21二次根式知識點+典型例題+習(xí)題

1、21.1二次根式知識點1. 二次根式的相關(guān)概念： 像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子， 我們就把它稱二次根式。因此，一般地，我們把形如 a （a0）的式子叫做二次根式，“ ” 稱為二次根號。二次根式 a 的特點：（ 1）在形式上含有二次根號，表示 a的算術(shù)平方根。（ 2）被開方數(shù) a 0，即必須是非負(fù)數(shù)。（ 3） a 可以是數(shù)，也可以是式。（ 4）既可表示開方運算，也可表示運算的結(jié)果。2. 二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)： (1) 被開方數(shù)不小于零。(2) 分母中有字母時，要保證分母不為零。3. 二次根式的相關(guān)等式：a 2a (a0)a 2aa(a0)a(a 0)相關(guān)例題1. 二次根式的概念

2、例題一： 下列各式中15,3 ,b21,a2b2 ,m220,144 ， 二次根式的a個數(shù)是（）考點：二次根式的概念分析：二次根式的被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)，找到根號內(nèi)為非負(fù)數(shù)的根式即可解答：解： 3a， b21 有可能是負(fù)數(shù)， -144是負(fù)數(shù)不能作為二次根式的被開方數(shù)，所以二次根式的個數(shù)是3 個。點評：本題考查二次根式的概念， 注意利用一個數(shù)的平方一定是非負(fù)數(shù)這個知識點變式一 : 下列各式中， a ， yz ， a6 ， a 23 ， x 26x 9 ，x 2 1 一定是二次根式的有 () 個。解：被開方數(shù)a 有可能是負(fù)數(shù)，不一定是二次根式；被開方數(shù) y+z 有可能是負(fù)數(shù)，不一定是二次根式；被開方

3、數(shù) a 6 一定是非負(fù)數(shù)，所以一定是二次根式；被開方數(shù)a 23 一定是正數(shù)，所以一定是二次根式；被開方數(shù)x 26x9( x3) 2 一定是非負(fù)數(shù)，所以一定是二次根式；被開方數(shù)x 21有可能是負(fù)數(shù)，不一定是二次根式；一定是二次根式的有3個，故選 C點評：用到的知識點為： 二次根式的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；一個數(shù)的偶次冪一定是非負(fù)數(shù)，加上一個正數(shù)后一定是正數(shù)2. 二次根式中字母的取值范圍的基本依據(jù)例題二：函數(shù) y=1中自變量 x 的取值范圍是 _ x3考點：函數(shù)自變量的取值范圍； 分式有意義的條件； 二次根式有意義的條件分析：根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0，列不等式即可

4、求解 解答： 解：依題意，得 x30，解得 x3點評： 本題考查的是函數(shù)自變量取值范圍的求法 函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：（ 1）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是整式時，自變量可取全體實數(shù)； （ 2）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是分式時，考慮分式的分母不能為 0；（3）當(dāng)函數(shù)表達(dá)式是二次根式時，被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)變式二：若式子x1 有意義，則x 的取值范圍是_x考點：二次根式有意義的條件；分式有意義的條件分析：根據(jù)二次根式及分式有意義的條件解答即可解答： 解：根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知： x+10，即 x 1，又因為分式的分母不能為 0，所以 x 的取值范圍是 x 1 且 x0點評：此題主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)：概念：

5、式子a （a0）叫二次根式；性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)， 否則二次根式無意義； 當(dāng)分母中含字母時，還要考慮分母不等于零3. 二次根式的相關(guān)等式例題三：對任意實數(shù)a，則下列等式一定成立的是（）a aa2aa2aa 2aABCD考點：二次根式的性質(zhì)與化簡專題：計算題分析：根據(jù)二次根式的化簡、 算術(shù)平方根等概念分別判斷解答：解：A、a 為負(fù)數(shù)時，沒有意義，故本選項錯誤；B、a 為正數(shù)時不成立，故本選項錯誤；C、a 2a ，故本選項錯誤D、故本選項正確故選 D點評： 本題考查了二次根式的化簡與性質(zhì)，正確理解二次根式有意義的條件、算術(shù)平方根的計算等知識點是解答問題的關(guān)鍵練習(xí)題 1 下列式子，

