地球流體力學(xué)：第二章 第一節(jié) 流體動力學(xué)

1、中國科學(xué)院大氣物理研究所中國科學(xué)院大氣物理研究所 大氣科學(xué)和地球流體力學(xué)數(shù)值模擬國家重點(diǎn)實(shí)驗室大氣科學(xué)和地球流體力學(xué)數(shù)值模擬國家重點(diǎn)實(shí)驗室 地球流體力學(xué)地球流體力學(xué) 第二章：基礎(chǔ)動力學(xué)第二章：基礎(chǔ)動力學(xué) 本章主要內(nèi)容 建立地球流體動力學(xué)的基本方程組，并給出它 們 常 用 的 近 似 形 式 ， 例 如 不 可 壓 近 似 、 Boussinesq近似、準(zhǔn)靜力近似和地轉(zhuǎn)近似等 章節(jié)內(nèi)容 2.1 流體動力學(xué) 2.2 海洋近似 2.3 大氣近似 2.4 地球的旋轉(zhuǎn)特性 2.1.1 描述方法描述方法 拉格朗日方法和歐拉方法 2.1.2 控制方程控制方程 動量方程 、連續(xù)方程、示蹤方程、內(nèi)能方程、熵和狀

2、態(tài)方程 2.1.3 初始條件和邊界條件初始條件和邊界條件 2.1.4 能量守恒能量守恒 2.1.5 散度、渦度和應(yīng)變率散度、渦度和應(yīng)變率 2.1 流體動力學(xué)流體動力學(xué) 2.1.1 描述方法 1）拉格朗日）拉格朗日 VS. 歐拉歐拉 拉格朗日方法：拉格朗日方法： 將流體看成由流體微團(tuán)（或質(zhì)點(diǎn)）組成的連續(xù)介質(zhì)，描述每個微團(tuán)的運(yùn)動，研究它的 空間位置及其物理屬性隨時間的變化。標(biāo)記流體微團(tuán)的變量稱為拉格朗日變數(shù)。通常 以每個微團(tuán)的初始位置坐標(biāo)作為其標(biāo)記，進(jìn)而將描述微團(tuán)屬性的物理量表示為初始位 置坐標(biāo)和時間的函數(shù)，即 歐拉方法：歐拉方法： 著眼于流動空間，描述任意時刻流動空間中各物理量的分布，將物理量表

3、示為空間位 置和時間的函數(shù)，即 ,(a),a qqt 為初始時刻微團(tuán)的位置 (x, )qqt x r r(a,t)r(a,t) u(a, )u(x, )|, r(a,0)(2.1) d tt dtt 拉格朗日方法著眼于流體微團(tuán)，而歐拉方法則著眼于場，二者是 從不同角度描述同一流動，因而是等效的，可唯一地相互轉(zhuǎn)換 例如： 1. 某一微團(tuán)在t=0時刻位于空間點(diǎn) ,那么在拉格朗日表述下該微團(tuán)運(yùn)動軌跡方程為 。假設(shè) 該微團(tuán)在t時刻運(yùn)動到場點(diǎn) ，那么該微團(tuán)在t時刻的速度就是該時刻以歐拉方法表述的速度場 在場點(diǎn) 處的速度，即： 2）兩種方法的聯(lián)系）兩種方法的聯(lián)系 a r(a), t r r uu uu D

4、 Dtt 000 uu(,)u( , )u(,)u(, )u(, )u( , ) limlimlim uuu uu ttr drr ttr trr ttrr trrr tr t dttttr r ttt 2.2.加速度加速度 軌跡軌跡(trajectory)：同一流體微團(tuán)不同時刻所在位置的連線，其直接與拉格朗日方法相 聯(lián)系，是對流體微團(tuán)空間運(yùn)動的幾何描述，描述的是給定微團(tuán)的運(yùn)動規(guī)律，(2.1) 中的 就是初始時刻位于 的微團(tuán)的運(yùn)動軌跡； 流線流線(streamline)：如果對于任意給定時刻，某一曲線上任意點(diǎn)的切線方向和該點(diǎn)微 團(tuán)的速度方向重合，則這條曲線稱為流線。流線與歐拉方法相聯(lián)系，給出的

