理論力學第七版第十三章達朗貝爾原理

1、理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 第十三章第十三章 達朗貝爾原理達朗貝爾原理( (動靜法動靜法) ) 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 第十三章第十三章 達朗貝爾原理達朗貝爾原理( (動靜法動靜法) ) 達朗貝爾原理為解決非自由質(zhì)點系的動力學達朗貝爾原理為解決非自由質(zhì)點系的動力學 問題提供了有別于動力學普遍定理的另外一類方問題提供了有別于動力學普遍定理的另外一類方 法。法。 引進慣性力的概念，將動力學系統(tǒng)的二階運引進慣性力的概念，將動力學系統(tǒng)的二階運 動量表示為慣性力，進而應用靜力學方法研究動動量表示為慣性力，進而應用靜力學方法研究動 力學問題力學問題 達朗貝爾原理。達朗貝爾原理。 達

2、朗貝爾原理一方面廣泛應用于剛體動力學達朗貝爾原理一方面廣泛應用于剛體動力學 求解動約束力；另一方面又普遍應用于彈性桿件求解動約束力；另一方面又普遍應用于彈性桿件 求解動應力。求解動應力。 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 工程實際問題工程實際問題 第十三章第十三章 達朗貝爾原理達朗貝爾原理( (動靜法動靜法) ) 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 第十三章第十三章 達朗貝爾原理達朗貝爾原理( (動靜法動靜法) ) 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 質(zhì)點達朗貝爾原理 質(zhì)點系達朗貝爾原理 13-1 達朗貝爾原理達朗貝爾原理 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 A B M 該質(zhì)點的動力

3、學基本方程為該質(zhì)點的動力學基本方程為 設質(zhì)量為設質(zhì)量為m的非自由質(zhì)點的非自由質(zhì)點M，在主，在主 動力動力F和約束力和約束力FN作用下沿曲線運動，作用下沿曲線運動， FI F FN 或或 引入質(zhì)點的慣性力引入質(zhì)點的慣性力FI =ma 這一概念，于是上式可改寫成這一概念，于是上式可改寫成 上式表明，在質(zhì)點運動的每一瞬時，作用于質(zhì)點的主動力、上式表明，在質(zhì)點運動的每一瞬時，作用于質(zhì)點的主動力、 約束力和質(zhì)點的慣性力在形式上構成一平衡力系。這就是質(zhì)點約束力和質(zhì)點的慣性力在形式上構成一平衡力系。這就是質(zhì)點 的達朗貝爾原理。的達朗貝爾原理。 ama 13-1 達朗貝爾原理達朗貝爾原理 一、質(zhì)點達朗貝爾原理

4、 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 質(zhì)點達朗貝爾原理的投影形式質(zhì)點達朗貝爾原理的投影形式 13-1 達朗貝爾原理達朗貝爾原理 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 這表明，在質(zhì)點系運動的任一瞬時，作用于每一質(zhì)點這表明，在質(zhì)點系運動的任一瞬時，作用于每一質(zhì)點 上的主動力、約束力和該質(zhì)點的慣性力在形式上構成一平上的主動力、約束力和該質(zhì)點的慣性力在形式上構成一平 衡力系。衡力系。 上述質(zhì)點的達朗貝爾原理可以直接推廣到質(zhì)點系。將上述質(zhì)點的達朗貝爾原理可以直接推廣到質(zhì)點系。將 達朗貝爾原理應用于每個質(zhì)點，得到達朗貝爾原理應用于每個質(zhì)點，得到n個矢量平衡方程。個矢量平衡方程。 這就是質(zhì)點系的達朗貝爾原

5、理。這就是質(zhì)點系的達朗貝爾原理。 13-2 質(zhì)點系質(zhì)點系達朗貝爾原理達朗貝爾原理 二、質(zhì)點系達朗貝爾原理二、質(zhì)點系達朗貝爾原理 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 對于所討論的質(zhì)點系，有對于所討論的質(zhì)點系，有n個形式如上式的平衡方程，個形式如上式的平衡方程， 即有即有n個形式上的平衡力系。將其中任何幾個平衡力系合在個形式上的平衡力系。將其中任何幾個平衡力系合在 一起，所構成的任意力系仍然是平衡力系。根據(jù)靜力學中一起，所構成的任意力系仍然是平衡力系。根據(jù)靜力學中 空間任意力系的平衡條件，有空間任意力系的平衡條件，有 13-2 質(zhì)點系質(zhì)點系達朗貝爾原理達朗貝爾原理 理論力學第七版第十三章達朗貝爾

