選修作業(yè)(劉海燕,韓佳欣)“深圳杯”數學建模A題

1、數學建模2012年“深圳杯”全國大學生數學建模夏令營a題：深圳人口與醫(yī)療需求預測 參賽隊員具體信息：姓 名學 號聯系電話電子郵箱論文分工隊長劉海燕201053711818734824069380377295模型建立隊員韓佳欣200853211218234060271760043451編程隊員謝江琳（非選修）201053712015698595557815995139論文寫作 深圳市人口變化與醫(yī)療需求的合理分析摘要 一個國家的人口與醫(yī)療問題關系到國家的發(fā)展與進步，因此對人口合理的預測就顯的非常重要。但是不同的地區(qū)有不同的人口特點。深圳是我國經濟發(fā)展最快的地區(qū)之

2、一，近年來深圳市的產業(yè)結構有很大變化，人口也發(fā)生了很大變化。深圳人口增長較快，主要原因有兩個：一是人口流入量較大。10年來，深圳經濟保持較高增速，提供了較多的就業(yè)崗位，吸引了大量市外人員到深圳工作和生活。二是戶籍人口增長較快。10年間，深圳采取多項措施，降低了入戶門檻，加快了戶籍人口增長步伐。 本文就深圳人口變化及未來的床位需求進行了預測。 對于問題一，我們先用excel軟件對深圳近十年人口數量變化作圖，對深圳市近十年的人口變化得到大致了解。針對深圳市人口結構中非戶籍人口比重大，流動人口多這一特點，然后又由于所得到的數據量不是很大，并且灰色預測模型【1】所需建模信息少，運算方便，建模精度高，所

3、以我們采取灰色預測模型首先對深圳近十年的非常住人口、常住人口及總人口的變化特征進行了分析，在此過程中同時用到matlab軟件對數據進行計算及擬合，分別得到了非常住人口、常住人口和總人口的擬合函數。通過模擬出的常住人口與非常住人口的函數，我們可以很容易的得出深圳市人口數量的變化情況，同時我們以非戶籍人口與常住人口的函數之比作為深圳市人口結構的變化，通過作圖發(fā)現，深圳市非戶籍人口正逐年下降。之后對不同年齡段的人口數用excel作圖，然后再用matlab軟件對不同年齡段的人數數據進行二次擬合并作圖。對問題一中的預測未來全市和各區(qū)醫(yī)療床位需求,通過查閱資料得知床位需求與各年齡段人數、住院率、平均住院天

4、數以及該地平均年床開放日數有關，在查找資料以及大量演算基礎上，利用已求出的常住人口變化函數，我們得出深圳市的床位需求函數，而深圳市各區(qū)對應的床位需求則為深圳市總的床位需求乘以本區(qū)總人口所占深圳市總人口的比例。對于問題二，考慮到研究的實用性與可行性，選擇比較常見的病，如高血壓、胃癌進行預測，我們通過查找高血壓與胃癌在深圳市不同年齡段的發(fā)病率、這兩種病在市級與區(qū)級醫(yī)院的住院天數以及這兩種級別的醫(yī)院的平均年床開放日數，根據公式進行計算、預測。最后對結果及不同的模型進行分析。關鍵詞：灰色模型 二次擬合 matlab excel 一、問題重述 深圳市是我國發(fā)展最快的地方，從1980年到2010年，深圳市

5、每年以30多萬的人口增幅增長。到2010年深圳市人口已達1037萬人。從結構上來看，深圳人口的顯著特征是流動人口遠遠超過戶籍人口且年輕人占絕對優(yōu)勢。深圳流動人口主要從事第二第三產業(yè)的一線工人和商業(yè)服務人員。年輕人身體強壯、發(fā)病較少，因此深圳目前醫(yī)療設施雖然低于全國類似平均水平，但仍能滿足現在人口的就醫(yī)需求。然而隨著時間推移和政策的調整，深圳老年人口比例會逐漸增加，產業(yè)結構的變化也會影響外來務工人員的數量，這些都可能導致未來深圳市的床位需求于現在有較大差異，難以滿足人口和醫(yī)療預測的需求，為了了解此情況，根據深圳人口發(fā)展變化態(tài)勢以及全社會醫(yī)療衛(wèi)生資源投入情況收集數據，建立針對深圳具體情況的數學模型