5、是同 一時刻不同流體微團(tuán)的運(yùn)動方向，是對速度場的幾何描述； 即流線 滿足， ， 其中s為沿曲線的空間坐標(biāo) 脈線脈線(或紋線或紋線streakline)：某一時間間隔內(nèi)經(jīng)過同一固定場點(diǎn)的流體微團(tuán)的連線； 定常運(yùn)動定常運(yùn)動中，即 時，軌跡、流線和脈線三者是重合的 3）軌跡、流線和脈線）軌跡、流線和脈線 a r(a,t) 0 X(s,t ) X u0 d ds u0 t Fig. 2.1. The geometry of a trajectory, , projected onto the (x, y) plane. is the position of the fluid parcel at ti

6、me, t=0, and the parcel moves along the trajectory with velocity, , as indicated in (2.1). r(a, ) t u(r, )(a)t 軌跡、流線和脈線是對流體運(yùn)動的幾何描述軌跡、流線和脈線是對流體運(yùn)動的幾何描述 a x y () r a,t u r () ,t ar a () =,0 t 軌跡軌跡 1 u 2 u 流線流線 3 u 軌跡軌跡 脈線脈線 散度、渦度和變形率 關(guān)注的是速度的空間微分特征 2.1.2 散度、渦度和變形率散度、渦度和變形率 u nu SVV dV dareadvoldvol dt u

7、 uvw xyz 1) 散度 散度定義： 反映流體微團(tuán)的體積相對變化率 （2.24） （2.25） 2）渦度和環(huán)流 渦度渦度定義： 是流體旋轉(zhuǎn)特征的微觀量度，為一矢量，其大小為沿平行于渦度方向軸轉(zhuǎn)動的角頻率的兩倍 環(huán)流環(huán)流定義： 標(biāo)量，是流體旋轉(zhuǎn)特征的宏觀量度 環(huán)流：閉合回線所包圍的曲面的渦度通量環(huán)流：閉合回線所包圍的曲面的渦度通量 ux()y()() wvuwvu z yzzxxy uxn lS Cddarea （2.26） （2.27） r(F) lS F ddS （斯托克斯公式）（斯托克斯公式） 速度梯度張量： 3）應(yīng)變率 uuu xyz uxx vvv u =vy=y xyz wzz

8、xyz 1111 0 2222 1111 0 2222 11 22 uuvuuvu xyxzxyxzx uvvvuvv yxyzyyxzy uv zxzyz + + 11 0 22 uv zxzy 張量分解定理：張量分解定理： 任意二階張量可以唯一地分解成一個任意二階張量可以唯一地分解成一個 對稱張量和一個反對稱張量之和對稱張量和一個反對稱張量之和 1111 0 2222 1111 0 2222 11 22 uuvuwuvuw xyxzxyxzx uvvvwuvvw yxyzyyxzy uwvww zxzyz + + 11 0 22 uwvw zxzy S：對稱：對稱 A：反對稱：反對稱 12

9、3 111 =,=,= 222 wvuwvu yzzxxy 1 u 2 渦度物理意義為流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的2倍 反映流體的變形運(yùn)動 1111 0 2222 1111 0 2222 11 22 uuvuuvu xyxzxyxzx uvvvuvv yxyzyyxzy uv zxzyz + + 11 0 22 uv zxzy S：對稱：對稱 A：反對稱：反對稱 1）反對稱矩陣反對稱矩陣A的三個獨(dú)立的非對角元對應(yīng)渦度的三個分量 2）對稱對稱矩陣矩陣S的三個對角元分別代表沿三個坐標(biāo)軸方向的物質(zhì)線元相對伸長率， 三者之和是速度散度，反映流體微團(tuán)體積的相對變化率 3）對稱對稱矩陣矩陣S的三個獨(dú)立非對角元代表

