統(tǒng)計學常用公式

1、公式一1. 眾數(shù)【 MODE】（ 1） 未分組數(shù)據或單變量值分組數(shù)據眾數(shù)的計算未分組數(shù)據或單變量值分組數(shù)據的眾數(shù)就是出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。（ 2） 組距分組數(shù)據眾數(shù)的計算對于組距分組數(shù)據，先找出出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值所在組，即為眾數(shù)所在組，再根據下面的公式計算計算眾數(shù)的近似值。下限公式：M0 =L+1i1 +2式中： M 0 表示眾數(shù)； L 表示眾數(shù)的下線；1 表示眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差；2 表示眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差；i 表示眾數(shù)組的組距。上限公式：M 0=U-2i1+2式中： U 表示眾數(shù)組的上限。2中位數(shù)【 MEDIAN】（ 1）未分組數(shù)據中中位數(shù)的計算根據未分組數(shù)據計算中位數(shù)時，

2、要先對數(shù)據進行排序，然后確定中位數(shù)的位置。設一組數(shù)據按從小到大排序后為X 1， X 2， ， X N ，中位數(shù) M e ，為則有：M e =X（ N+1）當 N為奇數(shù)21X N+X N當 N為偶數(shù)M e =222+1（ 2）分組數(shù)據中位數(shù)的計算分組數(shù)據中位數(shù)的計算時，要先根據公式 N / 2 確定中位數(shù)的位置，并確定中位數(shù)所在的組，然后采用下面的公式計算中位數(shù)的近似值：Ni =1fi-Sm-12M e =L+df m式中： M e 表示中位數(shù)； L 表示中位數(shù)所在組的下限；Sm-1 表示中位數(shù)所在組以下各組的累計次數(shù)； f m 表示中位數(shù)所在組的次數(shù)；d 表示中位數(shù)所在組的組距。3均值的計算【

3、 AVERAGE】（ 1）未經分組均值的計算nx1 +x2 + xnxi未經分組數(shù)據均值的計算公式為：=i 1x =nn（ 2）分組數(shù)據均值計算kx1 f1 +x2 f 2+L +xk f kxi fi分組數(shù)據均值的計算公式為：=i 1x=+L +fkkf1 f 2fii 14幾何平均數(shù)【 GEOMEAN】幾何平均數(shù)是 N個變量值乘積的N次方根，計算公式為：nG= n x1x2xn = nxii -1式中： G表示幾何平均數(shù)；表示連乘符號。5調和平均數(shù)【 HARMEAN】調和平均數(shù)是對變量的倒數(shù)求平均， 然后再取倒數(shù)而得到的平均數(shù)， 它有簡單調和平均數(shù)與加權調和平均數(shù)兩種計算形式。簡單調和平均

4、數(shù) ：H= 1n1 = nn11+xxxi1 xi12nnm1 +m2 +mnmi加權調和平均數(shù) ：i1H= m1m2mn= n mi+x1x2xni1 xi式中： H 表示調和平均數(shù)。6極差【 Range】極差也稱全距，是一組數(shù)據的最大值與最小值之差，即R= max x-minxii式中： R 表示極差； max xi 和 minxi分別表示一組數(shù)據的最大值與最小值。7平均差【 Mean Deviation 】平均差是各標志值與其平均數(shù)的絕對離差的算術平均。nx -x（1） 根據未分組資料的計算公式 ：iAD= i 1nn（2） 根據分組資料的計算公式 ：AD= i 1xi -x f inf