6、，預測深圳未來人口的增長和床位需求解決下面問題： 首先分析深圳近十年戶籍人口，非戶籍人口變化特征，其次預測未來十年深圳市人口數量和結構的發(fā)展趨勢，最后以此為基礎預測未來全市和各地區(qū)醫(yī)療床位需求，并針對幾種病在不同類型的醫(yī)療機構就醫(yī)的床位需求分析。二、問題分析深圳市是外來人口比例大得城市，分析深圳市近十年常住人口、非常住人口的變化特征來預測未來十年深圳市的人口數量和人口特征，對于這種數據不太多的問題，可以選擇灰色預測模型來解決，灰色預測模型在此方面有較好的優(yōu)勢。預測出來，得到擬合函數后，可以通過excel作圖，使結果更加的清晰、明了，易于觀察。床位的需求受總人口、人口結構等的影響，總人口可以由第

7、一問的灰色模型預測。人口特征可以由非戶籍人口占總人口的比例及各年齡段占總人口的比重來解決。對于第一個比例可以由第一問的預測得到，然后作圖；對于第二個比例，可以先以往年的數據做圖看分布情況，然后用matlab擬合函數并作圖。由歷年數據發(fā)現，老年人群是各種疾病的高發(fā)人群，老年人口的比重嚴重影響著床位需求，但是老年人的比例一直在變化，不好統(tǒng)計，所以假設在未來的十年老年人的比例基本上保持不變。因此可以由人口總數和不同年齡段的人口比例數及患病率預測深圳市床位需求量。深圳市各地區(qū)的床位需求又可以通過各地區(qū)人口數及不同年齡段的人口數和患病率分析得到。對于對選擇的幾種病預測在不同類型的醫(yī)療機構就醫(yī)的床位需求，

8、我們考慮到高血壓和胃癌是比較常見的病，所以選擇這兩種病進行分析。通過查資料得到有關數據，代入公式進行計算。三、模型假設1.在研究期間不考慮重大事件、自然災害及國家有關人口調動政策的影響，只選取人口數量與年齡地區(qū)、戶籍、性別方面因素的關系；2.深圳市各區(qū)相同年齡段的人口體質相同，即患病率相同；3.各地區(qū)相對封閉，各部區(qū)人口不會跨地區(qū)就醫(yī)；4.不考慮老齡化的現象；5.深圳市當前的人口政策保持不變 ；6.相同的病醫(yī)療所需的時間相同；7.高血壓人群中，由于35歲以前的發(fā)病情況幾乎沒有，忽略不計；8.對于研究的患病人口均需住院治療，即需要床位； 四、符號說明1. 個元素的數列（每年的人口數）；2. 的前

9、項和；3. 的灰導數；4. 發(fā)展系數；5. 灰作用量；6. 數據向量；7. 數據矩陣；8. 參數向量；9. 年份；10. 年；11. 殘差；12. 相對殘差；13. ;14. 第個年齡段；15. 第個年齡段的人口數；五、模型的建立與求解5.1問題一： 深圳市最近十年常住人口、非常住人口變化特征和未來十年人口數量和結構的發(fā)展情況及在此基礎上對全市和各區(qū)醫(yī)療床位需求的預測。 5.1.1灰色模型1、模型說明：設給定的原始數據序列 對此數據序列累加得到一個新的數據序列 ，其中 ，顯然為得原始數列，對中的數進行后減運算，在此過程中定義的灰導數為 再設滿足一階常微分方程 ，其中稱為發(fā)展系數，稱為灰作用量。

10、此方程滿足初始條件當 時，的解為 對等間隔取樣的離散值則為 * 令 ，則由最小二乘法可以求得 把估計值與代入*式得時間響應方程 當時，由上式得到的擬合值，當時，為預測值；用后減運算還原，當時，就可以得到原始數據的擬合值，當時，可得原始序列的預測值，即為人口的預測值。由已有數據用excel作圖，可以看出深圳近十年的常住人口和非常住人口都呈上升趨勢，并且非常住人口增長快于常住人圖一：近幾年深圳市的人口變化下面就用灰色預測模型對深圳市的人口進行詳細、具體的分析及未來十年的人口預測預測。2.建立模型：1） 對于常住人口（1）由原始數據列計算并整理一次累加序列 ，結果如下：表一：2001年2010年常住

11、人口數年份2001200220032004200520062007200820092010132.04139.45150.93165.13181.93196.83212.38228.07241.45251.03132.04271.49422.42587.55769.48966.311178.691406.761648.211899.24（2） 建立矩陣：，（3）計算，并由求估值和經過matlab的計算得， ，即，。則把和的值代入事件響應方程，由于，故時間響應方程為，即（4）計算擬合值，再用后減運算還原計算 又殘差 相對殘差 表二：2001年2010年常住人口灰色預測法的擬合值年份擬合值殘差相對

