板殼理論課程設(shè)計(jì)(里茨法應(yīng)用

1、板殼理論課程設(shè)計(jì)第一部分 綜述 這學(xué)期我們學(xué)習(xí)了板殼理論，也就是彈性力學(xué)的下冊(cè)。經(jīng)過(guò)這學(xué)期的學(xué)習(xí)， 我對(duì)彈性力學(xué)的概念也越發(fā)的清晰， 也認(rèn)識(shí)到自己在公式推導(dǎo)方面的不足。 不過(guò) 作為一名力學(xué)專業(yè)的學(xué)生， 這是最基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)要求。 通過(guò)學(xué)習(xí)板殼理論， 我 對(duì)彈性力學(xué)問(wèn)題的分析思路更加清晰， 尤其是對(duì)薄板問(wèn)題的處理， 有了更好的認(rèn) 識(shí)和理解。彈性力學(xué)的研究對(duì)象是完全彈性體，根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，忽略一些很小的次 要因素，對(duì)物體的材料性質(zhì)采用了一些基本假定， 即彈性力學(xué)的基本假定， 主要 有連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性，符合以上假定的物體，就稱為理想彈 性體。彈性體是變形體的一種， 在外力作用下物體

2、變形， 當(dāng)外力不超過(guò)某一限度 時(shí)，出去外力后，除去外力后物體即恢復(fù)原狀。在板殼理論中，這一原則的應(yīng)用 則更加廣泛。在薄板的小撓度彎曲理論中，垂直于中面方向的正應(yīng) 變 z 可以不 計(jì) ；應(yīng)力分量 zx, zy , z 所引起的變形可以不計(jì)； 薄板中面內(nèi)的各點(diǎn)都沒(méi)有平行 于中面的位移， 這是以三個(gè)計(jì)算假定為基礎(chǔ)的。 例如在薄板彎曲問(wèn)題中， 一定載 荷引起的彎應(yīng)力和扭應(yīng)力， 在數(shù)值上最大， 因而是主要的應(yīng)力； 橫向切應(yīng)力在數(shù) 值上較小，是次要的應(yīng)力；擠壓應(yīng)力在數(shù)值上更小，是更次要的應(yīng)力。因此，在 計(jì)算薄板的內(nèi)力時(shí)，主要是計(jì)算彎矩和扭矩，橫向剪力一般都無(wú)須計(jì)算。這學(xué)期板殼理論的學(xué)習(xí)，讓我在上學(xué)期彈性力

3、學(xué)上冊(cè)的基礎(chǔ)上有了新的收 獲。上學(xué)期彈性力學(xué)的學(xué)習(xí)， 我感覺(jué)整本書(shū)就講了十五個(gè)控制方程解十五個(gè)未知 數(shù)。而剩下的問(wèn)題就是如何求解這些方程的問(wèn)題， 這也是數(shù)學(xué)和力學(xué)結(jié)合最緊密 的地方。而求解的方法無(wú)外乎兩種 :基于位移的求解和基于應(yīng)力的求解，而前人 的研究大部分都是如何使這些方程求解起來(lái)更方便。 彈性力學(xué)思路清晰， 但是方 程和公式復(fù)雜。例如 ,應(yīng)力函數(shù)的引入就是因?yàn)橥瑫r(shí)滿足平衡方程和應(yīng)力表達(dá)的 相容方程是很難找到的。 這學(xué)期， 我們學(xué)習(xí)了伽遼金法的應(yīng)用及其舉例， 認(rèn)識(shí)了 伽遼金位移函數(shù) 它使得原本要求的方程 （非齊次微分方程 ）轉(zhuǎn)化為求拉普拉期方 程,而拉普拉斯方程在數(shù)學(xué)上（復(fù)變函數(shù)）已經(jīng)研究

4、的很透徹，因而大大簡(jiǎn)化了 求解的難度。而近代即二十世紀(jì)以來(lái)發(fā)展起來(lái)的能量法更是如此:對(duì)位移的變分方程代替了以位移表達(dá)的平衡方程及應(yīng)力邊界條件，對(duì)應(yīng)力的變分代替了相容方程及位移邊界條件 這無(wú)疑都大大簡(jiǎn)化了彈性力學(xué)基本方程的求解過(guò)程。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，各類軟件也應(yīng)用在了各行各業(yè)，這學(xué)期我們還學(xué)習(xí)了ABAQUS和ANSYS兩類有限元軟件。此外，通過(guò)數(shù)學(xué)軟件Matlab和Mathematica 與有限元軟件的結(jié)合應(yīng)用，使得求解速度大大加快，便于方便實(shí)驗(yàn)，這也使得許 多從前很難解決的問(wèn)題基本上都能獲得滿足工程精度的解答。在傳統(tǒng)理論解和有 限元方法共同合作下，彈性力學(xué)的發(fā)展會(huì)更加迅速，它的應(yīng)用范圍更加廣泛