5、ii 1式中： AD表示平均差8方差【 Variance 】和標準差【 Standard Deviation】方差是各變量值與其均值離差平方的平均數(shù)。要求掌握方差和標準差的計算方法。n22x x未分組數(shù)據方差的計算公式為：i 1nn22xix fi分組數(shù)據方差的計算公式為 ：i 1nfii1式中：2 表示方差。方差的平方根即為標準差，其相應的計算公式為：n2x x未分組數(shù)據 ：i 1nn2xx fii分組數(shù)據 ：i 1nfii1式中：表示標準差。9離散系數(shù)離散系數(shù)通常是就標準差來計算的，因此，也稱為標準差系數(shù)，它是一組數(shù)據的標準差與其相應的均值之比，是測度數(shù)據離散程度的相對指標。其計算公式為：

6、Vx式中： V 表示離散系數(shù)。10偏態(tài)【 SKEW】偏態(tài)是對分布偏斜方向及程度的測度。 利用眾數(shù)、中位數(shù)和均值之間的關系就可以判斷分布是左偏還是右偏。顯然，判別偏態(tài)的方向并不困難，但要測度偏斜的程度就需要計算偏態(tài)系數(shù)了。nEXCEL中偏態(tài)系數(shù)的計算公式為：3nxi -xn-1n-2i1s11峰值【 KURT】EXCEL中峰值系數(shù)的計算公式為：n n1n1n2n3式中： s 表示樣本標準差。n42xi-x3 n1i 1sn 1n 3公式二1均值估計（ 1）樣本均值的標準差樣本均值的標準差，即為樣本均值的標準誤差，又稱為樣本均值的抽樣平均誤差, 它反映的是所有可能樣本的均值與總體均值的平均差異程度

7、，反映了所有可能樣本的實際抽樣誤差水平。樣本均值的抽樣平均誤差計算公式為：重復抽樣方式 ：x2nn不重復抽樣方式 ：x2NnnN1通常情況下，當 N 很大時，（ N-1）幾乎等于 N，樣本均值的抽樣平均誤差的計算公式也可簡化為：2nx1nN在公式中， 是總體標準差。但實際計算時，所研究總體的標準差通常是未知的，在大樣本的情況下，通常用樣本標準差 S 代替。（ 2）大樣本均值的極限誤差xZ 2x（ 3）大樣本下總體均值的區(qū)間估計總體均值的置信度為（1）的置信區(qū)間：xz 2xxz 2x即 xz 2xz 2nn（ 4）總體方差未知，小樣本正態(tài)總體均值的區(qū)間估計總體均值的置信度為（ 1 ）的置信區(qū)間：

8、xt 2xxt 2x即x tsx ts22nn2比例估計（ 1）樣本比例的抽樣平均誤差樣本比例的抽樣平均誤差為：重復抽樣下 ：pp 1pn上式中， p 應為總體比例，實際計算時通常用樣本比例p 代替。不重復抽樣下 ：p 1 pNnp 1 pnpN1n1nN（ 2）樣本比例的抽樣極限誤差PZ 2p（ 3）總體比率的區(qū)間估計總體比例 P 的置信度為（ 1）的置信區(qū)間為：pPppP即pZ 2pppZ 2p3總體均值檢驗（ 1） 單一總體均值檢驗正態(tài)總體（總體方差已知）或大樣本均值檢驗檢驗統(tǒng)計量 Z 為：x0Zn正態(tài)總體（總體方差未知）小樣本均值檢驗檢驗統(tǒng)計量 t 為：tx0sn（ 2） 兩個總體的均

9、值檢驗兩個正態(tài)總體均值檢驗兩個總體方差已知或大樣本Z 檢驗統(tǒng)計量為：x1 x2 -12Z2212n1n2大樣本下對兩個總體均值進行檢驗時，在總體標準差未知的情況下， 可用樣本標準差代替總體標準差進行計算，檢驗統(tǒng)計量不變。兩個正態(tài)總體均值檢驗（小樣本）兩個總體方差未知但相等T 檢驗統(tǒng)計量為：x1 x2 -12Z1 1 sp n1 n2n1 1 s12n2 1 s22spn22n1其中：s21n12s21n22xx ；xx1n11 ii12n2i211 i 14 總體比例檢驗（ 1） 單一總體的比例檢驗Z 檢驗統(tǒng)計量：pp0Zp01p0n（ 2） 兩個總體比例的檢驗?檢驗的統(tǒng)計量為：Zp1p2?1

