向量知識點題型歸納

1、專題-平面向量1. 向向量的相關(guān)概念、2. 向量的線性運算二向量的表示方法：(4)已知 ABC中，點D在BC邊上，且CD 2 DB， CD r AB s AC，則r s的值是(答: 0)四.實數(shù)與向量的積：實數(shù)1 a a, 2 當 o 時,與向量a的積是一個向量，記作a，它的長度和方向規(guī)定如下:a的方向與a的方向相同，當 0,且b不同向，a b 0是 為銳角的必要非充分條件；當 為鈍角時，a? b v0,且ab不反向，a b 0是 為鈍角的必要非充分條件；r r- -a?br r r r 非零向量a，b夾角 的計算公式：cos rr :|a?b| |a|b|。女口|a|b|(1) 已知a (

2、,2 )，b (3 ,2)，如果a與b的夾角為銳角，貝U 的取值范圍是41(答：4或 0且 丄);33廠(2) 已知 OFQ的面積為S，且OF FQ 1 ,若-S ，則OF , FQ夾角 的取值范圍是2 2(答:(,)；4 3六.向量的運算：1.幾何運算：向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之uuu r uuu ruuu r r外，向量加法還可利用“三角形法則”：設AB a,BC b，那么向量 AC叫做a與b的和，即r r mu mu uuur a b AB BC AC ;uuu r uiur r r r uuu向量的減法：用“三角形法則”：設A

3、B a, AC b,那么a b AB被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。如uuu uuu uuu_ uuu uur(1)化簡： AB BC CD : AB ADuuuruuu r(答： AD ； CB ； 0 )；uuu r uiur(2)若正方形ABCD的邊長為1，AB a,BC(答：直角三角形)；uuurACuur CA，由減向量的終點指向uuirDC_ uuu；(ABuiuuCD)uuir(ACuuuBD)r unrrr r rb, ACc，則|a b c |uuuuuiruuuuuiruOB OCOBOC 2(3)若O是VABC所在平面內(nèi)一點，且滿足，則VABC的形狀

4、為(答: 2 2);uuu uuu uuu uur r | AP |(4) 若D為ABC的邊BC的中點，ABC所在平面內(nèi)有一點P，滿足PA BP CP 0 ,設luAL1，|PD|則的值為(答：2)；(5) 若點O是厶ABC的外心，且OA OB CO 0，則 ABC的內(nèi)角C為 (答：120)；2.坐標運算：設a (X1,y1),b區(qū)也)，貝U： 向量的加減法運算：a b (x1 x2， y1 y2)。女口uuuuuuur iu uu uu已知作用在點A(1,1)的三個力F1 (3,4), F2 (2, 5),F3 (3,1)，則合力F戸F? F3的終點坐標是(答: (9,1 ) 實數(shù)與向量的積

5、：aXj,%Xj, y1 ouuu一 若A(X|, y1), B(x2, y2)，則ABx2 x-!,y2 %，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。如unr 1 uuuumruuu，亠 11設 A(2,3), B( 1,5)，且 AC -AB , AD 3AB，則 C D的坐標分別是 (答：(1二),(7,9)；33 平面向量數(shù)量積： a?b X1X2 yy。r r 2 r 向量的模：| a | x2 y2, a | a |2 x2 y2。如r ruu r,_已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60。，那么|a 3b | = (答：3 )；兩點間的距離：若A x1

6、,y1 ,B x2, y2，則1 AB |x?2y2y1。七.向量的運算律:rrr rrr r r r r1 .交換律：abb a，aa， a?b b?a ;rrr r rr r rr r r rr rr r rr2.結(jié)合律：abc a bc, a bc a b c ，a ?ba?b a? b ;rrrr rrrr r rr r r r3.分配律:aaa, a ba b， a b ?ca ?c b?c。如下列命題中： a (b c) abac : a (b c) (a b) c :(a b)2 |a|2r r r2rrrr rr_abb21 a | | b | |b|;若 a b 0，則 a

7、0 或 b 0 ;若 a b c b,則 a c ; a a ;十;a ar rJ J r rr?r r r?(a b)2 a b :(a b)2 a 2a b b。其中正確的是 (答：)能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(b?c) (a?b)c， 為什么？八. 向量平行(共線)的充要條件：a/b a b (a b)2 (| a |b |)2xy y-x? = 0。女口(i)若向量a (x,i),b(4,x)，當x=時a與b共線且方向相同(答：2);rrrr r rrrr r(2) 已知 a(1,1),b(4,x)， ua2b， v2ab，且u/

