知識(shí)梳理雙曲線及其性質(zhì)(基礎(chǔ))高三數(shù)學(xué)理科

1、雙曲線【考綱要求】1.了解雙曲線圖形的實(shí)際背景及形成過程；2.掌握雙曲線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)；3.掌握雙曲線的簡單應(yīng)用；4.理解解析幾何中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】雙曲線的實(shí)際背景及定義雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單性質(zhì)數(shù)形結(jié)合思想【考點(diǎn)梳理】【高清課堂：雙曲線及其性質(zhì)404777知識(shí)要點(diǎn)】考點(diǎn)一、雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)f、f的距離之差的絕對(duì)值等于定長2a（pf-pf1212=2aff）的動(dòng)12點(diǎn)p的軌跡叫作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)f、f叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距.12要點(diǎn)詮釋：（1）雙曲線的定義中，常數(shù)2a應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：pf-pf12=2aff，這可以

2、借助于三12角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來理解；）（2）若常數(shù)a滿足約束條件：pf-pf=2a0，則此時(shí)的曲線是雙曲線的靠f的12122一支；（3）若常數(shù)a滿足約束條件：pf-pf=2a=ff，則此時(shí)的曲線是兩條射線；1212（4）若常數(shù)a滿足約束條件：pf-pf=2aff，則此時(shí)的曲線不存在.1212考點(diǎn)二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2y2-2ab2y2x2-a2b2=1(a0,b0)，其中c2=a2+b2；=1(a0,b0)，其中c2=a2+b2.要點(diǎn)詮釋：（1）只有當(dāng)雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐

3、標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有c2=a2+b2；（3）雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，即系數(shù)為正的項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上.當(dāng)x2的系數(shù)為正時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0)，(-c,0)；當(dāng)y2的系數(shù)為正時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)，(0,-c).考點(diǎn)三、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線x2y2-a2b2=1(a0,b0)的簡單幾何性質(zhì)（1）范圍：xx-a或xa，yr；0)0)（2）焦點(diǎn)(c，頂點(diǎn)(a，實(shí)軸長=2a，虛軸長=2b，焦距2c；（3）離心率是e=c1；a（4）漸近線：y=bax.雙曲線y2x2-2ab2=1(ab0)

4、的簡單幾何性質(zhì)（1）范圍：yy-a或ya，xr；（2）焦點(diǎn)(0,c)，頂點(diǎn)(0,a)，實(shí)軸長=2a，虛軸長=2b，焦距2c；（3）離心率是e=c1；a（4）漸近線：y=abx.考點(diǎn)四、有關(guān)雙曲線的漸近線的問題（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：=0=0y=bx若雙曲線方程為x2y2x2y2xy-=1漸近線方程-a2b2a2b2aba（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：bxyx2若漸近線方程為y=x=0雙曲線可設(shè)為aaba2-y2b2=l（3）若雙曲線與焦點(diǎn)在y軸上）x2y2x2y2-=1有公共漸近線，可設(shè)為-222abab2=l（l0，焦點(diǎn)在x軸上，l0,b0)的圖像如圖所示：（1）實(shí)軸長aa=2

5、a，虛軸長2b,焦距ff=2c，1212（2）離心率：e=pf1=pm1pf2pm2af=11=ak11af22=ak22cb2=1+aa2e1；（3）頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離：af=af=c-a，af=af=a+c；11221221（4）dpff中結(jié)合定義pf-pf1212合起來.【典型例題】類型一：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程=2a與余弦定理，將有關(guān)線段pf、pf、ff和角結(jié)1212例1.求與橢圓x2y2+=1有共同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)(15,4)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。2736【解析】依題意設(shè)雙曲線方程為y2x2-a2b2=1由已知得a2+b2=c2=9，a2=42-2=1b2=5又雙曲線過點(diǎn)(15,4)，a2+b

6、2=91615ab1615-=1a2b2故所求雙曲線的方程為y2x2-=1.45，【總結(jié)升華】先根據(jù)已知條件確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)的位置（定位）選擇相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用待定系數(shù)法確定a、b.舉一反三：【變式】求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上且分別滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）一漸近線方程為3x+2y=0，且雙曲線過點(diǎn)m(8,63).（2）虛軸長與實(shí)軸長的比為3:4，焦距為10.【解析】xy（1）依題意知雙曲線兩漸近線的方程是=0,故設(shè)雙曲線方程為23點(diǎn)m(8,63)在雙曲線上，x2y2-=l，4982(63)2-=l，解得l=4，49所求雙曲線方程為x2y2-=1.1636（2）由已

