2020_2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案含解析新人教A版必修520210311266

1、3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解線性規(guī)劃中的基本概念2.會用圖解法解決線性規(guī)劃問題3.能利用線性規(guī)劃解決實際應(yīng)用問題.應(yīng)用直觀想象提升數(shù)學(xué)運算強化數(shù)學(xué)建模授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第63頁基礎(chǔ)認(rèn)識知識點一線性規(guī)劃的基本概念若x，y滿足不等條件，那么當(dāng)x，y取何值時，z2xy有最大值，有最小值在上述問題中(1)滿足的點(x，y)有多少個？提示：無窮多個，構(gòu)成一個三角形區(qū)域(包括邊界)(2)求zxy的最大值、最小值，相當(dāng)于求直線xyz0的什么量？提示：相當(dāng)于直線xyz0在y軸上的截距的最值 知識梳理名稱意義約束條件變量x，y滿足的一組條件線性約束條件關(guān)于x，y的二元一次不等式目標(biāo)函

2、數(shù)欲求最大值或最小值且涉及變量x，y的解析式線性目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于x，y的一次解析式線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解知識點二用圖解法解決線性規(guī)劃問題如何求出x，y的值，使z最大、最??？(1)若將直線2xyz0看作平行直線，進行移動當(dāng)由下而上移動時，動直線y2xz最先達可行域的哪個點？此時z最大還是最小？提示：(0,1)，z最小為1.(2)最后離開可行域的哪個點？此時z最大還是最??？提示：(1,1)，z最大為3. 知識梳理在確定約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)的前提下，用圖解法求

3、最優(yōu)解的步驟為：(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；(2)將目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)變形為yx，將求z的最值問題轉(zhuǎn)化為求直線yx在y軸上的截距的最值問題；(3)畫出直線yx并平行移動，在平移過程中，一般最先或最后經(jīng)過的點為最優(yōu)解；(4)求出最優(yōu)解并代入目標(biāo)函數(shù)，從而求出目標(biāo)函數(shù)的最值自我檢測1若則zxy的最大值為()A1B1C2 D2答案：B2zxy在的線性約束條件下，取得最大值的可行解為()A(0,1) B(1，1)C(1,0) D.答案：C授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第64頁探究一求線性目標(biāo)函數(shù)的最值與范圍教材P91練習(xí)1(2)求z3x5y的最大值和最小值，使x、y滿足約束條件解析：題中約束條

4、件表示的可行域如上圖所示，易知直線z3x5y經(jīng)過點B時，z取得最大值，經(jīng)過點A時，z取得最小值由和可得點A(2，1)和點B(1.5,2.5)所以zmax17，zmin11.例1(1)設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是()A15B9C1 D9解析根據(jù)線性約束條件畫出可行域，如圖(陰影部分)作出直線l0：y2x.平移直線l0，當(dāng)經(jīng)過點A時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值由得點A的坐標(biāo)為(6，3)zmin2(6)(3)15.故選A.答案A(2)已知1xy4且2xy3，求 z2x3y的取值范圍解析由得平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示由圖得當(dāng)z2x3y分別過點A，B時取最小值、最大值由得B(1，2)由得A(3,1

5、)2331z2x3y213(2)，即3z8，故z2x3y的取值范圍是(3,8)延伸探究1.若本例(1)條件不變，求z2xy的最大值解析：由得B點(6，3)平移直線y2xz過B點時，z最大zmax2639.2若本例(1)條件不變，求zxy1的最大值解析：由得C點(0,1)由zxy1得yxz1知斜率kzxy1過C點時，z有最大值zmax0110.3若本例(1)條件不變，求|2xy|的取值范圍解析：設(shè)z2xy，當(dāng)z0時，即直線y2xz過(0,0)時，|z|min0.當(dāng)y2xz過A(6，3)時zmin15，|z|15.當(dāng)y2xz過B(6，3)時zmax9，|z|9.綜上，|2xy|的范圍為0,15方法