6、 原理 上式表明上式表明在任意瞬時，作用于質(zhì)點系的主動力、約束在任意瞬時，作用于質(zhì)點系的主動力、約束 力和該點的慣性力所構成力系的主矢等于零，該力系對任一力和該點的慣性力所構成力系的主矢等于零，該力系對任一 點點O的主矩也等于零。的主矩也等于零。 達朗貝爾原理提供了按靜力學平衡方程的形式給出質(zhì)點系達朗貝爾原理提供了按靜力學平衡方程的形式給出質(zhì)點系 動力學方程的方法，這種方法稱為動靜法。這些方程也稱為動動力學方程的方法，這種方法稱為動靜法。這些方程也稱為動 態(tài)平衡方程。態(tài)平衡方程。 13-2 質(zhì)點系質(zhì)點系達朗貝爾原理達朗貝爾原理 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 由質(zhì)心運動定理有由質(zhì)心運動定

7、理有 F = maC ,得得 對于作任意運動的質(zhì)點系，把實際所受的力和虛加慣性對于作任意運動的質(zhì)點系，把實際所受的力和虛加慣性 力各自向任意點力各自向任意點O簡化后所得的主矢、主矩分別記作簡化后所得的主矢、主矩分別記作F，MO 和和FIR ，MIO ，于是，由力系平衡條件，可得，于是，由力系平衡條件，可得 即即, ,質(zhì)點系慣性力的主矢恒等于質(zhì)點系總質(zhì)量與質(zhì)心加速度質(zhì)點系慣性力的主矢恒等于質(zhì)點系總質(zhì)量與質(zhì)心加速度 的乘積，而取相反方向。的乘積，而取相反方向。 一、一、 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 1.1.慣性力系的主矢慣性力系的主矢 13-3 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 理論力學第七版第十三

8、章達朗貝爾 原理 由對任意固定點由對任意固定點O的動量矩定理有的動量矩定理有 ， 現(xiàn)將上式兩端投影到任一固定軸現(xiàn)將上式兩端投影到任一固定軸Oz上，上， 上式表明上式表明質(zhì)點系的慣性力對于任一固定點（或固定軸）質(zhì)點系的慣性力對于任一固定點（或固定軸） 的主矩，等于質(zhì)點系對于該點（或該軸）的動量矩對時間的導的主矩，等于質(zhì)點系對于該點（或該軸）的動量矩對時間的導 數(shù)，并冠以負號。數(shù)，并冠以負號。 2.2.慣性力慣性力系的主矩系的主矩 代入代入 得得 13-3 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 上式表明：質(zhì)點系的慣性力對質(zhì)心（或通過質(zhì)心的平動軸）上式表明：質(zhì)點系的慣性

9、力對質(zhì)心（或通過質(zhì)心的平動軸） 的主矩，等于質(zhì)點系對質(zhì)心（或該軸）的動量矩對時間的導數(shù)，的主矩，等于質(zhì)點系對質(zhì)心（或該軸）的動量矩對時間的導數(shù)， 并冠以負號。并冠以負號。 以及它在通過質(zhì)心以及它在通過質(zhì)心C的某一平動軸的某一平動軸上的投影表達式上的投影表達式 利用相對于質(zhì)心的動量矩定理，可以得到質(zhì)點系的慣性力利用相對于質(zhì)心的動量矩定理，可以得到質(zhì)點系的慣性力 對質(zhì)心對質(zhì)心C的主矩表達式的主矩表達式 13-3 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 慣性力慣性力系的主矩與剛體的運動形式有關。系的主矩與剛體的運動形式有關。 慣性力慣性力系的主矢與剛體的運動形式無關。系的

10、主矢與剛體的運動形式無關。 13-3 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 1. 1. 剛體作平動剛體作平動 aC a1 a2 an M m2 mn m1 FIRn FIR1 FIR2 FIR 剛體平移時，慣性力系簡化為通過剛體質(zhì)心的合力。剛體平移時，慣性力系簡化為通過剛體質(zhì)心的合力。 剛體平移時，慣性力系向質(zhì)心簡化剛體平移時，慣性力系向質(zhì)心簡化 主矢主矢 主矩主矩 13-3 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 二、剛體常見運動情況下慣性力的主矢和主矩二、剛體常見運動情況下慣性力的主矢和主矩 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 O C 2. 2. 剛體做定軸轉動剛體做

11、定軸轉動 設剛體繞固定軸設剛體繞固定軸Oz轉動，在任意瞬轉動，在任意瞬 時的角速度為時的角速度為，角加速度為，角加速度為。 主矢主矢 具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于對稱平面的固定軸轉動。具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于對稱平面的固定軸轉動。 設質(zhì)心設質(zhì)心C的轉動半徑為的轉動半徑為rC，則，則 和和 的大小可分別表示為的大小可分別表示為 13-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 rC 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 顯然，當質(zhì)心顯然，當質(zhì)心C在轉軸上時，剛在轉軸上時，剛 體的慣性力主矢必為零。體的慣性力主矢必為零。 其中其中 13-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 O C z y x rC 理

