圓以外。 與單變量時間序列的情況類似，我們可以來考察var（p）的單位根的存在性。為了說明這個問題，首先讓我們來看一個二元時間序列的var（1）模型。 即有當(dāng)?shù)母趩挝粓A上，則該序列是非平穩(wěn)的。所以作為一個多變量的時間序列，其平穩(wěn)的充分必要條件是根在單位圓之外。附：矩陣變換。給出k階var模型，yt = c + p1 yt-1 + p2 yt-2 + + pk yt-k + ut 再配上如下等式， yt -1 = yt -1 yt -2 = yt -2 yt-k+1 = yt-k+1把以上k個等式寫成分

6、塊矩陣形式，=+ 其中每一個元素都表示一個向量或矩陣。上式可寫為yt = c + a yt -1 + ut 附：var模型的特征根4. var模型的分解以var(1)模型 yt = c + p1 yt-1 + ut 為例，用遞推的方法最終可把yt分解為三部分：yt = (i + p1 + p12 + + p1t-1) c + p1t y0 + ut-i = (i-p1)-1c + p1t y0 + ut-i5. var模型滯后期的選擇從原則上講，我們應(yīng)該從var模型的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的特征來考慮模型的識別問題，但是從實用的角度講，要在多元情況下把a(bǔ)cf和pacf很直觀的講清楚，是一件不

7、容易的事情，所以，在實際應(yīng)用中，采用逐步升階的方法，找出最恰當(dāng)?shù)哪Ｐ碗A數(shù)。假定我們已經(jīng)估計了幾個var(p)模型，階數(shù)從1到k?，F(xiàn)在我們可以來研究這些模型的殘差的估計值。我們知道對一個ar模型來說，無謂的升階，達(dá)到了非常小的殘差，是以犧牲自由度為代價的。使二者達(dá)到一個最佳的平衡點的一個有用的標(biāo)準(zhǔn)就是akaike和schwarz信息準(zhǔn)則函數(shù)，當(dāng)然還有其它準(zhǔn)則，我們一并列在下面。1 用f統(tǒng)計量選擇k值。f統(tǒng)計量定義為， f( m , t k )2 用lr統(tǒng)計量選擇k值。lr（似然比）統(tǒng)計量定義為， lr = - 2 (log l(k) - log l(k+1) ) 3 用赤池（akaike）信息準(zhǔn)

8、則 (aic) 選擇k值。aic = -2+ 4用施瓦茨（schwartz）準(zhǔn)則 (sc) 選擇k值。sc =-2+5用hannan-quinn信息準(zhǔn)則選擇k值。附：選擇k值評價結(jié)果是建立var(2)模型。例在eviews中var的估計的相關(guān)操作1、 選擇quick/estimate var2、在lag intervals對話框中鍵入方程右邊滯后期數(shù)1 21 2表示在方程的右邊所有的變量均滯后兩期。 鍵入1 2 4 5 9 9的意思是所有方程右邊的變量滯后期數(shù)為：1 2 4 5 9。3、鍵入內(nèi)生或外生變量名在適當(dāng)?shù)木庉嬁騟ndogenous：內(nèi)生變量框exogenous：外生變量框4、選擇模型

9、類型（var specification）unrestricted var （無約束向量自回歸）vector error correction（向量誤差校正）5、在include intercept選擇是否包含常數(shù)項6. var模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解(1)脈沖響應(yīng)函數(shù):對于任何一個var模型都可以表示成為一個無限階的向量ma()過程。yt+s = ut+s + y1ut+s -1 + y2 ut+s -2 + + ys ut + y s = y s中第i行第j列元素表示的是，令其它誤差項在任何時期都不變的條件下，當(dāng)?shù)趈個變量yj t對應(yīng)的誤差項uj t在t期受到一個單位的沖擊后，對第i個

10、內(nèi)生變量yit在t + s期造成的影響。 把y s中第i行第j列元素看作是滯后期s的函數(shù), s = 1, 2, 3, 稱作脈沖響應(yīng)函數(shù)（impulse-response function），脈沖響應(yīng)函數(shù)描述了其它變量在t期以及以前各期保持不變的前提下，yi, t+s對 uj, t時一次沖擊的響應(yīng)過程。(2)方差分解mse() = e(yt+s -) (yt+s -)= w + y1wy1 + y2wy2 + +y s-1wy s-1 （5）其中w = e(ut ut )。 下面考察每一個正交化誤差項對mse()的貢獻(xiàn)。把ut變換為正交化誤差項vt。ut = m vt = m1v1t + m2v