7、知設(shè)a=4k,b=3k,則c=5k(k0)依題意2c=10k=10，解得k=1.雙曲線方程為x2y2y2x2-=1或-=1.169169類型二：雙曲線的焦點(diǎn)三角形例2.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一個(gè)橢圓與雙曲線有共同焦點(diǎn)f和f，且|ff|=213，又橢圓1212長半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4，離心率之比3:7.（1）求橢圓與雙曲線的方程；（2）若p為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求fpf的余弦值.12【解析】（1）設(shè)橢圓方程為x2y2x2y2+=1(ab0)，雙曲線方程-222abab2=1，a-a=4,a:a=3:7.a=7,則cc，解得a=3.c=13,b2=a2-c2=36,b2=c2-a2=4.故

8、所求橢圓方程為x2y2x2y2+=1，雙曲線方程為-=1.493694解得12vv5（2）由對(duì)稱性不妨設(shè)交點(diǎn)p在第一象限.設(shè)|pf|=v、|pf|=v.1122由橢圓、雙曲線的定義有:v+v=14,v=10,12v1-v2=6.v2=4.v2+v2-(2c)2412由余弦定理有cosfpf=.1212舉一反三：【變式1】設(shè)p為雙曲線x2-y212=1上的一點(diǎn)，f，f是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|pf|:|pf|=3:2，1212pf1f2=12，故選b.則pff的面積為（）12a63b12c123d24【解析】依據(jù)雙曲線的定義有|pf|-|pf|=2a=2，12由|pf|:|pf|=3:2得|pf

9、|=6、|pf|=4，1212又|ff|2=(2c)2=413=52，則cosfpf=0，即fppf，121212所以例3（2015南昌三模）已知雙曲線=1（a0，b0）的一條漸近線平行于直線l：x+2y+5=0，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為（）a=1b=1c=1d=1【答案】a【解析】雙曲線=1（a0，b0）的一條漸近線平行于直線l：x+2y+5=0，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，解得a=2，b=，雙曲線方程為舉一反三：=1故選a【變式1】（2015春湖北期末）與雙曲線線的方程為（）有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn)a（，2）的雙曲ab2x2=1cy2x2-=1d1827【答案】c【解析

10、】由題意設(shè)所求的雙曲線的方程為因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)a（，2），所以=，=，即=9，代入方程化簡得y2x2-=1，故選c1827【變式2】設(shè)雙曲線x2y2-a29=1(a0)的漸近線方程為3x2y=0，則a的值為a4b3c2d1【答案】c例4已知雙曲線的方程是16x2-9y2=144.（1）求這雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；（2）設(shè)f和f是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在雙曲線上，且|pf|pf|=32，求fpf的大小121212【解析】x2y2-=1，-9y（1）由16x22=144得916a=3，b=4，c=5.焦點(diǎn)f(-5,0)、f(5,0)，離心率e=12534，漸近線方程為y=x.3（2）|p

11、f|-|pf|=2a=6，12cosfpf=12|pf|2+|pf|2-|ff|212122|pf|pf|12=(|pf|-|pf|)2+2|pf|pf|-|ff|21212122|pf|pf|12916=36+64-100=064fpf=90012舉一反三【變式1】已知f、f是雙曲線12fpf=_。12【答案】90x2y2-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，p在雙曲線上且滿足|pf|pf|=32，則12-=1，p為雙曲線上一點(diǎn)，f、f是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，并且2416【變式2】已知雙曲線x2y212例5.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若雙曲線-fpf=60，求dfpf的面積。1212【答案】163類型三：離心率【高

12、清課堂：雙曲線及其性質(zhì)404777例1】x2y2mm2+4=1的離心率為5，則m的值為_【解析】雙曲線x2y2-mm2+4=1中，a2=m,b2=m2+4且m0所以c2=m+m2+4則e2=c2m+m2+4=2am=5解得m=2舉一反三：【變式1】已知雙曲線x2y2-a2b2=1與x軸正半軸交于a點(diǎn)，f是它的左焦點(diǎn)，設(shè)b點(diǎn)坐標(biāo)為(0,b)，且abbf，則雙曲線的離心率為（）1+31+52+62+5a、b、c、d、2244【答案】b【變式2】若橢圓【答案】52x2y23x2y2222+=1,(ab0)的離心率為,則雙曲線-aba2b2=1的離心率為_例6.已知f,f是雙曲線12x2y2-2ab2=1(ab0)的左、右焦點(diǎn),過f且垂直于x軸的直線與雙曲線的1|af|=2ctan