MatlabPDE工具箱有限元法求解偏微分方程

1、在科學(xué)技術(shù)各領(lǐng)域中，有很多問(wèn)題都可以歸結(jié)為偏微分方程問(wèn)題。在物理專(zhuān)業(yè)的力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)、光學(xué)、近代物理課程中都可遇見(jiàn)偏微分方程。偏微分方程，再加上邊界條件、初始條件構(gòu)成的數(shù)學(xué)模型，只有在很特殊情況下才可求得解析解。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，采用數(shù)值計(jì)算方法，可以得到其數(shù)值解。偏微分方程基本形式L橢圓型2.拋物型V - (cVu) + au - f初始條件：U Q = I/ (f )3. 雙曲型d C- V ( V it) + au = f dr初始條件；Mq = u (f0 ) u 0 = u 7f0 )4. 本征值方程-V (cV t/) + tziz 二 Adu而以上的偏微分方程都能利用PDE

2、工具箱求解。PDE工具箱PDE工具箱的使用步驟體現(xiàn)了有限元法求解問(wèn)題的基本思路，包括如下基本步驟:1）建立幾何模型2）定義邊界條件3）定義PDE類(lèi)型和PDE系數(shù)4）三角形網(wǎng)格劃分5）有限元求解 6）解的圖形表達(dá)以上步驟充分體現(xiàn)在 PDE工具箱的菜單欄和工具欄順序上，如下O這里以求解一牛單位圓盤(pán)的泊松方程為例亠泊松方程迪最筒單的橢圓型POE 問(wèn)題.該問(wèn)題的公式為-A = 1相當(dāng)于橢匱方程中c=t=l, a=0.邊界條件為U=0而該問(wèn)題的fil確解為信面會(huì)與竝值解做對(duì)比匚具體實(shí)現(xiàn)如下。打開(kāi)工具箱輸入pdetool可以打開(kāi)偏微分方程求解工具箱，如下首先需要選擇應(yīng)用模式，工具箱根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的不同提供了

3、很多應(yīng)用模式，用戶(hù)可以基于適當(dāng)?shù)哪Ｊ竭M(jìn)行建模和分析。在Options菜單的Application菜單項(xiàng)下可以做選擇，如下02 -0 -0 2-ApplicationRefreshV Gereric ScahrGeneric SystemStructural Mrchanics, Pane StressStructural Mechanics, Plane StrainElectrostaticsVagnetoitathcj屛匚 Power EtectromjgnetiEiCondurtive Media DCHeat TransferDiffusion或者直接在工具欄上選擇，如下PDE 血S8-064)42002040609hfo 馬腫 la OYDUt aM dMbie zwn ftthre細(xì)化網(wǎng)格POtJooibox .UnLtl*a另外還可以進(jìn)一步選擇 Jiggle Mesh 微調(diào)網(wǎng)格。最后可以選擇Display Tria ngle Quality顯示三角形網(wǎng)格的質(zhì)量圖，其中 1表示質(zhì)量最好，0表示最差，如下有限元求解選擇Solve菜單下的Solve PDE選項(xiàng)進(jìn)行PDE問(wèn)題的求解，如下解的圖形表達(dá)選擇Plot菜單下的Parameters可以設(shè)置顯示的效果，如下顯示結(jié)果如下Color u Height