8、v，貝Ux=(答：4);urnuuuuuu(3) 設 PA (k,12), PB (4,5), PC (10,k)，則 k =時，A,B,C 共線(答：2 或 11)九. 向量垂直的充要條件：a b a b 0 |ab|ab|x1x2 y1 y2 0 .特別地uuuuuuuuuuuurABACABAC亦(uuuuuu )( uuuuuur )。如口ABACABACuunuiuuuuu uuu3(1)已知 OA ( 1,2), OB (3,m)，若 OA OB，則 m (答：-);2(2) 以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形 OAB B 90，則點B的坐標是(答: (1,3)或(3

9、， 1);rr it1 r 1 u ur(3) 已知n (a,b),向量n m，且n m，貝U m的坐標是(答：(b, a)或( b,a)提醒：(1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不十線段的定比分點：.平移公式：如果點P(X, y)按向量a h,k平移至P(x,y )，則a = Xpp，yh ；曲線 f(x,y) 0kuurPP2，ULLT1 .定比分點的概念：設點P是直線P, P2上異于R、P2的任意一點，若存在一個實數(shù)，使RP按向量a h,k平移得曲線f(x

10、 h, y k) 0.注意：(1)函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)ULLUUUUU則 叫做點P分有向線段RP2所成的比，P點叫做有向線段RP2的以定比為 的定比分點; 系？ (2)向量平移具有坐標不變性，可別忘了??！ 如P1P2 的2. 的符號與分點P的位置之間的關(guān)系：當P點在線段卩！卩2上時0；當P點在線段(1)按向量a把(2, 3)平移到(1, 2)，則按向量a把點(7,2)平移到點UULU延長線上時 V 1；當P點在線段卩2卩!的延長線上時10 ；若點P分有向線段P1P2所成UUUU1的比為，則點P分有向線段P2R所成的比為丄。女口y cos2x 1，貝U a =UUU0uuif若

11、點P分AB所成的比為3，則A分BP所成的比為4(2)函數(shù)y sin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是12、向量中一些常用的結(jié)論：UUUL(1) 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用;3 .線段的定比分點公式：設PXyJ、P2(x2,y2)， P(x, y)分有向線段 RP2所成的比為，則X-)x21%y21XL=yJyL 線段卩巴的中點公式x2 x y2 yy為X22%y2。2在使用定比分點的坐標公式(2) |a| |b| |a b| |a| |b|，特別地，當 a b 同向或有 0 |aI |a|b|a| |b| |a b| ;當 a、b 反向或有 0 |a b|

12、|a|b|a|b| |ab| ;當a b不共線時,在具體計算時應根應明確(x, y)，(X1)、(X2, y2)的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標|a| |b| |a b| |a| |b|(這些和實數(shù)比較類似).據(jù)題設條件，靈活地確定起點，分點和終點，并根據(jù)這些點確定對應的定比在ABC中,1(1)若 M(-3，-2 )，N (6, -1 )，且 MP MN,則點 P 的坐標為3若A X1, y1 , B X2,y2 ,C X3, y3，則其重心的坐標為 GX1X2X3(答: ( 6, 7)；3% y23,亠 ”1ULUIUuur(2)已知A(a,0), B(3,2 a)，直線y -ax與線

13、段AB交于M，且AM 2MB，則a2等于若/ABC的三邊的中點分別為(2，1)、(-3，4)、(-1，-1 )，則/ABC的重心的坐標為(答:uun urn uur rPA PB PC 0 P為ABC的重心;UUU . LUU UUU UUU PG 3(PA PB PC) G為 ABC的重心，特別地3uur urn uur uuur uuu uur PA PB PB PC PC PAP 為 ABC 的垂心；uuuuuur 向量（_uAuuu）（0）所在直線過 ABC的內(nèi)心（是BAC的角平分線所在直線）;|AB| |AC|三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理：三角形內(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩

14、邊對應成比例（上右圖）題型一：共線定理應用uuuuun uuuuiuuuu（4）向量PA、PB PC中三終點A、B、C共線 存在實數(shù)、 使得PAPBuuru PC且平面直角坐標系中,O為坐標原點，已知兩點 A（3,1）, B（ 1,3）,若點C滿足0Ci OA 2 OB,其中例一：平面向量a,b共線的充要條件是（）A.a,b方向相 同B.a, b兩向量中至少有一個為零向量C.存在 R, b a D存在不全為零的實數(shù)1, 2, 1a 2 b 01,則點C的軌跡是（答：直線AB12、向量與三角形外心.三角形外接圓的圓心，簡稱外心.是三角形三邊中垂線的交點（下左圖）變式一：對于非零向量a,b，“ a