5、，前 景是非?？捎^的。第二部分解答題目：四邊為夾支邊的正方形薄板受均布荷載集度的解法1.里茨法設(shè)有一個(gè)正方形薄板，邊長(zhǎng)為 a=1m厚度 =0.015m如圖所示，四2邊均為夾支邊，在薄板受有均布荷載的作用，Cb 10000N/m。取坐標(biāo)軸如圖所示，則有位移邊界條件為0(w )x0,(w )x0,0,w()xxw()xxw()yy0;0;0;0,w()yy0;在薄板的彎曲問(wèn)題中，一定荷載引起的彎應(yīng)力和扭應(yīng)力，在數(shù)值上最大, 因而是主要的應(yīng)力；橫向切應(yīng)力在數(shù)值上較小，是次要的應(yīng)力。因此在計(jì)算 薄板的內(nèi)力時(shí)i，主要是計(jì)算彎矩和扭矩，橫向剪力一般都無(wú)需計(jì)算。而由 基爾霍夫指出，薄板任一邊界上扭矩都可以變

6、換為等效的橫向剪力，和原來(lái) 的橫向剪力合并，內(nèi)力表達(dá)式為、要疋2wD (x2 wT), y2 w2 ),xyM yx(1),x yFsx在里茨法中,Dy內(nèi)力邊界條件可忽略，因此將撓度的表達(dá)式取為,F Syw GwG*x(x a)y(y a)sin 丿 sinaa ( a)則上列位移邊界條件都能滿足，同時(shí)，式（a）在薄板的四邊還滿足了 內(nèi)力邊界條件，即彎矩不等于零。薄板的形變勢(shì)能表達(dá)式為：、 1x x y xy xy xy)dxdydZ ?xy xy yz yz zx zx)dxdydz (b)在薄板的小撓度彎曲問(wèn)題中，按照計(jì)算假定,yz, zx形變分量不計(jì)，于2w 2() dxdyx y()d

7、xdyy x x y是 形2 2w w2 2x yV 2(xxxyxy xy) dxdydZ根據(jù)物理方程xyEz2w1 (丁Ez 2w1 (丁Ez 2w1xy整理后得z2 (各項(xiàng)與z無(wú)關(guān)V - D(22w)2 2(1在等厚度薄板中,D是常量，Dvf鈿2 2(1 )或?qū)憺閂 f2w)2dxdy (1其中2w 2()2 dxdyx y由格林定理-P(x,y)x2 2w w 2x y2w( )x y分是沿薄板的邊界進(jìn)行的2占),y2 弓),x2(12zx y2)-2x(c)2wz 2，x2wz代入式(C)2w)x2w 2wE12(12w2w)2xydxdydz2w 2)2 dxdy x y(d)2)

8、式（d）可以寫(xiě)為2w 2wx22w 2)dxdy xy(e)D2w2x2w2y2w 2()2 dxdyxy(f)Q(x, y) ydxdydxdy2wdxx x y24)y2w w -()dxdyy x x yQ(x, y)dx P(x,y)dy .2dy , 其中右邊的積x y本題中薄板全部邊界條件都是夾支邊，有式（f）可以簡(jiǎn)化為V f （ 2w）2dxdy（g）按式(a)求撓度W 對(duì)于坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)，得到2w-2x4C1 *sin 2 xy2( ay)2a22C1 s in 2( a x) y2( ay)22a2 w2y2 2 24C1 *sin x ( a x) y2 2 22 C1 s

9、in x ( a x)( a y)從而D7VC/ 2、2門門D* 176a6G2sin4 4(w) dxdy *21575644D*G*176a sin (h)qwmdxdy15751 6-22a sin144(i)由式(h)和(i) 求出Ci2.98e 5代入式(a)，得w 2.98e 8* x(xa)y(ya)sinsinya由題意知薄板中心處撓度最大，為Wmax1.8625e 6m2.差分法2.1用4*4網(wǎng)格求解由于對(duì)稱，只有3個(gè)獨(dú)立的未知值，即w|,w2,W3，取坐標(biāo)如下所示323212323才一般來(lái)說(shuō)，夾支邊外一行虛結(jié)點(diǎn)1X處的撓度，就等于邊界內(nèi)一行相對(duì)結(jié)點(diǎn)處的撓度，但計(jì)算精度較低，

10、I有時(shí)引起很大誤差。對(duì)夾支邊來(lái)I說(shuō)，|假定w在邊線上按三次式變化，即 A B(-) C(-)2 D(-)3.h hh1以邊界結(jié)點(diǎn)4為原點(diǎn)，則有邊界條為結(jié)點(diǎn)1,2,3建立差分方程如下:20 w1a 4 q8(4W2) 2(4W3)()罟，4 D20 w28(w1 2w3) 2( w2) (w2 wb)()4 -q4 D20 w3a 4 q08(2w2) 2w1 2w32(wc)( )0,D帶入得到w(w)x 0 0,()x 0 0,(w)x h %(w)x 2h W2x求得 A 0, B 0, C2W3w2,DW3w2/cW2X2,W2、/ x 3從而得出 W (2 w3)() (w3一)()4