12、殘差相對誤差2001132.040002002143.82-4.37-0.03130.0242%2003154.76-3.83-0.02540.0245%2004 166.56-1.43-0.00870.0063%20051480.0325%2006192.893.940.02000.0156%2007207.574.810.02260.0082%2008223.394.680.02050.0022%2009240.4 1.050.00430.0036%2010258.7-7.670.03060.0155% 由殘差、相對殘差及相對誤差的大小可得所得的擬合函數 還是比較準

13、確的，所以可以以此函數來預測未來十年的常住人口，則可得：表三：2011年2020年常住人口的預測值年份2011201220132014201520162017201820192020預測值299.61322.43347373.41402.06432.47465.4500.84538.99580.042）對于非常住人口我們用同樣的方法得到非常住人口發(fā)展趨勢的擬合函數 代入值的 表四：2001年2010年非常住人口灰色預測法的擬合值年份擬合值殘差相對殘差相對誤差2001592.530002002598.268.910.01470.0242%2003617.689.660.01540.0245%20

14、04 638.2-2.53-0.00400.0063%2005659.41-13.59-0.02100.0325%2006681.32-7.05-0.01050.0156%2007704-4.01-0.05730.0082%2008727.38-1.17-0.00160.0022%2009751.5620.00270.0036%2010776.549.630.01220.0155% 和表五：2011年2020年非常住人口的預測值年份2011201220132014201520162017201820192020預測值802.36829.02856.59885.06914.47944.88976

15、.281008.731042.271076.91 所以對于總人口可由常住人口和非常住人口相加可得?；蛴蒙厦嫱瑯拥姆椒ǖ?時間響應方程為 ，即 計算擬合值，再用后減運算還原計算得 表六：灰色預測法的擬合值年份擬合值殘差相對殘差相對誤差2001724.570002002739.77 6.850.00920.0012%2003771.496.780.00870.0011%2004 804.56-3.760.00470.0006%2005839.06-11.310.01370.0017%2006875.03-3.930.00450.0156%2007912.54-0.170.00020.0082%20

16、08951.662.620.00270.0022%2009992.462.550.00260.0036%20101035.012.190.00210.0155% 和 表七：20112020年總人口的預測值年份2011201220132014201520162017201820192020預測值1079.41125.71173.91224.21276.71331.51338.51448.11510.11574.9利用表七得出的數據我們可以看到人口還在增長，應用excel軟件做圖，我們可以清晰地看到人口變化的情況，如圖：圖二：未來十年深圳市人口的變化3） 人口結構的分析（1）由上面的預測值可以算得

17、非常住人口占總人口中的比率變化，即 令 經過數據處理并由excel軟件的處理得到如下的圖 圖三：未來十年非常住人口所占比例 我們發(fā)現深圳市的非戶籍人口所占的比例總的來說有所下降，所以說，雖然非戶籍人口數量在增加，但比例在下降，跟這10年來，深圳采取的多項措施，降低了入戶門檻有很大的關系，加快了戶籍人口增長步伐。5.1.2二次擬合根據2000、2005和2010年各個年齡段所占比例的數據用excel作圖得圖四：深圳市2000年不同年齡段的人口比例圖五：深圳市2005年不同年齡段的人口比例圖六;深圳市2010年不同年齡的人口比例 從以上圖中看出，每年深圳市各年齡的人口變化不是很大，因此可預測未來十

18、年人口的年齡變化與此接近。用matlab進行二次擬合得函數用matlab繪制出得擬合曲線為 圖七：深圳市不同年齡段人口變化曲線5.1.3 未來全市和各區(qū)醫(yī)療的床位需求 1）全市的床位需求 為解決該問題，我們假設在最近的十年內各年齡段的人口所占比例保持不變。經過我們的討論，然后又查找資料得病床的需求量公式得：【2】經過查找資料得各年齡段的住院率3做成餅圖為： 圖八：各年齡段的住院比率由給出的數據并計算得到各年齡段占總人口的比率，然后做成餅圖得： 圖九：各年齡段占總人口的比例 由表七中的預測值得到未來十年的總人口數，再由查資料得到平均住院天數和平均年床位開放日數分別為292和6.0。將數據代入上式