15、 b 0 ”是“ a/ b ”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件變式二：設a, b是兩個非零向量（ ）A.若 a b a _ b 則 a bB.若 a b，貝U a b a _ b重心C.若a b a b，則存在實數(shù)，使得ba D若存在實數(shù)，使得b三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心掌握重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍.（上右圖）三、垂心三角形三條高的交點，稱為三角形的垂心.（下左圖）四、內(nèi)心三角形內(nèi)切圓的圓心，簡稱為內(nèi)心是三角形三內(nèi)角平分線的交點例二：設兩個非零向量e,與，不共線，（1）如果 ABqe2,BC3e12e2,CD8e12

16、色,求證：A,C,D三點共線；（2）如果ABqe2,BC2q3e2,CD2e1ke2,且A,C, D三點共線，求實數(shù)k的值。lr-b-b- b*it-變式一：設e1與e2兩個不共線向量，AB 2e） ke2,CB e 3e2,CD 2e）e?,若三點A,B,D共線, 求實數(shù)k的值。變式二：已知向量a,b，且AB a 2b,BC 5a 2b,CD 7a 2b,則一定共線的三點是（）A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D題型二：線段定比分點的向量形式在向量線性表示中的應用例一：設P是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，2BP BC BA,則A. 0 PA PBB. 0 PC PA

17、 C.0 PB PC D. 0 PC PA PB若 AC a, BD b,則 AF ( )A.1 1 ab, B.2、 1 / ab,1 1 1- 2; C.ab, D.ab,42332433題型三：三點共線定理及其應用例一：點P在AB上，求證：OPOA OB 且=1 (,R,)變式四：在平行四邊形ABCD中 AC與BD交于點O,E是線段OD的中點，AE的延長線與CD交于點F，變式一：已知O是三角形ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊的中點，且0 2OA OB OC ,那么（）A. A0 OD B. A0 2OD C. A0 3OD D. 2A0 OD變式二：在平行四邊形ABC沖AB示）a，AD

18、b，AN 3NC,M為BC的中點，貝U MN （用a,b表例二：在三角形ABC中, ABe，ACb,若點D滿足BD2DC ,則AD ()A.21 一 廠5 -be, B.c3332b3b,C.2 1 -be, D.331 2 - be,33變式一：（高考題）在三角形ABC中，點D在邊AB 上, CD平分角ACB,CB a，CA b,耳1料 2,變式：在三角形ABC中,點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB AC于不同的兩點M和N,若 AB mAM , AC nAN,貝U m+n=例二：在平行四邊形ABCD中 E,F分別是BC,CD的中點，DE與 AF交于點H,設AB a, BC b,則A

19、HA. ab, B. a b, C.a b, D.ab,55555555變式：在三角形ABC中，點M是BC的中點，點N是邊AC上一點且AN=2NC,AI與 BN相交于點P,若AP PM ,求的值。則 CD ()題型四：向量與三角形四心A12，f2 1 - 一3 -4r4，3 A. ab, B.a-b,C.ab, D.ab,33335555內(nèi)心變式二：設D,E,F分別是三角形 ABC的邊BC,CA,AB上的點，且DC 2BD, CE 2EA, AF 2FB,則例一：O是ABC所在平面內(nèi)一定點，動點P滿足OP OA/ AB AC、( ), ABACAD BE, CF 與 BC ()重心 D.垂心則

20、點P的軌跡一定通過ABC（） A.外心 B.內(nèi)心 C.A.反向平行 B. 同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直變式三：在平行四邊形ABCD中 E和F分別是邊CD和 BC的中點，若AC AE AF ,其，R,則變式一：已知非零向量AB與AC滿足（AB AC ） BCABAB ACACABABC為()A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.三邊均不相等的三角形變式二:AB PCBC PACAPB 0 P為 ABC的內(nèi)心、重心例一：0是ABC內(nèi)一 點，0C0AOB 0 ,則為ABCB( ) A.夕卜心B.內(nèi)心C.重心D.垂變式一：在ABC中, G為平面上任意一點，證明:G0Aj1

21、(GA GB GC) O 為 ABC 的重變式二：在ABC中, G為平面上任意一點，證明:GO(AB AC) O為 ABC的重心3三垂心:例一：求證：在 ABC中, OA OB OB OC0COA O為 ABC的垂心變式一：O是平面上一定點，A, B , C是平面上不共線的三個點，動點P滿足例一：若0是 ABC的外心，H是 ABC勺垂心，貝U OH變式一：已知點0, N, P在 ABC所在平面內(nèi)，且 0APA PB PB PCA.重心、外心、垂心C.外心、重心、垂心題型五：向量的坐標運算OA OC OB0BOC , 0 NA NB NC ,PC PA，貝U 0 N, P依次是例一：已知 A(-

