經(jīng)典)高中數(shù)學(xué)最全數(shù)列總結(jié)及題型精選

1、高中數(shù)學(xué)：數(shù)列及最全總結(jié)和題型精選一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列； 數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作an ，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第 1 項(xiàng)（或首項(xiàng)） ，在第二個(gè)位置的叫第 2項(xiàng)，序號(hào)為 n 的項(xiàng)叫第 n項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作 an ；數(shù)列的一般形式：a1，a2，a3， an ，簡(jiǎn)記作an 。2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列an的第 n項(xiàng)與 n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如： 1 ，2 ，3 ， 4，：說(shuō)明：111， ，231145 a n 表示數(shù)列，an 表示數(shù)列中的第 n 項(xiàng)， a n =f n 表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；9n 1

2、, n 2k 1an = ( 1) = (k Z ) ；1, n 2k1.41 ， 1.414 ，S1(n 1)Sn Sn 1(n 2) 同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如， 1， 1.4 ，（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集 N （或它的有限子集）的函數(shù) f （ n ）當(dāng)自變量 n從 1開(kāi)始 依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值 f（1）, f （2）, f（3）, ， f （ n ） ，通常用 an來(lái)代替 f n ，其圖象是 一群孤 立點(diǎn) 。（4）數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之

3、間的大小關(guān)系 分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？ （1）1，2，3，4，5，6，（2）10, 9, 8, 7, 6, 5,（3） 1, 0, 1, 0, 1, 0,（4）a, a, a, a, a,5）數(shù)列 an的前n項(xiàng)和 Sn與通項(xiàng) an的關(guān)系：二、等差數(shù)列（一） 、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 d 表示。用遞推公式表示為 an an 1 d （n 2） 或 an 1 an d （n 1）例：等差數(shù)列

4、 an 2 n 1 ， an a n 1（二） 、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： an a1 （n 1）d ；說(shuō)明：等差數(shù)列（通?？煞Q為 A P 數(shù)列）的單調(diào)性： d 0 為遞增數(shù)列， d 0 為常數(shù)列， d 0 為遞減數(shù)列。例：1. 已知等差數(shù)列a n 中， a 7 a 9 16 ， a 4 1，則a 12 等于（ ）A15 B 30 C 31 D 642. an 是首項(xiàng) a1 1 ，公差 d 3 的等差數(shù)列，如果an 2005，則序號(hào) n 等于（A）667（ B）668（ C）669（D）6703.等差數(shù)列 a n2n 1, b n 2n 1 ，則 a n 為bn為（填“遞增數(shù)列”或“遞減數(shù)列”）（

5、三） 、等差中項(xiàng)的概念：定義：如果 a ， A ， b 成等差數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的等差中項(xiàng)。其中 Aaba， A ，b 成等差數(shù)列例：1（ 06 全國(guó) I ）設(shè) aA120B（四） 、等差數(shù)列的性質(zhì)：1）abA2 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，C即： 2a n 1an2 ana n m a n m10590a2 a 3 15 ，Da1a2a3 80 ，則 a1a12 1a375在等差數(shù)列中，從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列；3）在等差數(shù)列中，對(duì)任意 m ，N ， anam ( n m) d ，a n am(m n) ；

6、 nm4）在等差數(shù)列中，若 m ， n ，p，q N 且 m n p q，則 am an ap aq ；（ 五 ） 、等差數(shù)列的前n 和的求和公式：Snn(a1 an )n( n 1) 1 na 1d222d n ( a 1 ) 2n。2( S n An 2 Bn（A, B為常數(shù) ）a n 是等差數(shù)列遞推公式： S(a1 an)n (am an (m 1) )n例： 1. 如果等差數(shù)列an 中， a3 a 4a5 12 ，那么 a1 a 2 . a 7A) 14B) 21C）28D)352. （2009 湖南卷文）設(shè) Sn 是等差數(shù)列an 的前 n項(xiàng)和，已知 a2 3，a6 11，則 S7等于

7、（ ）A133549 633. （ 2009全國(guó)卷理） 設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，若 S9 72 ,則a2 a 4 a 94. 若一個(gè)等差數(shù)列前 3 項(xiàng)的和為 34，最后 3 項(xiàng)的和為 146，且所有項(xiàng)的和為A.13 項(xiàng) B.12 項(xiàng) C.11 項(xiàng)390，則這個(gè)數(shù)列有（D.10 項(xiàng)5.已知等差數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和為S n ，若 S1221，則a 2 a 5 a 8 a 116.2009 全國(guó)卷理）設(shè)等差數(shù)列a n 的前 n項(xiàng)和為 SnS9，若 a5 5a 3 則5 3 S57.已知 a n 數(shù)列是等差數(shù)列，a 1010 ，其前10 項(xiàng)的和S10 70 ，則其公差d 等于