11、2t + mn vn tw = e(ut ut ) = (m1v1t + m2v2t + mn vn t) ( m1v1t + m2v2t + mn vn t) = m1 m1var(v1t)+ m2 m2var(v2t) + mn mnvar(vnt) 把用上式表達(dá)的w代入(5) 式，并合并同期項，mse() =則表示正交化的第j個新息對前s期預(yù)測量方差的貢獻(xiàn)百分比。附：脈沖響應(yīng)函數(shù) 圖1 油價對3個誤差項的響應(yīng) 圖2 油產(chǎn)量對3個誤差項的響應(yīng) 圖3 油儲量對3個誤差項的響應(yīng)附：方差分解圖4 油價的方差分解 圖5 油產(chǎn)量的方差分解 圖6 油儲量的方差分解7. 格蘭杰（granger）非因果性

12、檢驗格蘭杰非因果性：如果由yt和xt滯后值所決定的yt的條件分布與僅由yt滯后值所決定的條件分布相同，即 ( yt | yt -1, , xt -1, ) = ( yt | yt -1, )則稱xt -1對yt存在格蘭杰非因果性。 格蘭杰非因果性的另一種表述是其它條件不變，若加上xt的滯后變量后對yt的預(yù)測精度不存在顯著性改善，則稱xt -1對yt存在格蘭杰非因果性關(guān)系。為簡便，通?？偸前褁t-1 對yt存在非因果關(guān)系表述為xt（去掉下標(biāo)-1）對yt存在非因果關(guān)系（嚴(yán)格講，這種表述是不正確的）。檢驗式（var模型方程之一）是 h0: b1 = b2 = = bk = 0。檢驗可用f統(tǒng)計量完成。

13、 f( k, t - k n )注意：滯后期k的選取是任意的。（1）以xt和yt為例，如果xt-1對yt存在顯著性影響，則不必再做滯后期更長的檢驗。（2）如果xt-1對yt不存在顯著性影響，則應(yīng)該再做滯后期更長的檢驗。且結(jié)論相同時，才可以最終下結(jié)論。附：格蘭杰非因果性檢驗結(jié)果8. var模型與協(xié)整一個簡單的例子為了說明多維變量的協(xié)整關(guān)系，我們以一個一階自回歸過程為例討論有關(guān)的問題。模型的等價形式為：其中。當(dāng)，則，即。容易得到所有分量均為i（1），且沒有協(xié)整關(guān)系；當(dāng)rank（）=n，對方程，因為其左邊是平穩(wěn)的序列，右邊也應(yīng)該是平穩(wěn)序列，是滿秩矩陣，故可見本生就是平穩(wěn)序列。當(dāng)，根據(jù)線性代數(shù)的結(jié)論，

14、有階列滿秩矩陣和，使有包含個協(xié)整關(guān)系。該模型成為誤差校正模型，我們看到模型在用進(jìn)行校正?？偨Y(jié)起來有三種情形：l 系數(shù)矩陣的秩為時，的分量間存在有個協(xié)整組合，有個組合仍為i(1);l 系數(shù)矩陣的秩為n時，為i(0)向量;l 系數(shù)矩陣的秩為0時，為i(1)向量，且不存在任何協(xié)整關(guān)系。至此，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，討論多重協(xié)整關(guān)系的問題，歸于討論的秩。（張曉峒版）如果var模型 yt = p1 yt-1 + p2 yt-1 + + pk yt-k + ut, ut iid (0, w) 的內(nèi)生變量都含有單位根，那么可以用這些變量的一階差分序列建立一個平穩(wěn)的var模型。dyt = p1* dyt-1 + p2*