10、剪切變形率 非旋轉(zhuǎn)特性情形，局地直角坐標(biāo)系： 在地球流體力學(xué)中，一般x軸指向東(緯向)，y軸指 向北(經(jīng)向)，z軸從地心向上與重力平行，相應(yīng)的單位矢 量分別記為 ，而(u,v,w)為速度在三個方向上的分量 ()x, y, z 2.1.3 地球流體運(yùn)動的控制方程地球流體運(yùn)動的控制方程 密度、速度、壓強(qiáng)、和熱力學(xué)溫度，以及密度、速度、壓強(qiáng)、和熱力學(xué)溫度，以及 單位質(zhì)量的內(nèi)能，和熵單位質(zhì)量的內(nèi)能，和熵 1）動量方程）動量方程 其中， 是速度（m/s）， 是密度( )，p是壓強(qiáng)( ,or 1Pa ) 是位勢 ( ,對于重力， ) 為所有的非保守力（例如分子粘性力 ， 為粘性系數(shù)） u1D pF Dt

11、u 12 kgm s 22 m s gz 3 kgm 2 F()ms 2 F=u u D Dtt u tt D （2.2） （2.3） （2.4） 出發(fā)點(diǎn)：牛頓第二定律 流體微團(tuán)所受合外力 = 該流體微團(tuán)質(zhì)量*其加速度 Navier-stokes方程/N-S方程： 隨體導(dǎo)數(shù)： 那么軌跡方程（2.1）的歐拉形式為： 或 x u D D t u D Dtt （2.3） 平流算子或平流平流算子或平流 系統(tǒng)的不穩(wěn)定、混沌以及湍流都主要來源于非線性作用，而非線性過程主要 反映在平流項；平流過程對于示蹤物分布的變化也有重要影響 這使得在流體力學(xué)尤其地球流體力學(xué)中存在三種觀點(diǎn)： 第一種：平流過程的作用遠(yuǎn)大于

12、分子擴(kuò)散的影響，基于尺度分析，平流過程的主導(dǎo)作用反 映為較大的雷諾數(shù) ； 第二種：在平流過程主導(dǎo)的系統(tǒng)中，系統(tǒng)演變的時間尺度為平流時間T=L/V；因為擴(kuò)散時 間尺度 更長，對平流影響很??； 第三種：一旦雷諾數(shù)大于一特定臨界值，平流時間尺度的運(yùn)動將變得不穩(wěn)定、振蕩增強(qiáng)； 而當(dāng)雷諾數(shù)低于該臨界值時，流體將保持平穩(wěn)的層流運(yùn)動 e VL R 2 /TL 連續(xù)方程： 2）連續(xù)方程）連續(xù)方程 u0 u t D Dt （2.6） 出發(fā)點(diǎn)：質(zhì)量守恒定律 流體在運(yùn)動過程中，質(zhì)量保持不變，它既不會自動產(chǎn)生也不會自動消失 （2.6.1）和（2.6.2）分別為連續(xù)方程的通量和散度形式 （2.6.1） （2.6.2）

13、如果密度是常數(shù)，那么動量方程和如果密度是常數(shù)，那么動量方程和 連續(xù)方程就可以描述流體的運(yùn)動了連續(xù)方程就可以描述流體的運(yùn)動了 其中e( )為單位質(zhì)量的內(nèi)能， 為單位質(zhì)量的加熱率 一個系統(tǒng)內(nèi)能的改變等于供給系統(tǒng)的熱量減去系統(tǒng)對外環(huán)境所作的功 出發(fā)點(diǎn)：熱力學(xué)第一定律 為傳給單位質(zhì)量流體的總熱量，dU為單位質(zhì)量流體內(nèi)能的增量，pdV表示流體因膨脹對外界 作的功。 3）內(nèi)能方程）內(nèi)能方程 QdUpdV Q u 1 () De p Dt DeD p DtDt （2.9） （2.10） 23 m s 內(nèi)能方程： 4）熵）熵 其中， 為熵, TK 是溫度, 為示蹤物的化學(xué)勢， 是示蹤物類別 為單位質(zhì)量的加熱率