8、 ( )2 A31B3C.D.3a8. （ 2009陜西卷文）設(shè)等差數(shù)列 a的前 n項(xiàng)和為 sn,若a6s3 12 ,則an9（00 全國(guó)）設(shè) an為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和，已知 S77，S1575， Tn為數(shù)列Sn的前 n 項(xiàng)和，求 Tn。（六） .對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列：1）若項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有2n 項(xiàng)，則 S 偶 S 奇 nd ；S奇S偶2）若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有2n 1項(xiàng)，則 S 奇 S 偶 aS偶n1S則 S6 3S1 2ABD1. 一個(gè)等差數(shù)列共 2011項(xiàng)，求它的奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比 2. 一個(gè)等差數(shù)列前 20 項(xiàng)和為 75，其中奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比1：2，求公差

9、d3. 一個(gè)等差數(shù)列共有 10 項(xiàng)，其偶數(shù)項(xiàng)之和是 15，奇數(shù)項(xiàng)之和是 25 ，則它的首項(xiàng)與公差分別是 2 （七） .對(duì)與一個(gè)等差數(shù)列， Sn,S2n Sn ,S3n S2 n仍成等差數(shù)列。 例： 1.等差數(shù)列 an的前 m項(xiàng)和為 30，前 2m項(xiàng)和為 100，則它的前 3m項(xiàng)和為（）A.130 B.170 C.210 D.260 2.一個(gè)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)的和為 48，前 2n 項(xiàng)的和為 60，則前 3n 項(xiàng)的和為。3已知等差數(shù)列 a n 的前 10 項(xiàng)和為 100，前 100 項(xiàng)和為 10，則前 110 項(xiàng)和為4.設(shè) Sn 為等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和， S4 14， S10 S7 3

10、0，則 S9 =S5（ 06全國(guó) II ）設(shè) Sn是等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和，若 S3 S610（八） 判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法： 定義法：an 1 an d （常數(shù)）（ n N ）an 是等差數(shù)列 中項(xiàng)法：2a n 1 a n an 2 （ n N ） a n 是等差數(shù)列 通項(xiàng)公式法：a n kn b（ k,b為常數(shù) ）a n 是等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式法：Sn n2An Bn（ A, B 為常數(shù))a n 是等差數(shù)列例： 1.已知數(shù)列 a n 滿足 a n a n 12，則數(shù)列 an 為 （ ）A.等差數(shù)列B. 等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷2.已知數(shù)列

11、a n 的通項(xiàng)為 a n2 n 5 ，則數(shù)列 a n 為 （ ）A.等差數(shù)列B. 等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷3.已知一個(gè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 sn2 n4 ，則數(shù)列 a n 為（）A.等差數(shù)列B. 等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷4.已知一個(gè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 sn22n ，則數(shù)列 a n 為（ ）A.等差數(shù)列B. 等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷5.已知一個(gè)數(shù)列 an 滿足 an 22an 1 an 0 ，則數(shù)列 an 為（）A.等差數(shù)列B. 等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷6.數(shù)列 an 滿

12、足 a1=8，a42，且 an 2 2an 1 a n 0 （n N ）求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式；7（ 01天津理， 2）設(shè) Sn是數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和，且 Sn=n2，則 an是（）A. 等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B. 等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C. 等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D. 既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列（九） .數(shù)列最值（1） a1 0 ， d 0 時(shí)， S n 有最大值； a1 0 ， d 0 時(shí)， Sn 有最小值；2（2） Sn 最值的求法：若已知 Sn ， Sn 的最值可求二次函數(shù) Sn an 2 bn 的最值；可用二次函數(shù)最值的求法（ n N ）；或者求出 a n 中的正、負(fù)分界

