4示范教案（21函數(shù)的概念第1課時）

1、 或1.2 函數(shù)及其表示1.2.1 函數(shù)的概念整體設計教學分析函數(shù)是中學數(shù)學中最重要的基本概念之一.在中學,函數(shù)的學習大致可分為三個階段.第一階段是在義務教育階段,學習了函數(shù)的描述性概念,接觸了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等最簡單的函數(shù),了解了它們的圖象、性質(zhì)等.本節(jié)學習的函數(shù)概念與后續(xù)將要學習的函數(shù)的基本性質(zhì)、基本初等函數(shù)()和基本初等函數(shù)()是學習函數(shù)的第二階段,這是對函數(shù)概念的再認識階段.第三階段是在選修系列的導數(shù)及其應用的學習,這是函數(shù)學習的進一步深化和提高.在學生學習用集合與對應的語言

2、刻畫函數(shù)之前,學生已經(jīng)把函數(shù)看成變量之間的依賴關系;同時,雖然函數(shù)概念比較抽象,但函數(shù)現(xiàn)象大量存在于學生周圍.因此,課本采用了從實際例子中抽象出用集合與對應的語言定義函數(shù)的方式介紹函數(shù)概念.三維目標1.會用集合與對應的語言來刻畫函數(shù),理解函數(shù)符號y=f(x)的含義;通過學習函數(shù)的概念,培養(yǎng)學生觀察問題、提出問題的探究能力,進一步培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣和抽象概括能力;啟發(fā)學生運用函數(shù)模型表述思考和解決現(xiàn)實世界中蘊涵的規(guī)律,逐漸形成善于提出問題的習慣,學會數(shù)學表達和交流,發(fā)展數(shù)學應用意識.2.掌握構成函數(shù)的三要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域,體會對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用,使學生感受到學習函數(shù)的必要

3、性的重要性,激發(fā)學生學習的積極性.重點難點教學重點:理解函數(shù)的模型化思想,用集合與對應的語言來刻畫函數(shù).教學難點:符號“y=f(x)”的含義,不容易認識到函數(shù)概念的整體性,而將函數(shù)單一地理解成對應關系,甚至認為函數(shù)就是函數(shù)值.課時安排2課時教學過程第1課時 函數(shù)的概念導入新課思路1.北京時間2005年10月12日9時整,萬眾矚目的“神舟”六號飛船勝利發(fā)射升空,5天后圓滿完成各項任務并順利返回.在“神舟”六號飛行期間,我們時刻關注“神舟”六號離我們的距離y隨時間t是如何變化的,本節(jié)課就對這種變量關系進行定量描述和研究.引出課題.思路2.問題:已知函數(shù)y=1,x瘙綂下標RQ,0,x瘙綂下標RQ,請

4、用初中所學函數(shù)的定義來解釋y與x的函數(shù)關系？先讓學生回答后,教師指出:這樣解釋會顯得十分勉強,本節(jié)將用新的觀點來解釋,引出課題.推進新課新知探究提出問題(1)給出下列三種對應:(幻燈片)一枚炮彈發(fā)射后,經(jīng)過26 s落到地面擊中目標.炮彈的射高為845 m,且炮彈距地面的高度為h(單位:m)隨時間t(單位:s)變化的規(guī)律是h=130t-5t2.時間t的變化范圍是數(shù)集A=t|0t26,h的變化范圍是數(shù)集B=h|0h845.則有對應f:th=130t-5t2,tA,hB.近幾十年來,大氣層的臭氧迅速減少,因而出現(xiàn)了臭氧洞問題.圖1-2-1-1中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積S(單位:106 k

5、m2)隨時間t(單位:年)從19912001年的變化情況.圖1-2-1-1根據(jù)圖1-2-1-1中的曲線,可知時間t的變化范圍是數(shù)集A=t|1979t2001,空臭氧層空洞面積S的變化范圍是數(shù)集B=S|0S26,則有對應:f:tS,tA,SB.國際上常用恩格爾系數(shù)反映一個國家人民生活質(zhì)量的高低,恩格爾系數(shù)越低,生活質(zhì)量越高.下表中的恩格爾系數(shù)y隨時間t(年)變化的情況表明,“八五”計劃以來,我國城鎮(zhèn)居民的生活質(zhì)量發(fā)生了顯著變化.“八五”計劃以來我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)變化情況時間19911992199319941995199619971998199920002001恩格爾系數(shù)y53.852.950

6、.149.949.948.646.444.541.939.237.9根據(jù)上表,可知時間t的變化范圍是數(shù)集A=t|1991t2001,恩格爾系數(shù)y的變化范圍是數(shù)集B=S|37.9S53.8.則有對應:f:ty,tA,yB.以上三個對應有什么共同特點？(2)我們把這樣的對應稱為函數(shù),請用集合的觀點給出函數(shù)的定義.(3)函數(shù)的定義域是自變量的取值范圍,那么你是如何理解這個“取值范圍”的？(4)函數(shù)有意義又指什么？(5)函數(shù)f:AB的值域為C,那么集合B=C嗎？活動：讓學生認真思考三個對應,也可以分組討論交流,引導學生找出這三個對應的本質(zhì)共性.解：(1)共同特點是:集合A、B都是數(shù)集,并且對于數(shù)集A中