6、技巧(1)解線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵是作出可行域，若可行域為封閉區(qū)域，則區(qū)域的頂點很可能就是目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的點，因此我們在解決這些問題時，可以根據(jù)這些點快速找到目標(biāo)函數(shù)取得最值時對應(yīng)的x，y的值，再代入目標(biāo)函數(shù)中即可求得最值(2)求解線性規(guī)劃問題時，經(jīng)常需要比較相關(guān)直線的斜率的大小，以決定它們的傾斜程度，從而找出最優(yōu)解，所以要熟悉直線斜率與傾斜角之間的關(guān)系(3)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在可行域的頂點或邊界處取得，當(dāng)表示線性目標(biāo)函數(shù)表示的直線與可行域的某邊重合時，其最優(yōu)解可能有無數(shù)個探究二非線性目標(biāo)函數(shù)的最值范圍教材P104第5題已知當(dāng)x、y取何值時，x2y2取得最大值、最小值？并求其最值

7、探究：由題意可畫出不等式組所表示的可行域，如圖所示因為x2y2是點(x，y)到原點的距離的平方，所以當(dāng)即x2，y3時，x2y2最大，且最大值為13.又易知x2y2的最小值為原點到直線BC的距離的平方，為.例2已知實數(shù)x，y滿足約束條件試求z的最大值和最小值解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分(包含邊界)所示，由于z，故z的幾何意義是點(x，y)與點M(1，1)連線的斜率，因此的最值是點(x，y)與點M(1，1)連線的斜率的最值，由圖可知，直線MB的斜率最大，直線MC的斜率最小，又B(0,2)，C(1,0)，zmaxkMB3，zminkMC.z的最大值為3，最小值為.方法技巧非線性目標(biāo)函數(shù)

8、最值問題的求解方法(1)非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題，要充分理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，諸如兩點間的距離(或平方)，點到直線的距離，過已知兩點的直線斜率等，充分利用數(shù)形結(jié)合知識解題，能起到事半功倍的效果(2)常見代數(shù)式的幾何意義主要有： 表示點(x，y)與原點(0,0)的距離；表示點(x，y)與點(a，b)的距離表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率，表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率這些代數(shù)式的幾何意義能使所求問題得以轉(zhuǎn)化，往往是解決問題的關(guān)鍵延伸探究4.若本例條件不變，把目標(biāo)函數(shù)改為z，求z的取值范圍解析：z，設(shè)k表示(x，y)與點M(，)斜率kMB，kMC.zmax7，zmin.z

9、的范圍為，75若本例條件不變，求 z的取值范圍解析：表示點(x，y)與點M(1，1)的距離zmax|MA|5.由于kMC，故直線MC與邊界線2xy20垂直故zmin|MC|.探究三已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)例3若實數(shù)x，y滿足不等式組目標(biāo)函數(shù)tx2y的最大值為2，則實數(shù)a的值是_解析如圖，由得代入x2y2中，解得a2.答案2方法技巧含參數(shù)的線性目標(biāo)函數(shù)問題的求解策略(1)約束條件中含有參數(shù)：此時可行域是可變的，應(yīng)分情況作出可行域，結(jié)合條件求出不同情況下的參數(shù)值(2)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)：此時目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線是可變的，如果斜率一定，則對直線作平移變換；如果斜率可變，則要利用斜率與傾斜角間的大小關(guān)系

10、分情況確定最優(yōu)解的位置，從而求出參數(shù)的值跟蹤探究1.已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a()A3 B2C2 D3解析：作出可行域如圖當(dāng)a0時，顯然zaxy的最大值不為4；當(dāng)a0時，zy在B(1,1)處取得最大值為1，不符合題意；當(dāng)0a1時，zaxy在B(1,1)處取得最大值，zmaxa14，故a3，舍去；當(dāng)a1時，zxy的最大值為2；當(dāng)a1時，zaxy在A(2,0)處取得最大值，zmax2a4，得a2，符合題意綜上，a2.答案：B探究四簡單的線性規(guī)劃問題的實際應(yīng)用教材P8890的例5、例6、例7方法步驟：(1)列出約束條件和目標(biāo)函數(shù)(2)利用線性規(guī)劃求最值、最優(yōu)解例4某公司倉庫A