15、 dyt-2 + + pk* dyt-k + ut* （新）然而，當(dāng)這些變量存在協(xié)整關(guān)系時，采用差分的方法構(gòu)造var模型雖然是平穩(wěn)的，但不是最好的選擇。向量誤差修正模型（vec）的表達(dá)式是dyt = (p1 +p2 +pk - i ) yt -1- (p2 +p3 +pk) dyt-1- (p3 +pk) dyt-2 - pk dyt - (k-1) +ut令 gj = -, j = 1, 2, , k-1，p = - g0 - i =- i = p1 + p2 + + pk i 則上式寫為dyt = p yt-1 + g1dyt-1 + g2dyt-2 + + gk-1dyt-(k-1) +

16、 ut根據(jù)granger定理，向量誤差修正模型（vec）的表達(dá)式是 a(l) dyt = a b yt-1 + d (l) ut 其中a(l) 是多項式矩陣a(l)分離出因子(1- l)后降低一階的多項式矩陣，d (l)是由滯后算子表示的多項式矩陣。 yt-k有如下三種可能。1當(dāng)yt 的分量不存在協(xié)整關(guān)系，p的特征根為零，p = 0。2若rank (p) = n（滿秩），保證 p yt-k平穩(wěn)的唯一一種可能是yt i(0)。3當(dāng)yt i(1)，若保證 p yt-k平穩(wěn)，只有一種可能，即yt 的分量存在協(xié)整關(guān)系。例1： p yt-1 = a b yt-1 = = 例2：設(shè)三個變量的var(1)的

17、誤差修正模型如下（含兩個協(xié)整關(guān)系）， = + 代數(shù)形式是 d y1, t = - (1/2) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 + (1/4) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u1 t d y2, t = (1/8) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 (5/8) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u2 t d y3, t = (1/4) y1, t-1 - (1/8) y2 t-1 + (3/8) y2, t-1 - (1/4) y3 t-1 + u3 t9. var模型中協(xié)整向量的估計與檢驗(張曉峒版)檢驗協(xié)整關(guān)系的零假設(shè)是 h0:

18、rk(p) r 或 p = a b 統(tǒng)計量是 lr = - 2 (logl()r - logl()u) = - t (1- li ) , r = 0, 1, , n - 1 lr統(tǒng)計量在零假設(shè) 0 r 34.91r = rk(p ) 120.5073.30 19.96r = rk(p ) 210.044.082 34.91（臨界值）接著檢驗r = 1。 lr = - 100= -100 log(0.5)+ log(0.96)= -100 (-0.693-0.04) = 73.30 19.96（臨界值）接著檢驗r = 2。 lr = - 100 ln (1- l3 ) = -100 log(0.

19、96)= -100 (-0.04) = 4.082 9.24（臨界值）因為r 1已經(jīng)被拒絕，但r 2未能被拒絕，所以結(jié)論是該var模型中存在2個協(xié)整向量。例：輸出結(jié)果說明3個變量之間存在一個協(xié)整關(guān)系。附：說明(1) 首先從檢驗r = 0開始。意即在var模型中不存在協(xié)整向量（含有n個單位根）。如果r = 0不能被拒絕（lr 臨界值），則應(yīng)繼續(xù)進(jìn)行下面的檢驗。(2) r 1。意即在var模型中存在1個協(xié)整向量（含有n-1個單位根）。如果r 1不能被拒絕（lr 臨界值），檢驗到此終止。如果r 1被拒絕，則應(yīng)進(jìn)一步作如下檢驗。(3) r n 1。意即在var模型中存在n 1個協(xié)整向量（含有1個單位根

20、）。如果r n 1不能被拒絕（lr 臨界值），檢驗到此終止。如果r n 1被拒絕，說明r =n。在檢驗過程中，比如r r*-1已經(jīng)被拒絕，但r r*不能被拒絕，則結(jié)論是var模型中存在r*個協(xié)整向量。（4）協(xié)整檢驗過程中的每一步檢驗都屬于右單端檢驗。（*）（一）johansen檢驗的思路第一步，擬合模型這里約束了。模型的殘差項記為，含有的信息。第二步，擬合模型模型的殘差項記為，含有的信息。實質(zhì)上，兩個輔助回歸模型的殘差項分別從和排除了的影響，使我們的注意力集中到了和的關(guān)系上。接下來的問題是是否可以分別在（含有的信息）和（含有的信息）中各自找出一個線性組合，構(gòu)成一對變量（這對變量是，且該對線性組