12、論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 主矢主矢 具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于 質(zhì)量對稱平面的固定軸轉動時，慣性力質(zhì)量對稱平面的固定軸轉動時，慣性力 系向固定軸簡化，得到的慣性力系主矢系向固定軸簡化，得到的慣性力系主矢 的大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度大小的大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度大小 的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。 13-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 O C z y x rC 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 O C z y x n C a t C a In F It F dt d J)(J dt d dt dL M

13、zz z Iz 即即 zIz JM 對轉軸的主矩對轉軸的主矩 將剛體對轉軸將剛體對轉軸Oz的動量矩的動量矩 代入代入 可得剛體慣性力對可得剛體慣性力對 軸軸Oz的主矩的主矩 dt dL M z Iz zz JL 13-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 rC 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直 于質(zhì)量對稱平面的固定軸轉動時，慣于質(zhì)量對稱平面的固定軸轉動時，慣 性力系向固定軸簡化的結果，得到合性力系向固定軸簡化的結果，得到合 力偶的力偶矩即為慣性力系的主矩，力偶的力偶矩即為慣性力系的主矩， 其大小等于剛體對轉動軸的轉動慣量其大小等于剛體對

14、轉動軸的轉動慣量 與角加速度的乘積，方向與角加速度與角加速度的乘積，方向與角加速度 方向相反。方向相反。 對轉軸的主矩對轉軸的主矩 13-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 zIz JM O C z y x n C a t C a In F It F 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 主矢主矢 對轉軸的主矩對轉軸的主矩 合力的矢量即為慣性力系的主矢，其大小等于剛體質(zhì)合力的矢量即為慣性力系的主矢，其大小等于剛體質(zhì) 量與質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。量與質(zhì)心加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。 具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于具有質(zhì)量對稱平面的剛體繞垂直于 質(zhì)量對稱平面的

15、固定軸轉動時，慣性力質(zhì)量對稱平面的固定軸轉動時，慣性力 系向固定軸簡化的結果，得到一個合力系向固定軸簡化的結果，得到一個合力 和一個合力偶。和一個合力偶。 合力偶的力偶矩即為慣性力系的主矩，其大小等于剛體合力偶的力偶矩即為慣性力系的主矩，其大小等于剛體 對轉動軸的轉動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度方對轉動軸的轉動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度方 向相反。向相反。 O C I F MIz 13-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 zIz JM )aam(amF n C t CCI 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 3. 3. 剛體作平面運動剛體作平面運動 具有質(zhì)量對稱平面的剛體作平

16、面運動，并且運動具有質(zhì)量對稱平面的剛體作平面運動，并且運動 平面與質(zhì)量對稱平面互相平行。對于這種情形，先將平面與質(zhì)量對稱平面互相平行。對于這種情形，先將 剛體的空間慣性力系向質(zhì)量對稱平面內(nèi)簡化，得到這剛體的空間慣性力系向質(zhì)量對稱平面內(nèi)簡化，得到這 一平面內(nèi)的平面慣性力系，然后再對平面慣性力系作一平面內(nèi)的平面慣性力系，然后再對平面慣性力系作 進一步簡化。進一步簡化。 13-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 3. 3. 剛體作平面運動剛體作平面運動 若取質(zhì)心若取質(zhì)心C為基點，則剛體的平面運動為基點，則剛體的平面運動 可以分解為隨質(zhì)心可以分解為隨質(zhì)心C的平動和繞

17、質(zhì)心（通過的平動和繞質(zhì)心（通過 質(zhì)心且垂直于運動平面的軸）的轉動。質(zhì)心且垂直于運動平面的軸）的轉動。 C aC ri mi aC t r i a n r i a 剛體上各質(zhì)點的加速度及相應的慣性剛體上各質(zhì)點的加速度及相應的慣性 力也可以分解為隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心軸力也可以分解為隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心軸 的轉動兩部分。的轉動兩部分。 于是，此剛體的牽連平動慣性力可合于是，此剛體的牽連平動慣性力可合 成為作用線通過質(zhì)心、且在對稱面內(nèi)的一成為作用線通過質(zhì)心、且在對稱面內(nèi)的一 個力個力FI。 因質(zhì)心因質(zhì)心C在相對運動的轉軸上，故剛在相對運動的轉軸上，故剛 體的相對轉動的慣性力合成為一力偶。體的相對轉動的