10、?1?ppppn1n2?n1 p1n2 p2?， p 為當 p1p2 時 p1和 p2的聯(lián)合估計值。其中： pn1n25總體方差假設檢驗（ 1） 單一正態(tài)總體方差的假設檢驗檢驗統(tǒng)計量為：2 n 1 s220n22xix2其中： si 1為的估計量。n 1（ 2） 兩個正態(tài)總體的方差假設檢驗檢驗統(tǒng)計量為：F s12 s22n12n22xxxx2i 1i2i 1i其中：；。s1n11s2n21公式三1. 單因素方差分析設總體共分為k 種處理進行觀察，第j 種處理試驗了容量為nj 的樣本。（ 1） 計算各項離差平方和在單因素方差分析中，需要計算的離差平方和有 3 個，它們分別是總離差平方和， 誤差項

11、離差平方和以及水平項離差平方和?？傠x差平方和 ，用 SST（Sum of Squares for Total）代表：n j2kSSTxij xi 1j 1式中： x 表示全部樣本觀測值的總均值。其計算公式為：xijxn誤差離差平方和 ，用 SSE（ Sum of Squares for Error）代表：n jk2SSExijxji 1j1njxij式中： xj 表示第 j 種水平的樣本均值，x ji 1n j水平項離差平方和 。為了后面敘述方便，可以把單因素方差分析中的因素稱為A。于是水平項離差平方和可以用 SSA（Sum of Squares for Factor A）表示。njk2SSA

12、的計算公式為：SSAx jxi 1j 1（ 2） 計算平均平方用離差平方和除以自由度即可得到平均平方和（Mean Square）。對 SST來說，其自由度為（ n-1 ）；對 SSA來說，其自由度為（ r-1 ），這里 r 表示水平的個數(shù)；對SSE來說，其自由度為（ n-r ）。與離差平方和一樣， SST、SSA、SSE之間的自由度也存在著如下的關系：n-1= （r-1 ） +（ n-r ）對于 SSA，其平均平方 MSA（組間均方差）為：SSAMSA1r對于 SSE，其平均平方 MSE（組內均方差）為：SSEMSErn（ 3） 檢驗統(tǒng)計量 FMSAFMSE2兩因素方差分析設兩個因素 A、B

13、分別有 k 個水平和 n 個水平，共進行nk 次試驗。（ 1） 計算各項離差平方和在兩因素方差分析中，需要計算的離差平方和有 4 個，它們分別是總離差平方和， 誤差項離差平方和以及水平 A、B 項離差平方和。2總離差平方和 ，用 SST（Sum of Squares for Total）代表：SSTxijx式中： x 表示全部樣本觀察值的總均值，其計算公式為：1n kxxijnk i 1 j 1水平項離差平方和 可以分別用 SSA（Sum of Squares for Factor A）和 SSB（ Sum of Squaresfor Factor B）表示。nk2SSA的計算公式為：SSAx

14、? jxi 1j1式中：1nx? jxijn i1SSB的計算公式為：nk2SSBi1j 1xi ? x式中：1kxijxi ?kj1誤差離差平方和 ，用 SSE（ Sum of Squares for Error）代表：nk2SSExij xi ? x? j xi 1j 1（ 2） 計算平均平方用離差平方和除以自由度即可得到平均平方和（MeanSquare）。對 SST來說，其自由度為（ nk-1 ）；對 SSA來說，其自由度為（ k-1 ），這里 k 表示水平 A 的個數(shù)；對 SSB來說，其自由度為（ n-1 ），這里 n 表示水平 B 的個數(shù)；對 SSE來說，其自由度為（ n-1 ）（k-1 ）。這樣，把各項離差平方和