6、 哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2 、 3 3 、 1 、x（ x0）、x02、當(dāng) x 是多少時，3、當(dāng) x 是多少時，3x1 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？2x3 +1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？x14、下列式子中，是二次根式的是（）A -7B 3 7CxD x5下列式子中，不是二次根式的是（）1A4B16C8D6已知一個正方形的面積是5，那么它的邊長是（）A 5 B 5 C 1D 以上皆不對57 形如 _的式子叫做二次根式8 面積為 a 的正方形的邊長為 _9負(fù)數(shù) _平方根10、計算1（ x 1 ） 2（ x 0）2（ a2 ） 23（ a22a 1 ） 24 （ 4x2 12x 9 ） 2課后作業(yè)1某

7、工廠要制作一批體積為 1m 3 的產(chǎn)品包裝盒，其高為 0.2m，按設(shè)計需要， 底面應(yīng)做成正方形，試問底面邊長應(yīng)是多少？2當(dāng) x 是多少時，2x3x+x2 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？3若 3x +x3 有意義，則x 2 =_4.使式子( x5)2有意義的未知數(shù) x 有（）個A 0B1C 2D無數(shù)5.已知 a、 b 為實數(shù)，且a 5 +2102a=b+4，求 a、b 的值6、計算（ 1）（9 ） 2（ 2） -（3） 2（ 3）（16 ） 2（4）（ -32 ） 223(5)(233 2)(2332)練習(xí)題與課后作業(yè)答案練習(xí)題 1、 解：二次根式有：2 、x （ x0）、0 、- 2 、 xy （ x

8、0， y 0）；不是二次根式的有：3 3、1 、 4 2 、1xxy2、 解：由3x-1 0，得： x1 ， 當(dāng) x 1 時，3x 1 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義333、 解：依題意，得2x30x10由得： x -32由得： x -1當(dāng) x -3 且 x-1 時，2 x3 +1在實數(shù)范圍內(nèi)有意義2x14A 5 D 6 B7 a （ a0）8a9沒有10、解：（ 1）因為 x0，所以 x+10（ x 1） 2=x+1（ 2） a2 0，（a2 ） 2=a2（ 3） a2+2a+1=（ a+1）2又（ a+1） 2 0， a2+2a+1 0 ，a22a1 =a2+2a+1（ 4） 4x2-12x+9=（2

9、x） 2-2 2x3+32=（ 2x-3）2又（ 2x-3） 20 4x2-12x+9 0，（4x212x9）2=4x2-12x+9作業(yè)題1設(shè)底面邊長為 x，則 0.2x2=1，解答： x=5 2x30x322依題意得：0，xx0當(dāng) x- 3 且 x 0 時，2x3 x2 在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義2x13.34 B5 a=5， b=-4、（ ）（9）2（） （3）2（16）2 1 6= 36=9=-3）（=12-3224（4 ）（ -3 2） 2=92=6(5)-63321.2 二次根式的乘除法知識點1. 二次根式的乘法a bab ( a0, b0)aba b ( a0, bo)2. 二次根式的除

10、法有兩種常用方法：（ 1）利用公式：aa (a 0,b 0)bbaa (a0, b0)b b（ 2）把除法先寫成分式的形式，再進(jìn)行分母有理化運算。3. 化簡二次根式的步驟：（ 1）將被開方數(shù)盡可能分解成幾個平方數(shù)。（ 2）應(yīng)用abab（ 3）將平方式（或平方數(shù)）應(yīng)用 a 2 a( a 0) 把這個因式（或因數(shù)）開出來，將二次根式化簡。相關(guān)例題二次根式的乘法及其化簡例 4計算（ 1） 5 7（ 2）1 9（ 3） 9 27（4）1 632分析： 直接利用a b ab （ a0，b 0）計算即可解：（1 ） 5 7=35（2）1 9 =19 =333（3） 9 27 = 9 2792 3 =9 3

