08考前倒數(shù)第15天

1、8 .考前倒數(shù)第15天 2011年5月23日（星期 -13 - 43. 如何求空間的距離？ 面面距離線面距離點面距離 異面直線距離：求公垂線段的長，轉化為平行直線與平面的距離 44. 如何把空間角轉化為平面角？ 異面直線所成的角轉化為平面角：平移法； 直線與平面所成的角轉化為平面角：直線與其射影所成的角； 二面角的平面角：定義法，三垂線法，垂面法，面積射影定理. 如何求無棱二面角？ ABCD 所 【例】設正方體 ABCD ABC1D1,棱CD的中點為E,求平面AB1E與平面 成二面角的余弦值. A D 45.立體幾何的試題考查的核心和熱點仍然是考查空間圖形的線面關系及幾何量的計 算，。立體幾何

2、的復習一方面要強化常規(guī)題訓練，另一方面要關注試題的創(chuàng)新 . 距離和角 常規(guī)題訓練仍然是空間圖形的線面關系及幾何量的計算，即圍繞平行，垂直， 的問題，這些常規(guī)題仍然是以正方體，長方體，棱柱，棱錐為載體，但在解法上要注意多樣 化.對于一道立體幾何題，往往既能用傳統(tǒng)方法求解又能用向量方法求解，有的題目可以用 兩種方法結合求解。 46.關于立體幾何的常規(guī)題有兩個問題要引起重視，一是在客觀題的考查中，如何處理好 命題判斷型的試題，另一個是在解答題的考查中，如何抓住垂直這一關鍵. 關于“命題判斷”型的客觀題 “命題判斷”型的試題一直是高考立體幾何對線面關系考查的一種重要題型，這種類型 的試題大多出現(xiàn)在選擇

3、題和填空題，解決此類問題的關鍵是對每個命題的判斷都要到位， 真命題需給出嚴格的推理說明，假命題，要能夠舉出反例。此類問題的題型比較靈活，有四 選一的選擇題，有判斷正確（或錯誤）的命題的個數(shù)的選擇題，也有多選型的填空題。 的一個充分條件是（ 【例1】（2007年北京卷，理，文） A. 存在一條直線 a, B. 存在一條直線 a, C. 存在兩條平行直線 D. 存在兩條異面直線 a / a, a, ，a ，a b, a b, a /平面 平面 / / ,b ,a/, b / ,a/,b/ 【分析及解】D.要排除不正確的命題，常常采用舉反例的方法。 若I l , a/l , a ，a ,此時 / 但

4、平面與平面不平行”故 排除A. 若 若 故排除 Il，a Il， a C.故選D. / l，則a/但平面與平面不平行，故排除B. / l, b , b/ l則a/, b/但平面與平面不平行， A的反例 由于要尋找平面與平面的平行的充分條件，所以在舉反例時，抓住了一條特殊的直線, 即兩個平面的交線 【例2】（2007年天津卷，理，文）設a，b為兩條直線，為兩個平面.下列四個命題中， 正確的命題是（）. 若a，b與 所成的角相等，則a/b 若a / 若a 若a (A) (B) (C) (D) ,b/ ,/ ,b ,b ，則 a/b ,a/b，則 / 【分析及解】可通過反例排除 可得 a b.故選(

5、D). 也可由a ，b ，知a，b是，的法線，及 【例3】（2007年湖北卷，理）平面外有兩條直線 m和n，如果m和n在平面 內(nèi)的 射影分別是m和n，給出下列四個命題： m n m n ; m n m n ; m與n相交 m與 n相交或重合; m與n平行 m與 n平行或重合. 其中不止確的命題個、數(shù)是（ ) A. 1B. 2 C. 3 【分析及解】D ，均不正確，反例如下圖. D. 4 直線與它在平面上的射影是兩個相互依存的幾何概念，它們相互聯(lián)系和制約又有區(qū)別， 例如，兩直線互相垂直，它們的射影不一定互相垂直，反之也一樣。，它們的射影相交，兩 條直線不一定相交等。 抓住垂直是解立體幾何的關鍵

6、垂直是解立體幾何題的核心，重點和突破口 (1) 垂直是定義立體幾何許多概念的重要工具.是立體幾何命題的重點中的重點.線 面垂直是垂直問題的中心中的中心 例如，定義異面直線的距離，直線在平面上的射影，點面距離，線面成角，二面角的平面角 等都需要用到垂直. (2) 垂直是空間位置關系轉化的立交橋. 例如，垂直與平行的轉化. 兩條直線同垂直于一個平面兩條直線平行 一條直線與一個平面同垂直于一個平面這條直線與這個平面平行 兩個平面同垂直于一條直線 三垂線定理，線面垂直，線線垂直 (3) 【例 兩個平面平行 線線垂直. 垂直是各類計算公式(例如，角，距離，面積，體積)的必要條件. 垂直是建立空間坐標系的