22、2,4),B(3 ，標。變式一：已知平面向量aB.重心、外心、內(nèi)心D.夕卜心、重心、 內(nèi)心OP OA (ABACAB COSBAC COSC ),R,則點P的軌跡一定通過 ABC()A.外心 B.內(nèi)心 C. 重心D垂心四外心abcB(-1) , C(-3 , -4)，且 CM 3CA,CN(、3, 1),b (2耳),向量；a2CB ,試求點M,N和MN的坐(t 3) b, y ka tb,其中t和k為不同時為零的實數(shù)，(1)若x y ,求此時k和t滿足的函數(shù)關(guān)系式k=f(t);(2) 若x y ,求此時k和t滿足的函數(shù)關(guān)系式k=g(t).變式二：平面內(nèi)給定3個向量a (3,2), b ( 1

23、,2), c (4,1)，回答下列問題。(1)求3a b 2c ；(2 )求滿足a mb nc的實數(shù)m, n;(3)若(a kc) /(2b a)，求實數(shù)k ； ( 4 )設 (x, y)滿足(d c) /( a b)且 dc|1，求 d。題型六：向量平行(共線)、垂直充要條件的坐標表示例一：已知兩個向量a (1.2),b ( 3,2),當實數(shù)k取何值時，向量ka 2b與2a 4b平行?變式一：設向量a,b滿足|a|= 2 5 , b= (2,1 )，且a與b反向，貝U a坐標為例二：已知向量 OA (k,12),0B (4,5), OC (k,10)且 A,B,C 三點共線，則 k=()A:

24、 3 B:2 C:- D:32332、31變式一：已知a (sin ),b (cos ,-),且a/b，則銳角a為23變式二： ABC的三內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c設向量p (a c, b), q (b a, c a),若p/q ,則/C的大小為()A: B:-C: -D:6323題型七：平面向量的數(shù)量積若 BQ CP 2,貝U = () A:- B: -33例三：已知向量a,b,c滿足a b c 0變式一:變式二:變式三:在厶ABC中，若|AB已知向量a,b,c滿足a已知向量a,b,c滿足a題型八：平面向量的夾角3,|BC4, AC0,且aC: -D:23b16,則 AB BC

25、 BC CA CA ABb，ia 1ib2,則c0,且(a b) c,a b,1,則* 2 f 2 LI 2 a b |c例一：已知向量a (1,. 3),b( 2,0),則a與b的夾角是例一：(1)在 Rt ABC中, Z C=90 , AC=4,則 AB AC () A： -16B:-8C:8 D:16例二：已知a,b是非零向量且滿足(a 2b) a,(b 2a) b,則a與b的夾角是(2)(高)已知正方形ABCD勺邊長為1,點E是AB邊上的動點，則DE CB的值為; DE CB的最大值為(3)在厶ABC中, M是BC中點，AM=1，點P在AM上滿足AP 2PM，則PA (PB PC)等于

26、()iI =* II =* I變式一：已知向量a,b,c滿足忡 1科 2,c a變式二：已知a,b是非零向量且滿足q R |ab, a c,則a與b的夾角是b,則a與a b的夾角是A:B:C:D:變式一：(高)如圖所示，平行四邊形 ABCD中, API BD,垂足為P,且AP=3，則AP AC =變式二：在厶ABC中, AB=1, BC= 2 , AC=/3，若0為厶ABC的重心，貝U AO AC的值為變式三：若向量a與b不共線，a b 0,且c a (-_ )b,則a與c的夾角是a b變式四：(高)若向量-與滿足1,| 1,且以向量t與為鄰邊的平行四邊形的面積為0 . 5,貝U與的夾角的取值

27、范圍是例二：(高)在矩形ABCD,AB= 2 ,BC=2,點E為BC的中點，點F在邊CD上，若AB AF . 2 ,則AE BF的值是I IF =+* * *例二：已知忡2, b 1 , a與b的夾角為45，求使向量a b與a b的夾角為銳角的的取值范圍。變式一：(高)在AABC 中，A 900, AB 1 ,AC=2.設點 P,Q 滿足 AP AB, AQ (1 )AC, R,變式一：設兩個向量g，滿足2上1 , eg的夾角為-，若向量2te1 7e2與e1論的夾角為鈍角，求實數(shù)t的范圍變式二：已知a與b均為單位向量，其夾角為2 P1:a b10, 3 )；P2 : aP4 :a b1(,;其中的真命題是,有下列b3()A.4個命題:；P3 ： a1肥)；Pl, P4B.P1, P3 C.P2, P3 D.P2, P4題型九：平面向量的模長例一：已知alb5，向量a與b的夾角為一，求a3b。變式一：已知向量a與b滿足|a|1,2, a b2，則a變式二：已知向量a與b滿足|a|1,b2,羽b的夾角為-，則a變式三：在厶ABC中，已知|AB 3, BC4, ABC 60,求 AC .f fo例二：已知向量a與b的夾角為，3變式一:(高)已知向量a與b的夾角為，且41,2a b