18、慣性力合成為一力偶。 FI MIC 13-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 CI amF 具有質(zhì)量對稱平面的剛體作平面運動，并且運動平面與具有質(zhì)量對稱平面的剛體作平面運動，并且運動平面與 質(zhì)量對稱平面互相平行。這種情形下，慣性力系向質(zhì)心簡化質(zhì)量對稱平面互相平行。這種情形下，慣性力系向質(zhì)心簡化 的結果得到一個合力和一個合力偶，二者都位于質(zhì)量對稱平的結果得到一個合力和一個合力偶，二者都位于質(zhì)量對稱平 面內(nèi)。面內(nèi)。 合力的矢量即為慣性力系的合力的矢量即為慣性力系的 主矢，其大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心主矢，其大小等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心 加速度大小的乘積，方向與質(zhì)心加加速度

19、大小的乘積，方向與質(zhì)心加 速度方向相反。速度方向相反。 主矢主矢 13-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 C aC ri mi aC t r i a n r i a FI MIC 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 合力偶的力偶矩即為慣性力合力偶的力偶矩即為慣性力 系的主矩，其大小等于剛體對通系的主矩，其大小等于剛體對通 過質(zhì)心的轉動軸的轉動慣量與角過質(zhì)心的轉動軸的轉動慣量與角 加速度的乘積，方向與角加速度加速度的乘積，方向與角加速度 方向相反。方向相反。 zCIC JM 主矩主矩 13-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 C aC ri mi aC t r i a n r i a FI MI

20、C 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 zCIC JM 主矩主矩 CI amF 主矢主矢 CiiI am )am(F 主矢主矢 主矩主矩 0 I M 主矢主矢 )aam(amF n C t CCI JM zIz 對轉軸的主矩對轉軸的主矩 綜上所述：綜上所述： 13-2 慣性力系的簡化慣性力系的簡化 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 例題例題 13-1 汽車連同貨物的總質(zhì)量是汽車連同貨物的總質(zhì)量是m ，其質(zhì)心，其質(zhì)心 C 離前后離前后 輪的水平距離分別是輪的水平距離分別是 b 和和 c ，離地面的高度是，離地面的高度是 h

21、 。當汽車以。當汽車以 加速度加速度a沿水平道路行駛時，求地面給前、后輪的鉛直反力。沿水平道路行駛時，求地面給前、后輪的鉛直反力。 輪子的質(zhì)量不計。輪子的質(zhì)量不計。 AB C c b h 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 取汽車連同貨物為研取汽車連同貨物為研 究對象。汽車實際受到的究對象。汽車實際受到的 外力有：重力外力有：重力 G，地面對，地面對 前、后輪的鉛直反力前、后輪的鉛直反力 FNA 、 FNB 以及水平摩擦力以及水平摩擦力 FB (注注 意：前輪一般是被動輪，意：前輪一般是被動輪， 當忽略輪子質(zhì)量時，其摩當忽略輪子質(zhì)量時，其摩 擦力可以不計擦力可以

22、不計)。 解： 因汽車作平動，其慣性力系合成為作用在質(zhì)心因汽車作平動，其慣性力系合成為作用在質(zhì)心 C 上的上的 一個力一個力 FI= ma 。 C c b h 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 ) 1 ( 0)( , 0 N cbFmgchFM AIB 于是可寫出汽車的動態(tài)平衡方程于是可寫出汽車的動態(tài)平衡方程 由式由式(1)和和(2)解得解得 cb ahgbm F cb ahgcm F B A )( )( N N ) 2( 0)( , 0 N cbFmgbhFM BIA 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 C c b h 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 汽車剎

23、車時，前輪和后輪哪個容易汽車剎車時，前輪和后輪哪個容易“抱死抱死”？ 車輪防抱死裝置車輪防抱死裝置ABS: Anti-Brake System 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 思考題 1 l 2 l h gm 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 1 l 2 l h gm 1 F 1N F 2 F 2N F 分析汽車剎車時的動力學特性分析汽車剎車時的動力學特性 I F 0)(, 0 2211N hFmglllFM IB 21 2 1N ll hFmgl F I 0)(, 0 1212N hFmglllFM IA 21 1 2N ll hFmgl F I 剎車時的動力學特性：車頭下沉；剎車時的動力