21、合具有最大的相關(guān)性，類推找出所有可能的，相關(guān)性次強(qiáng)的線性組合對。這些線性組合對中的方的成員對應(yīng)的系數(shù)則構(gòu)成中的協(xié)整變量的結(jié)構(gòu)（或協(xié)整變量的系數(shù)），顯著相關(guān)的線性組合對的個數(shù)即為協(xié)整變量的個數(shù) 多元統(tǒng)計分析中典型相關(guān)分析法。(二)johansen檢驗johansen檢驗這不是單獨的一個檢驗，而是一系列的檢驗，檢驗協(xié)整變量的個數(shù)為幾。從開始，是協(xié)整變量的個數(shù)。（1）提出假設(shè)至多存在個協(xié)整關(guān)系，即在和中有對典型變量相關(guān)性顯著； 有大于個協(xié)整關(guān)系,即在和中有對以上的典型變量相關(guān)性顯著;（2）構(gòu)造檢驗的統(tǒng)計量檢驗的統(tǒng)計量為： 其中是和中典型相關(guān)系數(shù)的平方。（3）johansen檢驗的實施 檢驗有幾個協(xié)整

22、變量和協(xié)整變量的結(jié)構(gòu)。為了檢驗變量間的協(xié)整關(guān)系和協(xié)整變量的個數(shù)，操作如下圖，首先在下拉式菜單中選擇協(xié)整檢驗的選項，如(*)圖17。再選擇檢驗式的形式圖(*)。 圖* 協(xié)整檢驗圖* 選擇協(xié)整檢驗式j(luò)ohansen檢驗要求，協(xié)整方程有5種，上面的對話框左側(cè)：序列y或協(xié)整方程中無確定趨勢項或無截距項；序列y無截距項且協(xié)整方程只有截距項；序列y或協(xié)整方程中只有截距項；序列y無趨勢項和在協(xié)整方程既有截距項也有趨勢項；序列y有線性趨勢且在協(xié)整方程既有截距項也有趨勢項.輸出結(jié)果如下表。表 協(xié)整檢驗的結(jié)果date: 07/15/06 time: 22:45sample: 1955 1988included o

23、bservations: 32test assumption: linear deterministic trend in the dataseries: ly1 ly2 ly3 ly4 ly5 lags interval: 1 to 1eigenvaluelikelihood5 percent1 percenthypothesizedratiocritical valuecritical valueno. of ce(s) 0.673781 89.41854 68.52 76.07 none * 0.520657 53.57257 47.21 54.46 at most 1 * 0.3726

24、11 30.04173 29.68 35.65 at most 2 * 0.294853 15.12372 15.41 20.04 at most 3 0.115972 3.944545 3.76 6.65 at most 4 * *(*) denotes rejection of the hypothesis at 5%(1%) significance level l.r. test indicates 3 cointegrating equation(s) at 5% significance level unnormalized cointegrating coefficients:l

25、y1ly2ly3ly4ly5-1.772497 0.474616 2.107603-3.009948 1.006424-1.787311 1.201567-0.741407-1.764639 1.626055 1.746643 0.341621-0.643429-0.588860 0.115909-0.753075 0.323333-0.183253-0.232808 0.826739 0.822507-1.222749-0.163635 1.593490 0.343754 normalized cointegrating coefficients: 1 cointegrating equat

26、ion(s)ly1ly2ly3ly4ly5c 1.000000-0.267767-1.189059 1.698140-0.567800-2.926526 (0.10287) (0.24139) (0.27219) (0.10789) log likelihood 217.0823 normalized cointegrating coefficients: 2 cointegrating equation(s)ly1ly2ly3ly4ly5c 1.000000 0.000000-2.250753 2.168675-0.341427-2.307264 (0.74172) (0.71088) (0

27、.22812) 0.000000 1.000000-3.964990 1.757253 0.845412 2.312686 (1.64145) (1.57321) (0.50484) log likelihood 228.8478 normalized cointegrating coefficients: 3 cointegrating equation(s)ly1ly2ly3ly4ly5c 1.000000 0.000000 0.000000-0.244359-0.136126-2.773445 (0.16665) (0.22844) 0.000000 1.000000 0.000000-

28、2.493616 1.207076 1.491450 (0.31011) (0.42508) 0.000000 0.000000 1.000000-1.072101 0.091214-0.207122 (0.12288) (0.16844) log likelihood 236.3068 normalized cointegrating coefficients: 4 cointegrating equation(s)ly1ly2ly3ly4ly5c 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.307903-6.526467 (1.76814) 0.000000

