九年級(jí)圓的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)、經(jīng)典例題與課后習(xí)題

1、圓一：【知識(shí)梳理】1. 圓的有關(guān)概念和性質(zhì)(1) 圓的有關(guān)概念圓：平面上到定點(diǎn)的距離 等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓， 其中定點(diǎn)為圓心，定長為半徑弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧， 簡(jiǎn)稱弧，大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑（2）圓的有關(guān)性質(zhì)圓是軸對(duì)稱圖形；其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心為圓心垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說，如果具備：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對(duì)的

2、優(yōu)?。黄椒窒宜鶎?duì)的劣弧。上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧：?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧 ，用符號(hào)“”表示，以 CD 為端點(diǎn)的弧記為“”，讀作“圓弧 CD”或“弧 CD”。半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。 )弧、弦、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；直徑所對(duì)的圓周角是直角； 90”的圓周角所對(duì)的弦是直徑等圓

3、：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.弦心距 :從圓心到弦的距離叫做弦心距.（3）對(duì)圓的定義的理解 ：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長）2. 與圓有關(guān)的角（1）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)（2）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別和圓相交的角，叫圓周角。圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半（3）圓心角與圓周角的關(guān)系：同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半（4）圓內(nèi)接四邊形：頂點(diǎn)都在圓上的四邊

4、形，叫圓內(nèi)接四邊形圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，它的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的對(duì)角3. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為 r，點(diǎn)到圓心的距離為 d，則點(diǎn)在圓上 d=r;點(diǎn)在圓內(nèi) dr;點(diǎn)在圓外 dr.其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等。4. 確定圓的條件 :1. 理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件 :圓心和半徑 ,圓心決定圓的位置 ,半徑?jīng)Q定圓的大小 .經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓,經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作無數(shù)個(gè)圓,其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上 .2. 經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種情況 :(1) 經(jīng)過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓 .(2)經(jīng)過不在同一

5、直線上的三點(diǎn),能且僅能作一個(gè)圓 .定理 : 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念:(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形:經(jīng)過一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓,這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形 .(2)三角形的外心 : 三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì) :三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.5. 直線與圓的位置關(guān)系1. 直線和圓相交、相切相離的定義 :(1)相交 :直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相交 ,這時(shí)直線叫做圓的割線 .(2)相切 :直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí),叫做直線和圓相切 ,這時(shí)直線叫做圓的切線

6、 ,惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn) .(3)相離 : 直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí) ,叫做直線和圓相離 .2. 直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征 :設(shè) O的半徑為 r，圓心 O到直線的距離為 d； dr 直線 L 和 O 相交 . d=r 直線 L 和 O 相切 . dr 直線 L 和 O 相離 .3. 切線的總判定定理 :經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線.4. 切線的性質(zhì)定理 :圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.推論 1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn).推論 2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心.分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系,可得如下結(jié)論 :如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩

7、個(gè),就可推出第三個(gè) .垂直于切線 ;過切點(diǎn) ;過圓心.5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念 .和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓 ,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心, 這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形 .6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì) :(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.(2)過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線:連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn),該線平分三角形的這個(gè)內(nèi)角.6. 圓和圓的位置關(guān)系 .1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含 (包括同心圓 )這五種位置關(guān)系的定義 .(1)外離 : 兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn) ,并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí),叫做這兩個(gè)圓外離 .

8、(2)外切 : 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外,每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí) , 叫做這兩個(gè)圓外切 .這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(3)相交 : 兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn) ,此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交.(4)內(nèi)切 : 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外,一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí) ,叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切 .這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(5)內(nèi)含 : 兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn) , 并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí) ,叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含 .兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個(gè)特例 .2. 兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定 :(1)兩圓外離 dR+r(2)兩圓外切 d=R+r(3)兩圓相交 R-rdR+r (R

9、r)(4)兩圓內(nèi)切 d=R-r (Rr)(5)兩圓內(nèi)含 dr)3. 相切兩圓的性質(zhì) :如果兩個(gè)圓相切 ,那么切點(diǎn)一定在連心線上.4. 相交兩圓的性質(zhì) :相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.7. 圓內(nèi)接四邊形若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上 ,這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形 ,這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓 .圓內(nèi)接四邊形的特征 : 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) ; 圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)錯(cuò)角 .8. 弧長及扇形的面積1. 圓周長公式 :圓周長 C=2R (R 表示圓的半徑 )2. 弧長公式 :弧長 ln R (R 表示圓的半徑 , n 表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù) )1803. 扇形定義 :一條弧和經(jīng)