7、基礎. 5】(2007年北京卷，理，文)如圖，在 Rt AOB中， n -,斜邊AB 4，Rt AOC可以通過Rt AOB以直線 6 AO為軸旋轉得到，且二面角 B AO C是直二面角.動點 D的 斜邊AB 上. (I)求證：平面COD 平面AOB ; (II )當D為AB的中點時，求異面直線 AO與CD所成角的 大??； (III )求CD與平面AOB所成角的最大值. 【分析及解】(I)由題意， AOC和 BO AO, BOC是二面角B AO C的平面角， OAB B (只理科作) AOB是直角三角形 ,所以,CO AO , (由線線垂直判斷二面角的平面角 又Q二面角B AO C是直二面角，所

8、以平面 AOC 平面AOB CO CO 平面AOB ,(由面面垂直，線線垂直證明線面垂直) 又CO BO，又 Q AOI BO O , 平面COD . 平面COD 平面AOB .(由線面垂直證明面面垂直) (II )作DE OB，垂足為E，連結CE (如圖)，則DE / AO ,(由線線垂直證明 線線平行） CDE是異面直線 AO與CD所成的角. 2, OE -BO 1 , 2 在 RtACOE 中，CO BO CE Jco2 OE275 又 DE -AO J3 2 在 RtCDE 中，tanCDE CE DE 異面直線AO與CD所成角的大小為 75 715 忑T +屆 arcta n 3 B

9、 （III ）由（I）知，CO 平面 AOB , CDO是CD與平面AOB所成的角，（由線面垂直判斷線面成角） OC OD 且 tan CDO 當OD最小時， 2 OD CDO最大, 這時，OD AB, 垂足為D , OD CD與平面AOB所成角的最大值為 OA OB AB .273 arctan 3 J3, tan CDO 47.近幾年立體幾何試題的變化有以下幾個方面： 從純幾何問題到綜合性問題. 有些立體幾何試題，已經(jīng)不是單一的幾何背景，還涉及到解析幾何 等其它數(shù)學分支，從而考查綜合運用數(shù)學知識和技能的靈活性. 【例1】（2004年,北京卷） 如圖，在正方體 ABCD A, B1C1 D1

10、中，P是側面BB1C1C 內(nèi)一動點，若P到直線BC與直線C1 D1的距離相等，則動點 P的軌跡所在的曲線是（） （A）直線（B）圓（C）雙曲線 （D）拋物線 ，方程，不等式，最值，概率 Ci C B Di Ai 【分析及解】因為P到直線C1D1的距離即為P到G的距離.所以,在平面BB1C1C中，點 P BC的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可知，動點P的軌跡是 到定點Ci的距離與點P到到直線 拋物線故選（D）. 【例2】（2005年上海卷） 2 ，底面三角形的三邊長分 a 別為3a，4a，5a（a 0）.用它們拼成一個三棱柱或四棱柱，在所有可 能的情形中，全面積最小的是一個四棱柱，則a的取值范圍是

11、有兩個相同的直三棱柱，高為 【分析及解】由圖可知，若拼成一個三棱柱,只有把原三棱柱的底面相接，原直三棱柱的全 面積是一個定值， 1 52 3a 2 4a 2 - 3a 4a 5a 12a248. a 若拼成一個四棱柱，相接面的面積越大，得到的全面積越小于是以5a為底的側面相對接， 得到的全面積最小，為 2 22 4a 3a 24a28. a 為使全面積最小的為四棱柱,只需S2 S，即24a2 解得 0 a逅. 3 S2 4a 3a 2 2812a248, 線面關系從靜態(tài)到動態(tài) 有些試題中的線面關系的給出不是靜止的而是運動的 動靜結合”，把運動與變化引入立體幾何試題。 【例11 （2004年湖北

12、卷，理） 如圖，在棱長為 1的正方體 ABCD AiBiCiDi中， 中點，點F是棱CD上的動點. （I ）試確定點F的位置，使得 D1E丄平面AB1F; （n ）當 D1E丄平面AB1F時求二面角C1 EF A的大?。ńY果用反三 角函數(shù)值表示）. 【分析及解1解法1. （ I）連結A1B，則A1B是D1E在面ABB1A ;內(nèi) 的射影 AB1 丄A1B,. D1E丄AB1, 于是D1E丄平面AB1F D1E丄AF. 連結DE，貝y DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的射影. D1E 丄 AFDE 丄 AF. / ABCD是正方形，E是BC的中點. 當且僅當F是CD的中點時，DE丄AF , 即當點F是