13、項(xiàng)，即：a n 0 a n 0 若已知 an ，則 S n 最值時(shí) n 的值（ n N ）可如下確定 或 。a n 1 0 a n 1 0例： 1等差數(shù)列 an 中，a1 0，S9 S12 ，則前 項(xiàng)的和最大。2 設(shè)等差數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和為 S n ，已知a 3 12 ， S12 0， S13 0求出公差 d 的范圍，指出 S1， S2， ，S12 中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由。3（02上海）設(shè) an（ n N*）是等差數(shù)列， Sn是其前 n 項(xiàng)的和，且 S5S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 （）A.dS5D.S6與 S7均為 Sn的最大值4已知數(shù)列 an 的通項(xiàng) n 98 （n N ），則數(shù)

14、列 an 的前 30 項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是n 995.已知 an 是等差數(shù)列，其中 a1 31，公差 d 8。（1）數(shù)列 an 從哪一項(xiàng)開(kāi)始小于 0？（2）求數(shù)列 an 前n 項(xiàng)和的最大值，并求出對(duì)應(yīng) n的值( 十). 利用 anS1(n 1) 求通項(xiàng)Sn Sn 1 (n 2)1.數(shù)列an的前 n項(xiàng)和Sn n 1 （ 1）試寫出數(shù)列的前 5項(xiàng)；（2）數(shù)列 an 是等差數(shù)列嗎？（ 3）你能寫出數(shù)列an 的通項(xiàng)公式嗎？2.設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn=2n2，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；3. （2010 安徽文）設(shè)數(shù)列 a n 的前 n 項(xiàng)和 Sn2n ，則 a8 的值為（ ）( A)

15、15(B) 16(C) 49（D）644、 2005 北京卷）數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 a1=1， a n 1 1 Sn ，n=1， 2，3， 3，求 a2， a3， a4 的值及數(shù)列an 的通項(xiàng)公式三、等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起 ，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù) ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列， 這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母 q表示 （q 0），即： an 1：an q（q 0）（一） 、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式遞推關(guān)系：a n 1 anq通項(xiàng)公式：n1a n a1 q推廣：anamnmq1 在等比數(shù)列 an 中, a1 4,q 2 ，則 a

16、n2 在等比數(shù)列 an 中, a7 12, q2 , 則 a193. （07重慶文）在等比數(shù)列 an中，a28，a164，則公比 q 為（ ） （A） 2（B）3（C）4（D）84. 在等比數(shù)列 a n 中， a 22 ， a5 54 ，則 a 8 =5. 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列 an 中，首項(xiàng) a1 3 ，前三項(xiàng)和為 21，則 a 3 a 4 a5 （ ）A 33 B 72 C 84 D 189（二） 、等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù) a , b , c成等比數(shù)列，則稱 b為a與 c的等比中項(xiàng)，且為 b ac，注： b2 ac 是成等 比數(shù)列的必要而不充分條件 .例： 1. 23 和 2 3 的等比中

17、項(xiàng)為 （ ）（ A）1（B） 1 （C ） 1 （ D ）22. （ 2009重慶卷文）設(shè) an 是公差不為 0的等差數(shù)列， a1 2且a1, a3 ,a 6成等比數(shù)列，則 an 的前 n項(xiàng)和Sn =()2n 7n2n 5n2 n3n 2ABCD nn443324(三) 、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，1. (1) 若 m n p q ，則am a na p a q ( 其中m,n, p,q N )2)nm q(n N )3) a n 為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列例： 1在等比數(shù)列4) a n 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 an 是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列an 中,a1和a10是方程 2x 5x

18、 1 0的兩個(gè)根 ,則a4 a7 (5(A)22(B)1(C)21(D)22. 在等比數(shù)列 an ，已知 a1 5 ，a9 a10 100 ，則 a18 =3.等比數(shù)列 an 的各項(xiàng)為正數(shù)，且a5a6 a4a7 18,則 log3 a1 log3a2log3a10 (A 12 B10 C 8 D 2+lo g 3 54. (2009 廣東卷理)已知等比數(shù)列an滿足 an0,n1, 2,，且 a 52na 2n 5 2 (n 3)，則當(dāng) n 1 時(shí)，lo g 2 a1 lo g 2 a3lo g 2 a2 n 1A.n(2n 1)2B. (n 1)C.2 nD.( n 1)(四)、等比數(shù)列的前

19、n 項(xiàng)和，na 1(q 1)Snna1 (1 qn) a1 a nq( q 1)1q1q例： 1.已知等比數(shù)列 an的首相 a1 5，公比 q 2，則其前 n項(xiàng)和 Sn2(2006年北京卷)設(shè) f (n) 2 24 27 210 23n 10(n N) ，則 f(n)等于( )2 n 2 n 1 2 n 3 2 n 4A (8n 1)B (8 n 1 1) C (8n 3 1) D (8 n 4 1)7 7 7 73(1996全國(guó)文， 21)設(shè)等比數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和為 Sn，若 S3S62S9，求數(shù)列的公比 q；( 五 ). 等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的性質(zhì)若數(shù)列 an 是等比數(shù)列， Sn 是