14、 流體熵的改變只能通過加熱及其與系統(tǒng)外的物質(zhì)交換 () k k k D TS Dt 221 ()m s K 22 () k m s k （2.11） 出發(fā)點(diǎn)：熱力學(xué)第二定律 對于某一不可逆過程，它所產(chǎn)生的效果無論用什么方法也不能完全 恢復(fù)原 狀而不引起其他變化；熵是一個判斷過程方向的狀態(tài)函數(shù)，自然界的熵只能 增加，即熵增加原理 熵方程： 1. 熵流熵流Sf：熵流分為熱熵流和質(zhì)熵流 熱熵流熱熵流Sf,Q：由于熱量流進(jìn)、流出系統(tǒng)引起熵的變化，稱為熱熵流 質(zhì)熵流質(zhì)熵流Sf,m：由于物質(zhì)進(jìn)出系統(tǒng)造成的熵的變化稱為質(zhì)熵流 2.熵產(chǎn)熵產(chǎn)Sg: 由于過程中存在摩擦等不可逆因素引起的耗散效應(yīng)，使損失的機(jī)械能在

15、轉(zhuǎn)化為熱能（耗散 熱），被系統(tǒng)吸收，這部分由于耗散熱產(chǎn)生的熵增量，稱為熵產(chǎn)；熵產(chǎn)本質(zhì)上可以歸結(jié)為熱 熵流，但是熵產(chǎn)只是對不可逆過程的度量尺度，可逆時熵產(chǎn)等于零，不可逆時大于零；熵產(chǎn) 永遠(yuǎn)大于等于零。 Sf,Q T r r Q Q Q T 其中， 為熱源溫度，永遠(yuǎn)為正；是系統(tǒng)熱量的變化，吸熱時為正，熱熵流亦為正； 放熱時為負(fù)，熱熵流此時亦為負(fù)。 Sf,moutoutinin inout inout SmSm SS mm 其中，和分別為進(jìn)入或流出系統(tǒng)單位質(zhì)量的物質(zhì)攜帶的熵， 和分別為進(jìn)入和流出系統(tǒng)的物質(zhì)的質(zhì)量； 3.熵變熵變 在不可逆過程中，引起熵變化的因素有兩個，一個是由于系統(tǒng)于外界發(fā)生熱量或物

16、質(zhì)交換引起的熵 流；二是由于不可逆因素的存在而引起的熵產(chǎn)。所以總的熵變等于熵流和熵產(chǎn)的總和。 那么一個系統(tǒng)的熵方程如下： 那么結(jié)合我們書中的熵方程： () k k k D TS Dt 熵方程： Sf,QSf,m Sf,m Sf,m () 1 fgg g g dSdSdSdSdS dSdS dSdS dtdtdtdt Q T Q T （1 1） （2 2） (1)中的S和(2)中是等價的，都表示熵 方程(2)右端第一項單位質(zhì)量的加熱率反映的是(1)中的熱熵流與熵產(chǎn)的和（本質(zhì)上熵產(chǎn)是可以歸結(jié)為熱熵流的）， 即系統(tǒng)由于得到或失去熱量而導(dǎo)致的熵的變化； 方程(2)中右端第二項反映的是(1)中的質(zhì)熵流，

17、即由于物質(zhì)的進(jìn)出進(jìn)而導(dǎo)致的熵的變化。 ； 在氣體或液體形式的流體中，除了主要的流體成分，還存在其他物質(zhì) （例如大氣中的水汽，海水中的鹽度等），這些物質(zhì)一般稱為示蹤物， 其濃度變化可表示為： 其中， 是示蹤物相對于主要流體成分的質(zhì)量比或混合比， 是 的非保守源和匯 5）示蹤方程）示蹤方程 ( ) ( ) () u () S t D S Dt （2.7） （2.8） ( ) S 狀態(tài)方程： 對于不同的流體，狀態(tài)方程具有不同的表達(dá)形式 例如： 1）對于大氣，采用理想氣體近似，則單位質(zhì)量的理想氣體狀態(tài)方程可表示為： 2）對于海洋來說，一般采用經(jīng)驗公式，表示為海水密度、溫度、鹽度和壓強(qiáng)間的關(guān)系 (T,p