13、CD的中點時，D1E丄平面AB1F. （II）當D1E丄平面AB1F時，由（I）知點F是CD的中點. 又已知點E是BC的中點，連結 EF,貝y EF/ BD.連結AC , 設AC與EF交于點H,則CH丄EF,連結C1H ,則CH是dH在底面 C1H丄EF,即/ C1HC是二面角 C1 EF C的平面角. 142 CH= AC= 4 在 Rt CiCH 中， CiC=1, ,從而在解題時需要 點E是棱BC的 以動求靜”, ABCD內(nèi)的射影. 1 逼 4 / C1HC=arctan2J2，從而/ AHC 1= 故二面角C1 EF A的大小為 tan/ C1HC= CC CH arcta n 22

14、. H arctan 22 . 解法2.以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 (I )設 DF=x,則 A (0, 0, 0), B (1, 0, 0), D ( 0, 1 , 0), A1 (0, 0, 1), B (1, 0, 1), D1 (0, 1 , 1), E（1,2，0），F(xiàn)（x，1, 0） D1E (1, 2 1),AB1(1,0,1), AF D Ab1 1 1 0,即 D1EAR (x,1,0) 于是DjE 平面AB1F DjE AF D.E AF 0 即X 1故當點F是CD的中點時 QE 2 (n )當 D1E丄平面 AB1F時，F(xiàn)是CD的中點，又E是BC的中點，

15、連結EF,則EF / BD. 連結AC ,設AC與EF交于點H，則AH丄EF. 連結C1H，則CH是C1H在底面ABCD內(nèi)的射影. C1H 丄 EF, 即/ AHC 1 是二面角 C1 EFA 3 3 QC1(1,1,1),H(-,-,0), 4 4 1 1 uuu (-1),HA 4 4 UUL HA LUU 平面ABF f UULU Q HC1 cos AHG ( LULU HC1 UUUu 4, |0). |HA| IHC1I 即 AHC1 arccos(-) 3 1 arccos. 3 故二面角C1 EF A的大小為 1 arccos. 3 從題型封閉到題型開放 近幾年，在立體幾何試題

16、中，出現(xiàn)了一批條件探究型， 類比歸納型，研究型的試題 . 【例11( 1999年上海卷) 若四面體各棱的長是1或2 ,且該四面體不是正四面體，則其體積的值是 .(只需寫出一個可能的值) 【分析及解1本題除了鎖定該四面體不是正四面體之外，棱長只給出是1或2,至于在6 條棱中，有幾條棱長是1,有幾條棱長是2,題目并沒有給出，并且長度為1的棱與長度為2的棱 之間如何排列，題目也沒有給出，所以會出現(xiàn)不同的四面體 ，因此,這是一道條件和結論都開放 的問題. 1. 5 1 ”型. (1) 5條棱長為 在這種情況下 (2) 5條棱長為 結論開放型，條件結論都開放型, 1, 一條棱長為2. ，必有一個面為邊長

17、為 2, 條棱長為 1,1,2的三角形,這是不可能的. 設四面體ABCD，其中CD 佑 6 . 可求得,Vabcd 2. 4 2 ”型. (1) 4條棱長為 在這種情況下 (2) 4條棱長為 1. 1, AB 1,2條棱長為 ，必有一個面為邊長為 2,2條棱長為1. 2. AC AD BC BD 2. 1,1,2的三角形,這是不可能的 如果2條棱長為1的棱是由一個頂點引出的，也會出現(xiàn)邊長為1,1,2的三角形，這是不可 能的，因此，棱長為1的兩條棱必定是對棱. 設四面體 ABCD,其中 AB CD 1, AC AD BC BD 2 可求得，Vabcd 54 12 3. 3 （1） 是不可能的 （2） 3 ”型. 底面的 3條棱長是2,側棱的3條棱長是1，也會出現(xiàn)邊長為1,1,2的三角形,這 底面的 3條棱長是1，側棱的3條棱長是2,這時四面體ABCD是正三棱錐，容 Ji? 易求出，Vabcd . 12 由以上可以看出，若四面體各棱的長是 1或2,且該四面體不是正四面體，則其體積 的值可能是 血,血,西，雖然本題只需要一個結果 ，但是在解題之初還是要對棱長為1 6 12 12 和2的不同