11、（4）1 6 =16 = 322變式四化簡（1） 9 16（2） 1681（ 3） 81 100（4） 9x2 y2（ 5）54分析：利用ab =a b （ a 0， b 0）直接化簡即可解：（1 ）916= 9 16 =3 4=12（ 2） 16 81 =16 81 =49=36（ 3） 81100 = 81 100 =910=90（ 4） 9x2 y2=32x2 y2= 32x2 y2=3xy（ ）54 =96 =26=3653二次函數(shù)的除法及其化簡例題五 計算：（ 1）12（ 2）31（3）11（ 4）643284168分析 ：上面4 小題利用a =a （ a 0， b0）便可直接得出答

12、案bb解：（ 1）12=124 =23=3（ 2）31=3133 4 = 3 =2 3282882（3）11 =1 11 16 =4 =24164164（4）64648 =2 28=8變式五化簡：3（ 2）64b29x5x（ 1）9a2（ 3）（ 4）6464 y2169y2分析：直接利用a =a （ a0， b0）就可以達(dá)到化簡之目的bb解：（ 1）33364=8642264b64b8b（ 2）=9a29a23a9 x9x3 x（ 3）64y2 =64 y28 y（ 4）5x=5x5x169y2169 y213y練習(xí)題1計算1112）12的結(jié)果是（335A252C227BD772閱讀下列運算

13、過程：1333 ， 22 52533355553分母有理化 :(1)1=_;(2)1102=_;(3)=_.312254已知 x=3， y=4， z=5，那么yzxy 的最后結(jié)果是 _9x9x5. 已知6x6xx25x4，且 x 為偶數(shù)，求（ 1+x）2的值x16. 觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：1=1(21)212 -1，2 121)(21)2=(11=1(32)323 - 2 ，3(32)(32)3=22同理可得：1=4 -3 ，43從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算1+1+1+1）（2002 +1）的值（32420022132001答案1 A2

14、 C33;(3)102523 (1);(2)652526215435.分析 ：式子a =a ，只有 a0， b0 時才能成立bb因此得到 9-x0 且 x-60，即 6x9，又因為x 為偶數(shù)，所以x=89x0x9解：由題意得60，即6xx 60， n0）m2m3mm32m3（2） -33m23n2（ 3m n）a2（ a0）2a22a2m n6已知 a 為實數(shù)，化簡：a3-a1，閱讀下面的解答過程，請判斷是否正確？若不正a確， 請寫出正確的解答過程：解：3-a1=aa1a=（a-1）aaa-aa7若 x、 y 為實數(shù)，且 y=x244x21 ，求xy g x y 的值x2答案 1 x x2y2

15、2 -a 13.分析 ：式子a =a ，只有 a0， b0 時才能成立bb因此得到 9-x0 且 x-60，即 6x9，又因為 x 為偶數(shù)，所以 x=89x0x 9解：由題意得，即x60x6 6x 9 x 為偶數(shù) x=8( x4)( x1)原式 =（ 1+x）(x1)(x1)x4=（ 1+x）1xx4(1x)( x 4)=（ 1+x）=( x1)當(dāng) x=8 時，原式的值 =4 9 =64設(shè)：矩形房梁的寬為x（ cm），則長為3 xcm，依題意，得：（3 x） 2+x2=（ 315 ） 2，315（cm），4x2=9 15，x=21352323 x x= 3 x =4（ cm）5（1）原式 -n

16、n4n3 =-nn42m32525nm2m2mm2mnn3nnn2=- m2m2m2mn =- m3n3(mn)(mn)a 2a23a2（ 2）原式 =-22a2mnm=-2=- 6 an26不正確，正確解答：a30因為10，所以 a0，a原式aga2aa a2aaaa-a2=-a+=(1-a)a-aa2x240 x-4=0， x=2，但 x+2 0， x=2， y=17x2044 x y x yx2y24163.16421.3 二次根式的加減法知識點1. 同類二次根式：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。2. 二次根式加減運算的步驟： ( 一化