10、過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.4. 弓形定義 :由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形.弓形弧的中點(diǎn)到弦的距離叫做弓形高.5. 圓的面積公式 .圓的面積 SR2(R 表示圓的半徑 )6. 扇形的面積公式 :扇形的面積 S扇形n R2(R 表示圓的半徑 , n 表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù) )360弓形的面積公式 :(如圖 5)ABOOOABABCCC圖 5(1)當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí) , S弓形S扇形 S三角形(2)當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí) , S弓形S扇形S三角形(3)當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí) , S弓形1 R2S扇形2二、例題解析【例題 1】如圖 1， O 是 ABC 的外接圓， AB

11、 是直徑，若BOC 80 ，則A等于（ ）A 60oB50oC40oD30oADOOACBCB圖 1圖 2圖 3【例題 2】如圖 2，以 O 為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB 與小圓相切于點(diǎn)C，若大圓半徑為10cm，小圓半徑為 6cm，則弦 AB 的長為cm【例題 3】如圖 3， ABC內(nèi)接于 O，AB=BC， ABC=120， AD為 O的直徑，AD6，那么 BD_【例題 4】如圖 4 已知 O的兩條弦 AC，BD相交于點(diǎn)oo，那E， A=70， c=50么 sin AEB的值為（）A.1B.3C. 2D.32322圖 4【例題 5】如圖 5，半圓的直徑 AB10 ，點(diǎn) C 在半圓上， B

12、C6（ 1）求弦 AC 的長；（ 2）若 P 為 AB 的中點(diǎn)， PE AB 交 AC 于點(diǎn) E，求 PE 的長CEABP（圖 8）三、課堂練習(xí)1、如圖 6，在 O 中， ABC=40，則 AOC度ACCOS1S2BCABOBA圖 6圖 7圖 82、如圖 7，AB 是 O 的直徑， AC 是弦，若 ACO = 32，則 COB 的度數(shù)等于3、已知 O 的直徑 AB=8cm，C 為 O 上的一點(diǎn)， BAC=30o，則 BC=_cm.4、如圖 8，已知在 Rt ABC 中， ACB Rt ， AB4 ，分別以 AC ， BC 為直徑作半圓，面積分別記為 S1 ， S2 ，則 S1 + S2 的值等

13、于5、如圖 9， O 的半徑 OA 10cm， P 為 AB 上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P 到圓心 O 的最短距離為 _cm。圖 96、如圖 10，在 O 中， ACB= BDC=60，AC=2 3cm ，（1）求 BAC 的度數(shù)；（2）求 O 的周長7、已知：如圖 11， O 的直徑 AB 與弦 CD 相交于，弧 BC弧 BD， O 的切線 BF 與弦 AD 的延長線相交于點(diǎn) F(1)求證 :CD BF3(2)連結(jié) BC,若 O 的半徑為 4,cosBCD= , 求線段 AD、CD的長48、如圖 12，在 ABC 中，AB=BC ，以 AB 為直徑的 O與 AC 交于點(diǎn) D，過D 作 DFBC，交 A

14、B 的延長線于 E，垂足為 F(1)求證：直線 DE 是 O 的切線；(2)當(dāng) AB=5 ，AC=8 時(shí)，求 cosE 的值圖 12四、經(jīng)典考題解析1. 如圖 13，在 O中，已知 A CB CDB60 ，AC 3，則 ABC的周長是_.圖 13圖 14圖 152. “圓材埋壁”是我國古代九章算術(shù)中的問題： “今有圓材，埋在壁沖，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，間徑幾何” 用數(shù)學(xué)語言可表述為如圖 14，CD為 O 的直徑，弦 ABCD于點(diǎn) E，CE1 寸， AB=10寸，則直徑 CD的長為（）A 125 寸B 13 寸C 25 寸D 26 寸CD3. 如圖15，已知 AB是半圓O的直徑