24、學特性：車頭下沉； 若質(zhì)心在中間，后輪容易打滑。若質(zhì)心在中間，后輪容易打滑。 A B 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 例題例題13-2 如圖所示，如圖所示， 勻質(zhì)滑輪的半徑為勻質(zhì)滑輪的半徑為r，質(zhì)，質(zhì) 量為量為m，可繞水平軸轉動。，可繞水平軸轉動。 輪緣上跨過的軟繩的兩端輪緣上跨過的軟繩的兩端 各掛質(zhì)量為各掛質(zhì)量為m1和和m2的重物的重物, 且且m1 m2 。繩的重量不計，。繩的重量不計， 繩與滑輪之間無相對滑動，繩與滑輪之間無相對滑動， 軸承摩擦忽略不計。求重軸承摩擦忽略不計。求重 物的加速度和軸承反力。物的加速度和軸承反力。 O A B r O 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例

25、 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 以滑輪與兩重物一起組成所研究的以滑輪與兩重物一起組成所研究的 質(zhì)點系。作用在該系統(tǒng)上的外力有重力質(zhì)點系。作用在該系統(tǒng)上的外力有重力 m1g，m2g，mg和軸承約束反力和軸承約束反力FN。 , 11 amF I amFI 22 O A B r y 解：解： 已知已知m1m2，則重物的加速度，則重物的加速度a方向方向 如圖所示。如圖所示。 在系統(tǒng)中每個質(zhì)點上假想地加上在系統(tǒng)中每個質(zhì)點上假想地加上 慣性力后，可以應用達朗貝爾原理。慣性力后，可以應用達朗貝爾原理。 重物的慣性力方向均與加速度重物的慣性力方向均與加速度a 的方向相反，大小分別為：的方向相反，大小分

26、別為： O 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 滑輪定軸轉動，慣性力向轉軸滑輪定軸轉動，慣性力向轉軸O簡簡 化?；?。 0 2211 IOII Mg)rmFFg(m 應用達朗貝爾原理列平衡方程，得應用達朗貝爾原理列平衡方程，得 主矢主矢 FI=maO=0 主矩主矩 MIO=JO = O A B r y O , 0 y F ,(F)MO0 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 g mmm mm a 2 1 21 21 解得解得 0 2211 IOII MgrmrFrFgrm , 0 y F ,(F)MO0 0 212

27、1 IIN FFgmgmmgF 0 2121N amamgmgmmgF a ,mF I22 marMIO 2 1 O A B r y O 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 例題例題13-3飛輪質(zhì)量為飛輪質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R，以勻角速度，以勻角速度轉動。轉動。 設輪緣較薄，質(zhì)量均勻分布，輪輻質(zhì)量不計。若不考慮重設輪緣較薄，質(zhì)量均勻分布，輪輻質(zhì)量不計。若不考慮重 力的影響，求輪緣橫截面的張力。力的影響，求輪緣橫截面的張力。 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 取四分之一輪緣為研究對象，如取四分之一輪緣為研究

28、對象，如 圖所示。將輪緣分成無數(shù)微小的弧段，圖所示。將輪緣分成無數(shù)微小的弧段， 每段加慣性力每段加慣性力 n iiIi amF 2 2 RR R m amF i n iiIi 建立平衡方程建立平衡方程 , 0 x F 0 cos AiIi FF 令令 ，有，有 0 i 2 d cos 2 2 2 0 2 mR R m FA 解： 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 由于輪緣質(zhì)量均分布，任一截由于輪緣質(zhì)量均分布，任一截 面張力都相同。面張力都相同。 再建立平衡方程再建立平衡方程 , 0 y F 0sin BiIi F F 2 2 mR F B 同樣解得同

29、樣解得 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 x y O C A 例題例題13-4 車輛的主動輪車輛的主動輪 如圖所示。設輪的半徑為如圖所示。設輪的半徑為r， 重為重為W1(W1= mg)，在水平直，在水平直 線軌道上運動。車身對輪子線軌道上運動。車身對輪子 的作用力可分解為的作用力可分解為W和和F，驅，驅 動力偶矩為動力偶矩為M。車輪對通過。車輪對通過 其質(zhì)心并垂直于車輪對稱面其質(zhì)心并垂直于車輪對稱面 的軸的回轉半徑為的軸的回轉半徑為C ，輪與輪與 軌道間的滑動摩擦系數(shù)為軌道間的滑動摩擦系數(shù)為fs， 不計滾動摩阻的影響。求在不計滾動摩阻的影響。求在 不

30、滑動條件下，驅動力偶矩不滑動條件下，驅動力偶矩 M的最大值。的最大值。 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 慣性力系：因車輪作平面運動，設車慣性力系：因車輪作平面運動，設車 身有向前的加速度身有向前的加速度a，則慣性力系向，則慣性力系向 質(zhì)心質(zhì)心C簡化的主矢量簡化的主矢量FI和主矩和主矩MIC為：為： 分析車輪的受力情況如下。分析車輪的受力情況如下。 主動力系主動力系: 車身的載荷車身的載荷F和和W，驅動，驅動 力偶矩力偶矩M，車輪的重量，車輪的重量W1=mg。 約束力系：法線約束力約束力系：法線約束力FN ，滑動摩擦，滑動摩擦 力力Ff 。 解：解：