17、，二找，三合并 ) （ 1）將每個二次根式化為最簡二次根式。（ 2）找出其中的同類二次根式。（ 3）合并同類二次根式。3. 二次根式的混合運算：原來學(xué)習(xí)的運算律（結(jié)合律、交換律、分配律）仍然適用。相關(guān)例題同類二次根式例題七計算（ 1） 8 + 18（ 2） 16x + 64x分析 ：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步， 將相同的最簡二次根式進(jìn)行合并解：（1 ） 8 +18 =22 +32 =（ 2+3）2 =52（ 2） 16 x +64x =4x +8x =（ 4+8）x =12x變式七 已知 4x2+y2 -4x-6y+10=0，求（2 x 9x +y2 x） -（ x

18、21-5xy ）的值3y3xx分析： 本題首先將已知等式進(jìn)行變形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（ y-3）2=0，即 x= 1 ， y=3其次，根據(jù)二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合并同2類二次根式，最后代入求值解：2+y2-4x-6y+10=0 4x2-4x+1+y2-6y+9=0 （ 2x-1） 2+（ y-3） 2=0 x= 1 ， y=322x9x +y2x-x21y原式 =y3x+5x3x=2x x +xy -xx +5xy=xx +6xy當(dāng) x= 1 ， y=3 時，2原式 =113=2+3 6+62224注意（1）不是最簡二次根式的，應(yīng)化成最簡二次根式；

19、（ 2）相同的最簡二次根式進(jìn)行合并二次根式的加減 計算 :例題八（ 1）（6 +8 ）3（ 2）（ 4 6 -32 ） 2 2分析 ：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運算規(guī)律，所以直接可用整式的運算規(guī)律解：（1 ）（ 6 +8 ）3 =6 3 +8 3= 18 +24 =32 +26解：（46 -32 ） 22 =46 22 -32 2 2=23 -32變式八已知 xb =2- xba ，其中 a、 b 是實數(shù)，且 a+b 0，a化簡x1x +x1x ，并求值x1xx1x分析 ：由于（x1 +x ）（x1 -x ） =1，因此對代數(shù)式的化簡，可先將分母有理化，再通過解含有字母系數(shù)的一元一次

20、方程得到x 的值，代入化簡得結(jié)果即可解：原式 =( x 1x ) 2( x 1 x ) 2x )( x 1+( x 1x ) ( x 1 x )( x 1 x )( x 1x) 2( x 1x )2=1)x+(x1)x( x=（ x+1） +x-2x( x1) +x+2x( x1)=4x+2xbxaa=2 -bb（x-b ） =2ab-a（ x-a ） bx-b2=2ab-ax+ a 2（ a+b）x= a2 +2ab+b2（ a+b）x=( ab)2 a+b 0 x=a+b原式 =4x+2=4（ a+b） +2二次根式的混合運算例題九下列運算正確的是（）A 255B 43271C182924

21、36D2考點：二次根式的混合運算。專題：計算題。分析：根據(jù)二次根式運算的法則，分別計算得出各答案的值，即可得出正確答案解答：解：A 25 5，故此選項錯誤；B 43 27 43 33 3 ，故此選項錯誤；C18 2 9 3，故此選項錯誤；324D24 2 6，故此選項正確故選： D點評： 此題主要考查了二次根式的混合運算，熟練化簡二次根式后，在加減的過程中，有同類二次根式的要合并；相乘的時候，被開方數(shù)簡單的直接讓被開方數(shù)相乘，再化簡；較大的也可先化簡，再相乘，靈活對待，1變式九 計算：21181 222考點：二次根式的混合運算；分式的混合運算；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪分析：（ 1）各項化為最簡根式、去絕對