18、,) k 6）狀態(tài)方程）狀態(tài)方程 （2.12） pVRT (T,p,S),S為海水鹽度 ( )( ) () u1 u0u0 1 u() (T,p,) ()() u k k k k D pF Dt D Dtt DeDeD pp DtDtDt D SS Dtt D TS Dt 或 或 或 動量方程動量方程 連續(xù)方程連續(xù)方程 內(nèi)能方程內(nèi)能方程 狀態(tài)方程狀態(tài)方程 示蹤方程示蹤方程 熵熵 流體基本方程組流體基本方程組 u(u,v,w), , ,T, , e 未知變量 2.1.4 初始條件和邊界條件初始條件和邊界條件 所有的流體運(yùn)動都要滿足 2.1.2 節(jié) 給出的基本控制方程組， 但是滿足同一方程組的流體

19、運(yùn)動千差萬別，只有確定了初始 狀態(tài)和邊界狀態(tài)之后，才能唯一確定具體的流體運(yùn)動，反映 在數(shù)學(xué)上，就是基本方程組的通解只有在給定初始條件和邊 界條件之后才能被唯一確定為某一特定流體（滿足一定初值 ，且滿足一定邊值）的運(yùn)動特征。 初始條件指初始時刻流體運(yùn)動應(yīng)該滿足的初始狀態(tài)，一般對于包含時間微分 的方程求解需要初始條件；特別地，對于定常運(yùn)動，不需給出初始條件； 邊界條件方程組的解在流體邊界上應(yīng)該滿足的條件； 邊界是一個物質(zhì)面，流體不能穿過邊界； 邊界由連續(xù)分布的質(zhì)點(diǎn)組成，可以變形，但始終都是由這些質(zhì)點(diǎn)組成； 所以, 流體要么平行于邊界運(yùn)動，要么垂直于邊界且流體速度必須與邊界速度相同， 反映在數(shù)學(xué)表達(dá)

20、上，這就是所謂的運(yùn)動邊界條件（the kinematic boundary condition） 假設(shè)流體邊界滿足： 那么，界面上t 時刻位于位置 的某一幾何點(diǎn)，經(jīng)過時間 后，其位置變?yōu)?根據(jù)物質(zhì)面條件，該點(diǎn)仍在界面上，即仍有 進(jìn)而： (x,t)0F t x xx (xx,t)0Ft （2.13） (xx,t)(x,t) 0 (xx,t)(xx,t)(xx,t)(x,t) 0 x(xx,t)(x,t) 0 x u0 FtF t FtFFF tt FFF tt F F t DF = 0 Dt （2.14） at F=0 運(yùn)動邊界條件運(yùn)動邊界條件 流體運(yùn)動邊界滿足的條件流體運(yùn)動邊界滿足的條件 幾種

21、常用的運(yùn)動邊界條件： （a）固壁邊界 邊界靜止不變 at 例如：對 ，單位外法向量是 ，且在 處，u=0 （b）滑動邊界 ： （c）自由面邊界 z=h(x, y, t) ：即F=z-h 兩流體間的無滲透邊界，如自由海表面 u n0 0 x 0n xx 0; 0 Fxx nx 0 xx 0 x (t) 0 x u nn d dt 0n xx 0 at 0 DFDzDh DtDtDt DzDh w DtDt at z=h （2.15） （2.16） （2.17） 其他形式的邊界條件，如 連續(xù)邊界條件：如海氣界面兩側(cè)的壓強(qiáng)具有連續(xù)性 通量邊界條件：如海表或陸面由于蒸發(fā)大于降水而進(jìn)入大氣的水汽通量 對