31、 x y O C A 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 應用動靜法，寫出動態(tài)平衡方程：應用動靜法，寫出動態(tài)平衡方程： , 0 x F 0 f I FFF , 0 y F 0 1N WWF ,(F)MC0 0 f MrFMIC x y O C A 0 (F)M A 是否可以是否可以？ 0)( MrFFM IIC 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 再利用再利用Ff fsFN的條件，可得的條件，可得 22 2 f r FMr F C C 1N WWF 上三式包含上三式包含F(xiàn)f ，F(xiàn)N和和a三個未三個未 知量，故可

32、解出知量，故可解出 x y O O A 2 2 2 2 1s )1)( r F r WWfrM CC 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 例題例題13-5 如圖所示，如圖所示， 勻質(zhì)圓盤的半徑為勻質(zhì)圓盤的半徑為r，質(zhì)，質(zhì) 量為量為m，可繞水平軸，可繞水平軸O轉轉 動。突然剪斷繩，求圓盤動。突然剪斷繩，求圓盤 的角加速度和軸承的角加速度和軸承O處的處的 反力。反力。 A B rO C 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 A B r O C y x t C a n C a 圓盤定軸轉動，慣性力向轉軸圓盤定軸轉動，慣

33、性力向轉軸O簡化。簡化。 0 IOItOy M)rF(F 應用達朗貝爾原理列平衡方程，得應用達朗貝爾原理列平衡方程，得 主矢主矢 FIt=matC= m r 主矩主矩 MIO= JO = 2 2 3 mr , 0 y F ,(F)M C 0 FOx +FIn=0 , 0 x F FOy + FItmg= 0 FIn=mr2= 0 0 (F)M O 是否可以是否可以？ 0 IO Mmgr 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 解：解： 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 A B r O C y x t C a n C a 若認為圓盤平面運動，則慣性力應向圓心若認為圓盤平面運動，則慣性力應向圓

34、心C簡化。簡化。 0 ICOy MrF 應用達朗貝爾原理列平衡方程，得應用達朗貝爾原理列平衡方程，得 主矢主矢 FIt=matC= m r 主矩主矩 MIC= JC = 2 2 1 mr , 0 y F ,(F)MC0 FOx +FIn=0 , 0 x F FOy + FItmg= 0 FIn=mr2= 0 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 討論 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 例題例題 13-6 用長用長 l 的兩根繩子的兩根繩子 AO 和和 BO 把長把長 l ，質(zhì)量質(zhì)量 是是 m 的勻質(zhì)細桿懸在點的勻質(zhì)細桿懸在點 O (圖圖 a )。當桿靜止時，突然剪斷。當桿靜止時，突然剪斷

35、 繩子繩子 BO ，試求剛剪斷瞬時另一繩子，試求剛剪斷瞬時另一繩子 AO 的拉力。的拉力。 O l l l B A C （a） 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 繩子繩子BO剪斷后，桿剪斷后，桿AB將開始在鉛直將開始在鉛直 面內(nèi)作平面運動。由于受到繩面內(nèi)作平面運動。由于受到繩OA的約束，的約束， 點點A將在鉛直平面內(nèi)作圓周運動。在繩子將在鉛直平面內(nèi)作圓周運動。在繩子 BO剛剪斷的瞬時，桿剛剪斷的瞬時，桿AB上的實際力只有繩上的實際力只有繩 子子AO的拉力的拉力F和桿的重力和桿的重力mg。 解：解： 在引入桿的慣性力之前，須對桿作加在引入桿的慣性力之前

36、，須對桿作加 速度分析。取坐標系速度分析。取坐標系Axyz 如圖如圖(c)所示。所示。 aA = anA + atA= aCx + aCy + atAC + anAC O B A C O x y B A （c） t AC a t A a Cy a Cx a Cy a Cx a 利用剛體作平面運動的加速度合成定利用剛體作平面運動的加速度合成定 理，以質(zhì)心理，以質(zhì)心C作基點，則點作基點，則點A的加速度為的加速度為 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 在繩在繩BO剛剪斷的瞬時，桿的角速度剛剪斷的瞬時，桿的角速度 = 0 ，角加速度，角加速度 0。因此。因此