22、值號、去括號，然后進(jìn)行四則混合運算即可；21解答：（ 1）1118222解：原式 = 3 222 12 = 3 2 1點評： 本題主要考察二次根式的混合運算，分式的混合運算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵在于首先對各項進(jìn)行化簡，然后在進(jìn)行運算練習(xí)題1.下列根式中，與3 是同類二次根式的是（）A.24B.12C.3D.1822.下面說法正確的是（）A. 被開方數(shù)相同的二次根式一定是同類二次根式B. 8 與 80 是同類二次根式C. 2 與 1 不是同類二次根式50D. 同類二次根式是根指數(shù)為 2 的根式3.一個三角形的三邊長分別為8cm, 12cm,18cm，則它的周長是cm 。4.已知 x32, y

23、32，則 x3 y xy 3_ 。5.計算： .112 .48 54 2 312 12 3 15483 13333 . 7 4 3 7 4 32. 122223 5 12 13 12 13答案 1.B2.A3.522 3； 4. 10；5.1 .23, 2 .4 3362, 3 .4565,4 .4 ；2課后作業(yè)4.下列根式中，是最簡二次根式的是（）A.0.2bB.12a12bC.x2y2D.5ab25.若 1px p 2 ，則44xx2x22x1化簡的結(jié)果是（）A.2x 1B.2x1 C. 3D. -36.若18x2xx 210 ，則 x 的值等于（）2xA. 4B.2C. 2D.47.若3

24、的整數(shù)部分為 x ，小數(shù)部分為 y ，則 3xy 的值是（）A.333B.3 C. 1D. 317. 計算及化簡：122aba b2 ab .1.aaababaaxyyxyxxy .yyxyxxyx . a 2ab baabbaabab babab18.3232，求x3xy22 3 的值。已知： x, y324y3232x2x yx y1.C 2.C 3.C 4.C 5.1 .4,2 .2b , 3 .2 xy；答案y, 4 .1x6. 5 ；二次根式單元練習(xí)題一、選擇題1使1有意義的 x的取值范圍是（）3 xx12一個自然數(shù)的算術(shù)平方根為a a0 ，則與這個自然數(shù)相鄰的兩個自然數(shù)的算術(shù)平方根

25、為（）（A） a1,a1（ B）a1,a1 （C）a21,a21 （D） a21,a213若 x0 ，則x2x 等于（）（A）0（B） 2x（C） 2x（D）0 或 2x4若 a0, b 0，則a3b 化簡得（）（ A） aab（ B） a ab（C） aab（D） a ab5若y11 y2的結(jié)果為（）ym ，則y（A） m22（ ） m22（ ）m 2（ ） m 2BCD6已知a,b是實數(shù)，且22ab2ba，則 a 與b 的大小關(guān)系是（）ab（A） a b（B） a b（C） ab（D） a b7已知下列命題：2 522 5 ； 3236 ； a22a 3 a 3 ； a2b2a b 3其中

26、正確的有（）（ A） 0 個（B）1 個（C） 2 個（D） 3 個8若 42m 與2m3 化成最簡二次根式后的被開方數(shù)相同，則m 的值為64（）（A） 20（B） 51（C） 13（ D） 15326889當(dāng)1時，化簡14a4a22a1等于（）a2（ C） a（A）2（B） 2 4a（D）010化簡4x24x12x23得（）（ ）2（ ） 4 x 4（ ） 2（D）4x 4ABC二、填空題11若 2x1 的平方根是5 ，則4x1_ 12當(dāng) x _ 時，式子53x 有意義x413已知：最簡二次根式4ab 與 a b23 的被開方數(shù)相同，則 ab_ 14若 x 是8 的整數(shù)部分， y 是8 的小數(shù)部分，則 x_ ，y_ 15已知2009xy ，且 0xy ，則滿足上式的整數(shù)對x, y 有 _若2x1_ 1x1，則 x 11617若 xy0，且x3 y2xyx 成立的條件是 _若，則1212等于 _0 x1x4418xxx三、解答題1 9計算下列各題：（1）1532016；53（2） 127a3a233aa4108a.3a3320已知 a2520065200725022 ，求 a24a22的值 21已知 x, y 是實數(shù)，且 yx 29x9x 22 ，求 5x6 y 的值 .322若2xy4 與 x2y1 2 互為相反數(shù)，求代數(shù)式x3x2 y1 y3 的值 .423若 、