15、，弦AD和BC相交于點(diǎn)P，那么 AB 等于（）A sin BPD BcosBPDC tan BPDD cot BPD4. O的半徑是 5，AB、CD為 O的兩條弦，且 ABCD， AB=6， CD=8，求 AB 與 CD之間的距離5. 如圖 16，在 M中，弧 AB 所對(duì)的圓心角為 1200，已知圓的半徑為建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C是 y 軸與弧 AB的交點(diǎn)。（ 1）求圓心 M的坐標(biāo)；（ 2）若點(diǎn) D 是弦 AB所對(duì)優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形 ACBD的最大面積2cm，并YDMAO B X C圖 16五、課后訓(xùn)練1.如圖 17，在 O中，弦 AB=1.8cm，圓周角 ACB=30 ，則 O的直

16、徑等于_cm圖 17圖 18圖 192. 如圖 18，C 是 O上一點(diǎn)， O是圓心若 C=35，則 AOB的度數(shù)為（ ）A 35B 70C 105D1503. 如圖 19， O內(nèi)接四邊形 ABCD中，AB=CD，則圖中和 1 相等的角有 _4. 在半徑為 1 的圓中，弦 AB、AC分別是 3 和 2 ，則 BAC的度數(shù)為多少？5. 如圖 20，弦 AB的長等于 O的半徑，點(diǎn) C在 O上，則 C 的度數(shù)是 _.圖20圖21圖226. 如圖21，四邊形ABCD內(nèi)接于 O，若 BOD=100，則 DAB的度數(shù)為（）A 50B80C 100D 1307. 如圖 22，四邊形 ABCD為 O的內(nèi)接四邊形

17、， 點(diǎn) E 在 CD的延長線上， 如果BOD=120，那么 BCE等于（）A 30B60C 90D1208. 如圖， O的直徑 AB=10，DE AB于點(diǎn) H，AH=2（ 1）求 DE 的長；（ 2）延長 ED到 P，過 P作 O的切線，切點(diǎn)為 C，若 PC=22 5 ，求 PD的長九年級(jí)數(shù)學(xué)圓練習(xí)題一、填空題：（21 分）1、如圖，在 O中，弦 AB OC， AOC 115，則BOC =_2、如圖，在 O中， AB是直徑， C15 ，則 BAD =_3、如圖，點(diǎn) O是 ABC 的外心，已知OAB40 ，則 ACB =_AADOOCOAOABBBCC（1 題圖）（2 題圖）（3 題圖）（4 題

18、圖）4、如圖， AB是 O的直徑，弧 BC=弧 BD， A25 ，則 BODCAOAOBBODA PBC（5 題圖）（6 題圖）（7 題圖）5、如圖， O的直徑為 8，弦 CD垂直平分半徑 OA，則弦 CD6、已知 O的半徑為 2cm，弦 AB2cm， P 點(diǎn)為弦 AB上一動(dòng)點(diǎn)，則線段OP的范圍是7、如圖，在 O中， B=50o， C=20o，則 BOC的=_二、解答題（ 70 分）1、如圖，AB是 O的直徑 . 若 ODAC，BD 的大小有什么關(guān)系？為什么？DCBDCBAO2、已知：如圖，在 O中，弦 AB=CD求.證：弧 AC=弧 BD； AOC= BODODACB3、如圖，已知： O中，

19、 AB、CB為弦， OC交 AB于 D，求證：（1） ODBOBD，（ 2） ODBOBC；OADBC4、已知如圖， AB、AC為弦， OMAB于 M， ONAC于 N， MN是 ABC的中位線嗎？AMNOB5、已知如圖， AB、CD是 O的直徑， DF、 BE是弦，且 DF=BE，求證： D=BCAFEOBD6、已知如圖， AB是 O的直徑， C是 O上的一點(diǎn)， CDAB于 D，CE平分 DCO，交 O于 E，求證：弧 AE=弧 EBCADOBE7、如圖，已知 ABC，AC=3，BC=4， C=90，以點(diǎn) C為圓心作 C，半徑為 r .(1) 當(dāng) r 取什么值時(shí)，點(diǎn) A、B 在 C外.(2) 當(dāng) r 在什么范圍時(shí)，點(diǎn) A 在 C內(nèi)，點(diǎn) B 在 C 外.(2) 當(dāng) r 在什么范圍時(shí)， C與線段 AB相切。ACB三、計(jì)算下列各題：（ 40 分）1、如圖，已知 AB為 O的直徑， AC為弦，