37、又又 anA=0，加速度各分量的方向如圖，加速度各分量的方向如圖(c)所示。所示。 把把 aA 投影到點投影到點A軌跡的法線軌跡的法線 AO上，就得到上，就得到 anAC = AC 2 = 0 atAC = l2 sin sin cos0 t ACCyCx aaa 這個關系就是該瞬時桿的運動要素所滿足的這個關系就是該瞬時桿的運動要素所滿足的 條件。條件。 即即 0 sin 2 l sin- cos CyCx aa （1） O B A C O x y B A （c） t AC a t A a Cy a Cx a Cy a Cx a 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達

38、朗貝爾 原理 桿的慣性力合成為一個作用在質(zhì)心桿的慣性力合成為一個作用在質(zhì)心 的力的力 FIC 和一個力偶和一個力偶MIC ，兩者都在運動，兩者都在運動 平面內(nèi)，平面內(nèi)， FIC的兩個分量大小分別是的兩個分量大小分別是 FICx = maCx , FICy = maCy 力偶矩力偶矩 MIC 的大小是的大小是 MIC = JCz 旋向與旋向與相反相反( 如圖如圖b)。 O B A C O x y B A （c） t AC a t A a Cy a Cx a Cy a Cx a 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 FICx FICy MIC 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 由動靜法寫出桿

39、的動態(tài)平衡方程，有由動靜法寫出桿的動態(tài)平衡方程，有 且對于細桿且對于細桿 , JCz = ml 212 。 聯(lián)立求解方程聯(lián)立求解方程(1)(4)，就可求出，就可求出 mg mg F 13 32 cossin4 sin 22 0 sin 2 , 0)F( 0 sin , 0 0 cos , 0 l FJM FmgmaF FmaF zCC Cyy Cxx （2） （3） （4） O B A C O x y B A （c） t AC a t A a Cy a Cx a Cy a Cx a 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 FICx FICy MIC 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 例題例

40、題13-8 半徑為半徑為R，重量為，重量為W1的大圓輪，由繩索牽引，的大圓輪，由繩索牽引， 在重量為在重量為W2的重物的重物A的作用下，在水平地面上作純滾動，系的作用下，在水平地面上作純滾動，系 統(tǒng)中的小圓輪重量忽略不計。求大圓輪與地面之間的滑動摩統(tǒng)中的小圓輪重量忽略不計。求大圓輪與地面之間的滑動摩 擦力。擦力。 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 解：解： 先應用動能定理，求出先應用動能定理，求出 加速度，再對大圓輪應加速度，再對大圓輪應 用動靜法。用動靜法。 sWT R v R g W v g W v g W 20 2212122 )( 2 1 (

41、 2 1 2 1 2 1 1. 應用動能定理。應用動能定理。 A 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 sWT R v R g W v g W v g W 20 2212122 )( 2 1 ( 2 1 2 1 2 1 sWTv g W g W 20 212 ) 2 3 ( 2 1 v t s d d 12 2 2 3 WW gW a 1. 應用動能定理。應用動能定理。 兩邊對時間兩邊對時間t求導，且求導，且 得得 A 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 12 2 2 3W W gW a 0 0,)F( FRJM

42、 CC ) 2 3 ( 2 12 12 2 WW WW R aJ R J F CC 2. 應用動靜法。應用動靜法。 取輪子為研究對象。取輪子為研究對象。 將將 帶入上式得帶入上式得 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 例例13-9 鉛直軸鉛直軸AB以勻角速度以勻角速度轉動，軸上轉動，軸上 固連兩水平桿固連兩水平桿CD和和EF，兩桿分別和轉軸，兩桿分別和轉軸 形成的平面夾角是形成的平面夾角是，兩桿長度都是，兩桿長度都是l，其，其 余尺寸如圖余尺寸如圖14-9所示。今在兩桿端上各固所示。今在兩桿端上各固 連一小球連一小球D和和F，它們的質(zhì)量都是，它們的質(zhì)量

43、都是m，不計，不計 轉軸和桿的質(zhì)量。試求軸承轉軸和桿的質(zhì)量。試求軸承A、B對軸的動對軸的動 反力。反力。 x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 2 laa FD 2 mlQQ FD 當轉軸以勻角速度當轉軸以勻角速度轉動時，兩小轉動時，兩小 球只有法向加速度，其大小是球只有法向加速度，其大小是 兩小球慣性力的大小是兩小球慣性力的大小是 方向分別沿方向分別沿CD和和EF，真實力與慣性力構，真實力與慣性力構 成空間任意力系，如圖所示。因對象上的成

44、空間任意力系，如圖所示。因對象上的 慣性力是兩個集中力，所以不必簡化。慣性力是兩個集中力，所以不必簡化。 x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 解：取轉軸連同兩桿和兩小球為研究對解：取轉軸連同兩桿和兩小球為研究對 象。它所受的真實力有兩球的重力象。它所受的真實力有兩球的重力 G=mg和軸承和軸承A、B的反力。的反力。 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 ,Fx0 0sin 2 mlFF BxAx ,Fy0 0cos 22 mlmlFF ByAy ,F z 0 0 mgmgFA