7、的每一個元素x,在對應關系f:AB下,在數(shù)集B中都有唯一確定的元素y與之對應.(2)一般地,設A、B都是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應,那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),xA,其中x叫自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域,函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域.在研究函數(shù)時常會用到區(qū)間的概念,設a,b是兩個實數(shù),且ab,如下表所示:定義名稱符號數(shù)軸表示x|axb閉區(qū)間a,bx|axb開區(qū)間(a,b)x|axb半開半閉區(qū)間a,b)x|aa(a,bx|xa(-,ax|x0時,求f(

8、a),f(a-1)的值.活動：(1)讓學生回想函數(shù)的定義域指的是什么？函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍,故轉(zhuǎn)化為求使和有意義的自變量的取值范圍;有意義,則x+30, 有意義,則x+20,轉(zhuǎn)化解由x+30和x+20組成的不等式組.(2)讓學生回想f(-3),f()表示什么含義？f(-3)表示自變量x=-3時對應的函數(shù)值,f()表示自變量x=時對應的函數(shù)值.分別將-3,代入函數(shù)的對應法則中得f(-3),f()的值.(3)f(a)表示自變量x=a時對應的函數(shù)值,f(a-1)表示自變量x=a-1時對應的函數(shù)值.分別將a,a-1代入函數(shù)的對應法則中得f(a),f(a-1)的值.解：(1)要使

9、函數(shù)有意義,自變量x的取值需滿足解得-3x-2,即函數(shù)的定義域是-3,-2)(-2,+).(2)f(-3)=+=-1;f()=.(3)a0,a-3,-2)(-2,+),即f(a),f(a-1)有意義.則f(a)=+;f(a-1)=.點評：本題主要考查函數(shù)的定義域以及對符號f(x)的理解.求使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍,通常轉(zhuǎn)化為解不等式組.f(x)是表示關于變量x的函數(shù),又可以表示自變量x對應的函數(shù)值,是一個整體符號,分開符號f(x)沒有什么意義.符號f可以看作是對“x”施加的某種法則或運算.例如f(x)=x2-x+5,當x=2時,看作“2”施加了這樣的運算法則:先平方,再減去2,再加上5;

10、當x為某一代數(shù)式(或某一個函數(shù)記號時),則左右兩邊的所有x都用同一個代數(shù)式(或某一個函數(shù))來代替.如:f(2x+1)=(2x+1)2-(2x+1)+5,fg(x)=g(x)2-g(x)+5等等.符號y=f(x)表示變量y是變量x的函數(shù),它僅僅是函數(shù)符號,并不表示y等于f與x的乘積;符號f(x)與f(m)既有區(qū)別又有聯(lián)系,當m是變量時,函數(shù)f(x)與函數(shù)f(m)是同一個函數(shù);當m是常數(shù)時,f(m)表示自變量x=m對應的函數(shù)值,是一個常量.已知函數(shù)的解析式,求函數(shù)的定義域,就是求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍,即:(1)如果f(x)是整式,那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R.(2)如果f(x)是分

11、式,那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實數(shù)的集合.(3)如果f(x)是二次根式,那么函數(shù)的定義域是使根號內(nèi)的式子大于或等于零的實數(shù)的集合.(4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合(即求各部分定義域的交集).(5)對于由實際問題的背景確定的函數(shù),其定義域還要受實際問題的制約.變式訓練1.求函數(shù)y=的定義域.答案：x|x1,且x-1.點評：本題容易錯解：化簡函數(shù)的解析式為y=x+1,得函數(shù)的定義域為x|x1.其原因是這樣做違背了討論函數(shù)問題要保持定義域優(yōu)先的原則.化簡函數(shù)的解析式容易引起函數(shù)的定義域發(fā)生變化,因此求函數(shù)的定義域之前時,不要化簡解

12、析式.2.2007山東濱州二模,理1若f(x)=的定義域為M,g(x)=|x|的定義域為N,令全集U=R,則MN等于( )A.M B.N C.M D.N分析:由題意得M=x|x0,N=R,則MN=x|x0=M.答案：A3.已知函數(shù)f(x)的定義域是-1,1,則函數(shù)f(2x-1)的定義域是_.分析:要使函數(shù)f(2x-1)有意義,自變量x的取值需滿足-12x-11,0x1.答案：0,1思路21.2007湖北武昌第一次調(diào)研,文14已知函數(shù)f(x)=,那么f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()=_.活動：觀察所求式子的特點,引導學生探討f(a)+f()的值.解法一：原式=+=.