11、存有貨物12噸，倉庫B存有貨物8噸，現(xiàn)按7噸、8噸和5噸把貨物分別調(diào)運給甲、乙、丙三個商店從倉庫A運貨物到商店甲、乙、丙，每噸貨物的運費分別為8元、6元、9元；從倉庫B運貨到商店甲、乙、丙，每噸貨物的運費分別為3元、4元、5元問應(yīng)如何安排調(diào)運方案，才能使得從兩個倉庫運貨物到三個商店的總運費最少？解析將已知數(shù)據(jù)列成下表：商店每噸運費倉庫甲乙丙A869B345 設(shè)倉庫A運給甲、乙商店的貨物分別為x噸，y噸，則倉庫A運給丙商店的貨物為(12xy)噸，從而倉庫B運給甲、乙、丙商店的貨物分別為(7x)噸、(8y)噸、5(12xy)(xy7)噸，于是總運費為z8x6y9(12xy)3(7x)4(8y)5(

12、xy7)x2y126.線性約束條件為即目標(biāo)函數(shù)為zx2y126.作出上述不等式組表示的平面區(qū)域，其可行域如圖中陰影部分所示作出直線l：x2y0，把直線l平行移動，顯然當(dāng)直線l移動到過點(0,8)時，在可行域內(nèi)，zx2y126取得zmin028126110，即x0，y8時總運費最少安排的調(diào)運方案如下：倉庫A運給甲、乙、丙商店的貨物分別為0噸、8噸、4噸，倉庫B運給甲、乙、丙商店的貨物分別為7噸、0噸、1噸，此時可使得從兩個倉庫運貨物到三個商店的總運費最少方法技巧解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟(1)分析題意，設(shè)出未知量；(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答

13、跟蹤探究2.某學(xué)校用800元購買兩種教學(xué)用品，A種用品每件100元，B種用品每件160元，兩種用品至少各買一件，要使剩下的錢最少，A，B應(yīng)各買的件數(shù)為()A2,4 B3,3C4,2 D不確定解析：設(shè)購買A種用品x件，B種用品y件，剩下的錢為z元，則求z800100x160y最小時的整數(shù)解(x，y)，求得故要使剩下的錢最少，A，B應(yīng)各買的件數(shù)為3,3，所以選B.答案：B授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第66頁課后小結(jié)(1)畫圖對解決線性規(guī)劃問題至關(guān)重要，關(guān)鍵步驟基本上是在圖上完成的，所以作圖應(yīng)盡可能準(zhǔn)確，圖中操作盡可能規(guī)范(2)作不等式組表示的可行域時，注意標(biāo)出相應(yīng)的直線方程，還要給可行域的各頂點標(biāo)上字母

14、，平移直線時，要注意線性目標(biāo)函數(shù)的斜率與可行域中邊界直線的斜率進行比較，確定最優(yōu)解(3)在解決與線性規(guī)劃相關(guān)的問題時，首先考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合方法可迅速解決相關(guān)問題素養(yǎng)培優(yōu)1弄錯目標(biāo)函數(shù)與直線的截距間的關(guān)系致誤如果實數(shù)x，y滿足條件那么z2xy的最大值為_易錯分析此題易錯在于沒有弄清直線y2xz在y軸上的截距與z的關(guān)系，誤以為在y軸上的截距最大時z取最大值，事實上，直線y2xz在y軸上的截距是z，因此當(dāng)直線在y軸上的截距最大時，z反而取最小值自我糾正畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖中的陰影部分)由z2xy可得y2xz，因此平移直線y2xz，當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的點B時，直線在y軸上的截距最小，則z取得最大值，而B(0，1)，所以zmax02(1)1.答案：12忽視邊界線與目標(biāo)函數(shù)的斜率大小若x，y滿足約束條件求zx2y的最大值易錯分析由，得，即B(30,