22、于一給定的流體運(yùn)動，選擇哪些邊界條件組合，物理上依賴于外界通 過邊界對系統(tǒng)的影響，數(shù)學(xué)上則依賴于所要求解的偏微分方程系統(tǒng)。 2.1.5 能量守恒能量守恒 能量守恒定律是一個基本的物理定律，但是在流體 動力學(xué)領(lǐng)域，該定律并非單獨(dú)定義，而是從控制方 程組和邊界條件（2.1.2-2.1.3）出發(fā)導(dǎo)出 動能、勢能、內(nèi)能 單位體積微團(tuán) 1 1）動能密度方程）動能密度方程 假設(shè)位勢只包含重力位勢即 ，或者說對 的其他貢獻(xiàn)項全部被 F 耗散， 那么對于動量方程（2.2）式 u1D pF Dt 左右兩邊點(diǎn)乘 ，u g 22 u1 u u u1 u uuu 11 (u )uu(u )u 22 D pgF Dt

23、pgF t pg wF t t wD z gz （1 1） 對于連續(xù)方程（2.6）式 u0 t 左右兩邊點(diǎn)乘 21 u 2 2211 (u )u( u) 22t (a)aAAAa 動能密度動能密度 2211 (u )uu(u )u 22 pg wF t （2.18） 2211 (u )u(upu )u 22 pg wF t （1 1） （2 2） 2 2）勢能密度方程）勢能密度方程 對于連續(xù)方程（2.6）式，左右同乘gz (a)aAAAa t wD z 勢能密度勢能密度 （2.19） gzgzu ()()(u)u(gz) ()gu(u) ()(u) t gzgzgz tt z gzgzgz t

24、t gzg wgz t 3 3）內(nèi)能密度方程）內(nèi)能密度方程 對于內(nèi)能方程（2.9）和連續(xù)方程（2.6）式 u uu De p Dt e ep t u0e t 內(nèi)能密度內(nèi)能密度 （2.20） ()uuepe t 2211 (u )u(upu )u 22 pg wF t ()(u)gzg wgz t ()uuepe t ：動能和勢能的轉(zhuǎn)換率，兩者通過垂直運(yùn)動相互轉(zhuǎn)換 ：內(nèi)能和動能的轉(zhuǎn)換率，兩者通過氣壓場的壓縮功實(shí)現(xiàn) ：加熱過程只能直接轉(zhuǎn)換為內(nèi)能 ：耗散過程（例如摩擦）不斷消耗動能，若無能量補(bǔ)充，運(yùn)動最終要停止 u(u)pF t 動能密度方程：動能密度方程： 勢能密度方程：勢能密度方程： 內(nèi)能密度方

25、程：內(nèi)能密度方程： （1） （2） （3） 21 u 2 gze 總能量密度總能量密度 (1)+(2)+(3): g w up u F （2.21） （2.22） u(u)pF t 能量密度的局地變化，是由能量的空間傳輸（右端第一項，壓縮和能量通量散度）或者非 保守力做功以及加熱過程（右端第二項）造成 （2.21） 對(2.21)式進(jìn)行體積分 u(u) ()u n(u) u n(u) VV VSV SV dvoldvolpF t dvoldareapdvolF t E dareapdvolF t 固定體積總能量：固定體積總能量： V Edvol n VS dvolAdareaA 當(dāng)系統(tǒng)不存在邊

26、界通量即與外界無交換，且不存在內(nèi)部非 保守項(如摩擦耗散或輻射過程)時，系統(tǒng)總能量是守恒的 （2.23） 21 u 2 gze 總能量密度總能量密度 拉格朗日方法 VS. 歐拉方法 描述流體運(yùn)動的基本方程組，及其初、邊值條件 流體中的能量：動能、勢能和內(nèi)能 速度空間微分特征：渦度、散度，和應(yīng)變率 總結(jié)總結(jié) Fig. 2.2. (a) Volume element, V, and its surface, S, that are used in determining the relation between divergence and volume change following the flow (Greens integral relation). (b) Closed curve, l, and connecte