45、z ,(F)m x 0 aml)(hmlhF By cos 22 0cos mglmgl ,(F)m y 0 0sinsin 2 mglamlhF Bx 取坐標系如圖，并根據(jù)達朗伯原理列出平衡方程取坐標系如圖，并根據(jù)達朗伯原理列出平衡方程 x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 )(hg h ml FAxsin 2 )g(aa)(h h ml FAycos1cos 22 mgFAz2 g)(a h ml F Bx sin 2 )g(aa)(h

46、 h ml F By cos1cos 22 聯(lián)立求解上列聯(lián)立求解上列13個方程，得到軸承的反力個方程，得到軸承的反力 是是 （1） 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 上述解答式中，不含上述解答式中，不含2的項是轉子（機器中的轉動部件，的項是轉子（機器中的轉動部件， 本題中是轉軸、桿及小球所組成的轉動剛體）靜止時的靜反本題中是轉軸、桿及小球所組成的轉動剛體）靜止時的靜反 力；而含力；而含2的項是轉子勻速轉動時的慣性力引起的附加動反的項是轉子勻速轉動時的慣性力引起的附加動反 力，它們的反作用力是軸承所受的附加動壓力。力，它們的反作用力是軸承所受的附加動壓

47、力。 轉子勻速轉動時的附加動壓力隨轉子勻速轉動時的附加動壓力隨的增大而急劇增大（與的增大而急劇增大（與 2成比例），且其在空間的方向隨時間而周期性變化它將影成比例），且其在空間的方向隨時間而周期性變化它將影 響軸承的使用壽命，并引起周圍物體的振動。響軸承的使用壽命，并引起周圍物體的振動。 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 0 BxAx FF 2 2a)(h h ml FF ByAy mgF Az 2 (2) 為了尋找減小或消除上述附加動壓力的途徑，現(xiàn)考慮本為了尋找減小或消除上述附加動壓力的途徑，現(xiàn)考慮本 例的如下兩種特例：例的如下兩種特例： 1. 當

48、當=時，由式（時，由式（1），有），有 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 0 BxAx FF 2 ByAy ah h ml FF)2( mgF Az 2 (2) 為了尋找減小或消除上述附加動壓力的途徑，現(xiàn)考慮本為了尋找減小或消除上述附加動壓力的途徑，現(xiàn)考慮本 例的如下兩種特例：例的如下兩種特例： 1.當當=時，由式（時，由式（1），有），有 事實上，當事實上，當=時，轉子質(zhì)心在轉軸上，從而轉子慣性力時，轉子質(zhì)心在轉軸上，從而轉子慣性力

49、主矢等于零，使得附加動壓力中由慣性力主矢引起的部分得以主矢等于零，使得附加動壓力中由慣性力主矢引起的部分得以 消除。注意到質(zhì)心在轉軸上的轉子若除自身重力外不受其他主消除。注意到質(zhì)心在轉軸上的轉子若除自身重力外不受其他主 動力作用，則轉子可在任意放置的位置上靜止平衡，所以這種動力作用，則轉子可在任意放置的位置上靜止平衡，所以這種 質(zhì)心在轉軸上的情況稱為靜平衡。質(zhì)心在轉軸上的情況稱為靜平衡。 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 可以看出，式（可以看出，式（2）中的第二式表）中的第二式表 示了兩小球慣性力所形成的力偶示了兩小球慣性力所形成的力偶 所引起的附加

50、動反力。一般也如所引起的附加動反力。一般也如 此，即僅靜平衡的轉子，還不能此，即僅靜平衡的轉子，還不能 完全消除附加動反力。完全消除附加動反力。 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 0 BxAx FF 2 2a)(h h ml FF ByAy mgF Az 2 當當=時，由式（時，由式（1），有），有 (2) x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 理論力學第七版第十三章達朗貝爾 原理 2. 當當=時，且時，且h=2a時，時， 由式（由式（2）有）有 0 ByAyBxAx FFFF mgF Az 2 (3) 13-3 動靜法應用舉例動靜法應用舉例 0 BxAx FF 2 2a)(h h ml FF ByAy mgF Az 2 當當=時，由式（時，由式（1），有），有 (2) x FBy FBx FAx FAz B C G QD y A z a a h l l E D F G QF FAy 即這時慣性力系自成平衡，附加動反力全部消除。這種轉子慣性即這時慣性力系自成平衡，附加動反力全部消除。這種轉子慣性