29、 1.000000 0.000000 0.000000 5.738259-36.80706 (16.5079) 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 2.039343-16.67311 (7.14159) 0.000000 0.000000 0.000000 1.000000 1.817113-15.35862 (6.59522) log likelihood 241.8964從結(jié)果可以看出，協(xié)整變量的個數(shù)是3個。沒有正規(guī)化的系數(shù)矩陣：用初等變換，正規(guī)化的系數(shù)矩陣：案例分析： 英國購買力平價和利率平價的協(xié)整性分析，johansen-juselius (1992

30、) 。詳見journal of econometrics（計量經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志）第53卷，211-244頁。1購買力平價和利率平價同種商品在不同國家應(yīng)該保持相同價格。否則就會存在套利問題。但是當(dāng)匯率可以自由浮動時，套利問題就會消除。用pt表示國內(nèi)商品價格，pt*表示國外同類商品價格，et表示購買力平價，則有et = pt / pt*即一個單位的外國貨幣相當(dāng)于多少本國貨幣。對數(shù)形式是lnet = ln pt - lnpt*3個變量的長期均衡關(guān)系是ln pt - lnpt* - lnet = u1t其中ut表示非均衡誤差，是一個均值為零，平穩(wěn)的隨機(jī)過程。在均衡點處有ut = 0。下面考慮與商品有關(guān)的資本

31、市場條件。生產(chǎn)商品必然與金融資產(chǎn)相聯(lián)系。而金融資產(chǎn)可以用金融債券度量。國內(nèi)外對這些債券的利息率是不一樣的。分別用rt，rt*表示。資本市場的套利行為對匯率形成壓力。制定匯率必須使國內(nèi)外利率差與t+1期、t期之間匯率差相等，即保證rt - rt* = e(t) (et+1) - et = u2t其中et 表示名義匯率（貨幣的購買力平價）。e(t) (et+1)表示t期對t+1期匯率的期望。u2t是非均衡誤差，是一個平穩(wěn)的隨機(jī)過程。保持rt，rt*相等稱為利率平價。2協(xié)整關(guān)系的預(yù)分析如果用 yt = (lnpt lnpt* lnet rt rt*)表示變量列向量，希望能存在兩個協(xié)整關(guān)系。b1 =

32、(1 -1 -1 0 0)b2 = (0 0 0 1 -1)b1表示購買力平價協(xié)整向量，b2表示利率平價協(xié)整向量。3估計協(xié)整向量個數(shù)r。 用pt表示英國商品綜合批發(fā)價格指數(shù)。pt*表示進(jìn)口商品綜合批發(fā)價格指數(shù)。et表示英國實際匯率。rt表示三個月的金融債券利率。rt*表示三個月的歐元利率。樣本數(shù)據(jù)范圍是1972:1-1987:2。通過對數(shù)據(jù)走勢的分析，認(rèn)為批發(fā)價格指數(shù)序列中存在線性趨勢。所以在var模型中應(yīng)該有一個非約束常數(shù)項（既進(jìn)入?yún)f(xié)整空間，也進(jìn)入數(shù)據(jù)空間）。2階var模型估計結(jié)果顯示殘差序列的峰度值很高（高峰厚尾特征），為非正態(tài)分布。殘差序列的方差很大主要是由于世界石油價格的變化造成的。用

33、石油價格調(diào)整批發(fā)價格指數(shù)，再次估計2階var模型。var模型殘差序列的診斷檢驗結(jié)果見表1。表1 var模型殘差的診斷檢驗方程內(nèi)生變量標(biāo)準(zhǔn)差偏度峰度-3jb統(tǒng)計量序列相關(guān)檢驗，lm(20)1lnpt0.0070.291.274.84 (5.99)6.09 (5.99)9.59 (31.41)3lnet0.0300.300.170.95 (5.99)13.54 (31.41)4rt0.0110.580.253.55 (5.99)9.11 (5.99)16.41 (68.52r 1r 20.28549.42 47.21r 2r 30.25429.26 29.68r 3r 40.10211.67 3.764協(xié)整向量估計結(jié)果的