19、公式得到醫(yī)院病床需求量為表八：未來年床位數年份2011201220132014201520162017201820192020數量（萬張）120.665132.248137.654145.158150.112158.207163.072169.591174.020177.3192） 各區(qū)的床位需求 由查閱資料【4】得到各地區(qū)人口占深圳市總人口的比例，羅湖區(qū)11.05% ，福田區(qū)12.98% ，南山區(qū)10.30 ，寶 安 區(qū)39.02% ，龍 崗 區(qū)24.47 % ，鹽 田 區(qū)2.17% 。再由上面的公式及未來十年的人口預測的相關數據得未來十年各區(qū)的床位需求為：表九：未來十年各區(qū)總的床位需求區(qū)名

20、羅湖區(qū)福田區(qū)南山區(qū)寶安區(qū)龍崗區(qū)鹽田區(qū)床位（萬）168.85198.34157.39596.24373.9133.165.2問題二：不同疾病在不同醫(yī)療機構的床位需求以高血壓和胃癌為例查閱文獻【5】得在高血壓人群中，由于35歲以前的發(fā)病情況幾乎沒有，忽略不計。而35歲以上不同年齡的發(fā)病率及不同年齡段胃癌的發(fā)病率分別如下表所示：表十：不同年齡高血壓發(fā)病情況分組 調查人數患病人數患病率（）3554107440.3755-641756110.6765-741861231.2475以上18963.17 表十一:不同年齡段胃癌的發(fā)病情況分組調查人數患病人數患病率（）44歲以下82120.2445541074

21、30.2855-64175630.1765-741861140.7575以上18963.17 不同醫(yī)院類型政府辦醫(yī)院綜合醫(yī)院市級區(qū)級街道社會辦醫(yī)院 平均住院天數 96.97.2經查閱資料，疾病在不同類型醫(yī)院的住院天數如下表：再由公式可得出不同類型醫(yī)療機構的床位需求，比如以市級醫(yī)院2011年高血壓的床位需求量為例（查資料的年開放日數為317），其它類型的醫(yī)院機構也可以用同樣的方法得到。六、模型評價與改進方向1. 灰色預測模型比較適合信息不全面，數據不太多的問題，本論文比較巧妙的使用了灰色預測模型分別分析和預測了深圳市常住人口、非常住人口及全市人口的發(fā)展趨勢；2. 本模型巧妙的忽

22、略了問題的次要矛盾，即年齡結構，各區(qū)所占比例，雖然喪失了一些精確度，但是相對于其它繁瑣的模型而言，還是利大于弊的；3. 在分析不同年齡段的發(fā)展趨勢時應用了二次擬合模型，但是只適應于預測短期，不適應于長期；4. 模型沒有體現出深圳不同區(qū)的人口變化函數，而只是假設其人口總量對深圳總人口量保持不變，實際上每個區(qū)的發(fā)展不同，人口變化也不同；5. 模型建造中沒有考慮到年齡結構的變化，而深圳市年齡結構是趨向老齡化方向的，老年人體質弱，易生病住院，因此實際得出的床位數小于實際需求的床位數；6. 從提高準確性與普遍性的角度考慮，還可以引入關于年齡結構的擬合函數以及各區(qū)獨立的人口發(fā)展函數。七、參考文獻1 唐麗芳

23、、賈冬青、孟慶鵬，2008.用matlab實現灰色預測gm(1,1)模型.滄州師范?？茖W校學報，24:352 饒克勤、陳育德關于制定衛(wèi)生資源配置標準的幾點建議，1999年03期 39頁3 2003年調查地區(qū)各年齡段居民住院率 中國發(fā)展門戶網4 2010年深圳市衛(wèi)生和人口計劃生育委員會衛(wèi)生統(tǒng)計年鑒（衛(wèi)生機構、床位、人員情況）5 高血壓、肥胖、血脂紊亂和糖耐量異常在不同年齡段人群中分布的基線調查 廣西醫(yī)科大學第一附屬醫(yī)院 呂澤平6 李彥卿 小城鎮(zhèn)人口規(guī)模研究 天津大學7 景倩 中國人口增長趨勢預測模型 8 朱艷偉、張永利 中國人口增長預測模型及其改進j 統(tǒng)計與預測 附錄（1）計算，并計算求估值和的matlab程序% 表示數據矩陣b=-201.765 1;-346.955 1;-504.985 1;-678.515 1;-867.895 1;-1072.5 1;-1