11、 h4 h據(jù)此邊界外虛結(jié)點(diǎn)a,b,c,的撓度表達(dá)式分別為cW23W3-；Wb 3w22Wc3w3w2220 w1 8(4 w2)2(4 w3)()4 q ,4 D20w2 8(Wr 2w3)2(w2) (w2 3w2)()4,24 Dw2a 4 q020 w3 8(2 w2) 2w1 2w3 2(3w2 )()-,24 D整理得出關(guān)于W的線性方程組矩陣如下:20328w18.52816w2= 2.60099e 6 1216.528w1n sa嗎” MIB *首整1 匸內(nèi)廠匡1r=i-1.0+4-it* i1 -e=205e9：2 -015;3 -u=0.3；4 -(e*delt a 3)/ (

12、12* (;5 -a=I,6 -q=100;7 ansl= (q/d) * (1/1) *4):8 kk= 20, -32, 8 :9-8. 5, 28,-16:102,-15. SjSS11 -kl=l ：I J12 -aa=ltklQj 2t h-S. Gj 2j-324,1,-3;0, Qj 0, Q,Q, 2,Q,2,為一“.靳 % Q Q, 0-8. 5, lj-Sj-S, 25k2=l;L;l;l;l:l;l;l;l;lbbbrkkk k2aa2=bbb+ans2?；丄 11 DUEkkx _2DL 0000-JZ. DODD1. JU.UB. DOCO0JD.-8.0CDO25.

13、 00-a.DftOd-ie :0：6.cocoa1.000000DLW0O-0, DQOO1.E.MQO4.QC0：?:2. DO D01LDOO0孔辿:Q32. ：-0：0二 QOQO02-Q-：00:0i,DODO-8,00-0-S. JJ.O2J.COCO-E.QOOO2,0 JOO-8,000003. OQOD002.00302. jOCfl-to.LtldO20.00000i.ODOO2. 0000-16. OOOD01.DODO-g.500005.60(100S2.CKD-16.OCOD02. OOO：0Q2.0000L :譏Q-.5090-8. GMO24.QCODL4000W

14、TQ&000兀 QQQO02.0CC0ZLaooa-16- KOO00003.COCO-LEMO1.0300-s. 0000-50025. 00001, Oe-05 *0. 20030. L7&40. 12106 IflOS0. 10960- 0754. oaeCL 0422Ch 01280. 0296由此得到10個(gè)結(jié)點(diǎn)撓度如下（單位m ）：WZ|2.003e 6,W21.794e6,Wj1.218e6,w41.609e6,W1.096e6,W0.754e6,其中最大撓度為W1w0.466e6,Ws0.422e6,W0.128e6,%0.298e62.003e 60.015m3有限元解法3.1

15、建立一個(gè)三維實(shí)體正方形薄板，邊長(zhǎng)為 im 厚度3.1.1建模分網(wǎng)（3D實(shí)體）3.1.2定義荷載及邊界條件（四邊夾支）U 卜 MgniTijrip0.015m，與三維實(shí)體條件一樣,3.1.2求解查看結(jié)果tl636e-M +1.474-(K + 1 B12e-06 + L14K-0fi +9.8736-0? i-e.SSOe-D? t6 62Be-D? +5.0D6fl-07 +3.3B4e-07 +i.76aa-07 +1.4D3e-oe結(jié)果：方板中心處撓度最大，最大撓度為Wmax 1.960e 6m3.2建立一個(gè)二維殼，邊長(zhǎng)為im 厚度 求解并查看結(jié)果如下 42.Q06E-D6 兩e-托 -

16、-tl.672e-0C I- fl-SDSe-lt_.- +1.33-0641. LTDfl-06-+l.ODJQ*Ub40.353c L -+6.6B3e-D7 +5.O16e-D7+1.fiT7AD7-1 LJf-.I： Jfe-J 心張mNL.vflna-v f- nnr* L SE2 丹 g ,iEra*3 g- l* Zho-v kiSzhIl knc-= - OQ3a- El結(jié)果：方板中心處撓度最大，最大撓度為 Wmax 2.006e 6m三種解法的解法比較：里茨法：邊長(zhǎng)為 a 1m，厚度 0.015m，彈性模量 E 205Gpa ，0.3,q。100N /m2代入計(jì)算，薄板中心處撓度最大為max1.8625e 6m差分法：4*4網(wǎng)格：最大撓度為WmaxW12.162e6m8*8網(wǎng)格.大撓度為WmaxW12.003e6m差分法中兩種不同網(wǎng)格密度之間的誤差為 有限元：2.162 2.0032.162*100%7.35%維殼：方板中心處撓度最大，最大撓度為 wmax 2.006e 6m三維薄板：方板中心撓度最大，最大撓度為wmax 1.960 e 6m有限元中兩種情況之間誤差為2.006 1.960*100% 4.6%2.006有限元中二維殼與差分法中8*8網(wǎng)格最為接近，誤差為2