20、其前 n項(xiàng)的和，kN，那么 S k ，S2 k Sk ，S3k S2 k 成等比數(shù)列例：1. （2009 遼寧卷理）設(shè)等比數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn ，若S6S 3 =3 ，則S9S6A. 2 B.783 C. 3 D.32. 一個(gè)等比數(shù)列前n 項(xiàng)的和為 48 ，前 2 n 項(xiàng)的和為 60 ，則前 3n 項(xiàng)的和為（A 83 B 108 C 75 D 633. 已知數(shù)列 a n 是等比數(shù)列，且 Sm 10， S2m 30，則 S3m（六） 、等比數(shù)列的判定法1）定義法：an1 q （常數(shù)） ana n 為等比數(shù)列；（ 2）中項(xiàng)法： an 1 an an 2（an 0）a n 為等比數(shù)列；

21、（3）通項(xiàng)公式法： a n k q n （ k , q為常數(shù)） a n 為等比數(shù)列； （4）前 n項(xiàng)和法： Sn k（1 qn）（ k , q為常數(shù)） an 為等比數(shù)列。Sn k kq （ k, q為常數(shù)） a n 為等比數(shù)列。例： 1.已知數(shù)列 a n的通項(xiàng)為 an 2 n ，則數(shù)列 an為 （ ）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷2. 已知數(shù)列 a n2 滿足 a n 1 a nan2 (an 0) ，則數(shù)列 an 為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷3. 已知一個(gè)數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和 s n2 2n 1，則數(shù)列

22、an 為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無(wú)法判斷四、求數(shù)列通項(xiàng)公式方法（1）公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng) 例：1 已知等差數(shù)列 an 滿足： a3 7,a5 a7 26 ， 求 a22.等比數(shù)列 a n的各項(xiàng)均為正數(shù)，且 2a1 3a2 1，a32 9a2a6，求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式3.已知數(shù)列 an 滿足 a12，a2 4且an 2 an an1 （ nN ），求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；4. 已知數(shù)列 an滿足a1 2，且an1 5n 1 2（an5n） （n N ），求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；5. 數(shù)列已知數(shù)列 a n 滿足 a11,

23、an 4 an 1 1(n 1). 則數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式 =22)累加法1、累加法 適用于： an 1 an f ( n)a 2 a1 f (1)3n 211若 an 1 an f (n) (n 2) ，則a3 a 2 f (2)an 1 an f (n )n兩邊分別相加得 a n 1 a1f (n)k11例： 1.已知數(shù)列 an 滿足 a1 1 21，a n 1 a n 2 ，4 n 1求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。2. 已知數(shù)列 a n 滿足 a n 1 a n 2 n 1a1 1 ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。3. 已知數(shù)列 an 滿足 an 1 an 2 3 1， a1 3，求數(shù)列 an

24、 的通項(xiàng)公式。3)累乘法適用于：an 1f (n )anaa 若 an 1 f (n)，則 a2ana1(1)，a3f (2)， ana2f ( n)an兩邊分別相乘得，a n 1 aa1f (k )a1k1例： 1. 已知數(shù)列 an 滿足1 2(n1)5 n a n，a13 ，求數(shù)列 a n 的通項(xiàng)公式。2. 已知數(shù)列 a n 滿足 a1a n 1nanan3.已知 a1 3 ，3n 1(n 1) ，求 an 。4)待定系數(shù)法適用于 an 1 qan f ( n)例： 1. 已知數(shù)列 an 中， a1 1, an 2an 1 1(n 2) ，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式。2. (2006，重慶,文,14 )在數(shù)列 an 中，若a1 1,an 1 2an 3( n 1) ，則該數(shù)列的通項(xiàng) an 3.已知數(shù)列 an 滿足 a1 1, an 1 2an 1(n N ). 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；( 5)遞推公式中既有 Sn分析：把已知關(guān)系通過(guò) anS1,n 1 轉(zhuǎn)化為數(shù)列 an 或Sn 的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。Sn Sn 1 ,n 211. (2005北京卷)數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和為 Sn，且a1=1， an 1Sn，n=1，