13、解法二：由題意得f(x)+f()=1.則原式=+1+1+1=.點評：本題主要考查對函數(shù)符號f(x)的理解.對于符號f(x),當x是一個具體的數(shù)值時,相應地f(x)也是一個具體的函數(shù)值.本題沒有求代數(shù)式中的各個函數(shù)值,而是看到代數(shù)式中含有f(x)+f(),故先探討f(x)+f()的值,從而使問題簡單地獲解.求含有多個函數(shù)符號的代數(shù)式值時,通常不是求出每個函數(shù)值,而是觀察這個代數(shù)式的特?找到規(guī)律再求解.受思維定勢的影響,本題很容易想到求出每個函數(shù)值來求解,雖然可行,但是這樣會浪費時間,得不償失.其原因是解題前沒有觀察思考,沒有注意經(jīng)驗的積累.變式訓練1.已知a、bN*,f(a+b)=f(a)f(b

14、),f(1)=2,則=_.分析:令a=x,b=1(xN*),則有f(x+1)=f(x)f(1)=2f(x),即有=2(xN*).所以,原式=4012.答案：40122.2007山東蓬萊一模,理13設函數(shù)f(n)=k(kN*),k是的小數(shù)點后的第n位數(shù)字,=3.1415926535,則等于_.分析:由題意得f(10)=5,f(5)=9,f(9)=3,f(3)=1,f(1)=1,則有=1.答案：12.2007山東濟寧二模,理10已知A=a,b,c,B=-1,0,1,函數(shù)f:AB滿足f(a)+f(b)+f(c)=0,則這樣的函數(shù)f(x)有( )A.4個 B.6個 C.7個 D.8個活動：學生思考函數(shù)

15、的概念,什么是不同的函數(shù).定義域和值域確定后,不同的對應法則就是不同的函數(shù),因此對f(a),f(b),f(c)的值分類討論,注意要滿足f(a)+f(b)+f(c)=0.解：當f(a)=-1時,則f(b)=0,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=0,即此時滿足條件的函數(shù)有2個;當f(a)=0時,則f(b)=-1,f(c)=1或f(b)=1,f(c)=-1或f(b)=0,f(c)=0,即此時滿足條件的函數(shù)有3個;當f(a)=1時,則f(b)=0,f(c)=-1或f(b)=-1,f(c)=0,即此時滿足條件的函數(shù)有2個.綜上所得,滿足條件的函數(shù)共有2+3+2=7(個).故選C.點評：本題主要考查對

16、函數(shù)概念的理解,用集合的觀點來看待函數(shù).變式訓練若一系列函數(shù)的解析式相同,值域相同,但是定義域不同,則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”.那么解析式為y=x2,值域是1,4的“同族函數(shù)”共有( )A.9個 B.8個 C.5個 D.4個分析:“同族函數(shù)”的個數(shù)由定義域的個數(shù)來確定,此題中每個“同族函數(shù)”的定義域中至少含有1個絕對值為1的實數(shù)和絕對值為2的實數(shù).令x2=1,得x=1;令x2=4,得x=2.所有“同族函數(shù)”的定義域分別是1,2,1,-2,-1,2,-1,-2,1,-1,2,1,-1,-2,1,-2,2,-1,-2,2,1,-1,-2,2,則“同族函數(shù)”共有9個.答案：A知能訓練1.2007學年

17、度山東淄博高三第二次摸底考試,理16已知函數(shù)f(x)滿足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,則=_.解：f(p+q)=f(p)f(q),f(x+x)=f(x)f(x),即f2(x)=f(2x).令q=1,得f(p+1)=f(p)f(1),=f(1)=3.原式=2(3+3+3+3+3)=30.答案：302.2006第十七屆“希望杯”全國數(shù)學邀請賽(高一)第一試,2若f(x)=的定義域為A,g(x)=f(x+1)-f(x)的定義域為B,那么( )A.AB=B B.AB C.AB D.AB=分析:由題意得A=x|x0,B=x|x0,且x-1.則AB=A,則A錯;AB=B,則D錯;由于BA,則C錯,B正確.答案：B拓展提升問題:已知函數(shù)f(x)=x2+1,xR.(1)分別計算f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值.(2)由(1)你發(fā)現(xiàn)了什么結論？并加以證明.活動：讓學生探求f(x)-f(-x)的值.分析(1)中各值的規(guī)律,歸納猜想出結論,再用解析式證明.解：(1)f(1)-f(-1)=(12+1)-(-1)2+1=2-2=0;f(2)-f(-2)=(22+1)-(-2)2+1=5-5=0;f(3)-f(-3)=(32+1)-(-3)2+1=10-10=0.(2)由(1)可發(fā)現(xiàn)結論:對任意xR,有f(x)=f(-x).證明如下:由題意得f(-x)