01相交線,垂線(基礎(chǔ))知識講解

1、相交線，垂線(基礎(chǔ))知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解鄰補(bǔ)角和對頂角概念， 掌握對頂角的性1. 了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系, 質(zhì);2. 理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì);3. 理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離;4. 能依據(jù)對頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡單的計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一、鄰補(bǔ)角與對頂角1.鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長線，那么具有這種 關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角.要點(diǎn)詮釋：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指(1) 鄰補(bǔ)角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：的是兩個(gè)角的和為180.(2) 鄰補(bǔ)角是成對

2、出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角.(3) 互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角.(4) 鄰補(bǔ)角滿足的條件：有公共頂點(diǎn)；有一條公共邊，另一邊互為反向延長線2. 對頂角及性質(zhì)：(1) 定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒有公共邊(相對)的兩個(gè)角，互 為對頂角.(2) 性質(zhì)：對頂角相等. 要點(diǎn)詮釋：(1) 由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對頂角.(2) 對頂角滿足的條件：相等的兩個(gè)角；有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向 延長線.3. 鄰補(bǔ)角與對頂角對比：角的名稱特征性質(zhì)對頂角 兩條直線相交 形成的角； 有一個(gè)公共頂占*八、， 沒有公共邊.對頂角相等.鄰補(bǔ)角

3、兩條直線相交 而成； 有一個(gè)公共頂 點(diǎn)； 有一條公共邊.鄰補(bǔ)角互補(bǔ). 都是兩條直線相 交而成的角； 都有一個(gè)公共頂 點(diǎn)； 都是成對出現(xiàn) 的.不同點(diǎn) 有無公共邊； 兩直線相交 時(shí)，對頂角只有2對；鄰補(bǔ)角有 4對.知識點(diǎn)二、垂線1 垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說這兩條直線互相 垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足.a記法：直線直線AOC 909 CD ABa與b垂直，記作： a b ；AB和CD垂直于點(diǎn) 0,記作：AB丄CD于點(diǎn)0. 垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性質(zhì)，即有:(如圖所示)則所畫直線就為已知直線的垂線!2

4、垂線的畫法： 過一點(diǎn)畫已知直線的垂線，可通過直角三角板來畫，具體方法是使直角三 角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過已知點(diǎn)， 沿此直角邊畫直線，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的(1) 如果過一點(diǎn)畫已知射線或線段的垂線時(shí)， 反向延長線上，也可能在線段的延長線上.(2) 過直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段.3.垂線的性質(zhì)：(1)在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.(2 )連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短簡單說成：垂線段最短. 要點(diǎn)詮釋：“有且(1) 性質(zhì)(1)成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示

5、存在，“只有”表示唯一， 只有”說明了垂線的存在性和唯一性.(2) 性質(zhì)(2)是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短.在實(shí)際問題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問題.4 點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.要點(diǎn)詮釋：(1) 點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，是一個(gè)數(shù)量，不能說垂線段是距離；(2) 求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線 段的長度.【典型例題】類型一、鄰補(bǔ)角與對頂角ffDB/1與/5, /3與/6也都不是鄰補(bǔ)角.解

6、：/ 1和/ 2,/ 3和/ 4都不是對頂角.【總結(jié)升華】牢記兩條直線相交，才能產(chǎn)生對頂角或鄰補(bǔ)角.舉一反三:【變式】判斷正誤:(1)如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒有公共邊，那么這兩個(gè)角是對頂角 (2)如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對頂角(3) 有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互補(bǔ)(5) 有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角(5)X, 射線OB為/ AOC勺角平分線，/ AOB與/ AOC互補(bǔ)，且有邊公共為 們不是鄰補(bǔ)角.【答案】(1) X(2)X( 3)X(4)V反例:AO,/ AOC為 120 ,公共頂點(diǎn)為O,但它O / 1 = 65，求/ 2、/ 4的

7、度數(shù)解：/ 1是/ 2的鄰補(bǔ)角，/ 1 = 65,/ 2=180 - 65= 115 .又/ 1和/3是對頂角，/ 2與/ 4是對頂角/ 3 =/ 1 = 65,/ 4=/ 2= 115 【總結(jié)升華】(1)兩條直線相交所成的四個(gè)角中， 角；(2)求出/ 2后用只要已知其中一個(gè)角, “對頂角相等”，求/ 3和/ 4.就可以求出另外三舉一反三:【變式】(2015?梧州)則/AON的度數(shù)為如圖，已知直線 AB與CD交于點(diǎn)0, ON平分/ DOB若/ BOC=110 , 度.解：/ BOC=110 ,/ BOD=70 ,ON為/ BOD平分線，/ BONM DON=35 ,/ BOCMAOD=110

8、,/ AONM AOD：+ DON=14.a?各對角存 3.任意畫兩條相交的直線，在形成的四個(gè)角中，兩兩相配共能組成幾對角 在怎樣的位置關(guān)系？根據(jù)這種位置關(guān)系將它們分類.【答案與解析】解：如圖,6對角，在這6對角中，它們的位置關(guān)系有兩種： 有公共頂點(diǎn)，一邊重合，另一邊互為反向延長線； 有公共頂點(diǎn)，角的兩邊互為反向延長線.這6對角為/ 1與/ 2,/ 1與/ 3,/ 1與/ 4,/ 2與/ 3,/ 2與/ 4,/ 3與/ 4,其 中/ 1 = / 3, / 2 =/ 4,/ 1 + / 2= 180，/ 3+/ 4= 180，/ 1+/ 4= 180,/ 2+/ 3 = 180.在位置上/ 1與

9、/ 3, / 2與/ 4是對頂角，/ 1與/ 2, / 3與/ 4,/ I與/ 4,/ 2 與/3是鄰補(bǔ)角.【總結(jié)升華】 兩條相交的直線，兩兩相配共組成6對角，這6對角中有：4對鄰補(bǔ)角，2對對頂角類型二、垂線4. 下列語句中，正確的有() 一條直線的垂線只有一條； 在同一平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直； 兩直線相交，則交點(diǎn)叫垂足； 互相垂直的兩條直線形成的四個(gè)角一定都是直角.A . 0個(gè) B . 1個(gè) C . 2個(gè) D . 3個(gè)【答案】C【解析】正確的是：【總結(jié)升華】充分理解垂直的定義與性質(zhì) .舉一反三:【變式A.B.C.1】點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)C直線I外有一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到直線I的距離

10、是（）. P到直線P到直線P到直線P到直線I的垂線的長度.I的垂線段.I的垂線段的長度.I的垂線.D.【答案】 5. （2015?可北模擬）如圖，已知點(diǎn)/3的度數(shù)為（）O在直線 AB上，COL DO于點(diǎn)0,若/ 1=145，則B. 45D. 65C. 55A. 35【答案】C.【解析】解：/ 1=145,/ 2=180- 145 =35,COL DO/ COD=90 ,/ 3=90-/ 2=90- 35 =55【總結(jié)升華】本題考查了垂線和鄰補(bǔ)角的定義；弄清兩個(gè)角之間的互補(bǔ)和互余關(guān)系是解題的關(guān)鍵.舉一反三:【變式】如圖，直線AB和CD交于0點(diǎn)，0D平分/ BOF, 0E丄CD于點(diǎn)0, / AOC=40, 則/ EOF=.D【思路點(diǎn)撥】根據(jù)垂線段最短可得答案.【答案】A【解析】解：根據(jù)垂線段最短可得：應(yīng)建在此題主要考查了垂線段的性質(zhì),【總結(jié)升華】A