電路(5版)電子教案：第8章 相量法

1、第八章第八章 相量法相量法 復數復數8-1 正弦量正弦量8-2 相量法的基礎相量法的基礎8-3 電路定律的相量形式電路定律的相量形式8-4 首首 頁頁 本章重點本章重點 2. 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 3. 3. 電路定理的相量形式電路定理的相量形式 l 重點：重點： 1. 1. 正弦量的表示、相位差正弦量的表示、相位差 返 回 返 回 施泰因梅茨，施泰因梅茨，Steinmetz， Charles Protells（1865 1923），德裔美國電機工），德裔美國電機工 程師。美國藝術與科學學院程師。美國藝術與科學學院 院士。院士。 1865年年4月月9日生于德國的布雷日生于德國

2、的布雷 斯勞斯勞(今波蘭的弗羅茨瓦夫今波蘭的弗羅茨瓦夫)。 他出生即有殘疾，他意志堅強，他出生即有殘疾，他意志堅強， 刻苦學習，刻苦學習，1882年入布雷斯勞年入布雷斯勞 大學就讀。大學就讀。1888年入蘇黎世聯年入蘇黎世聯 邦綜合工科學校深造。邦綜合工科學校深造。1889年年 赴美。他創(chuàng)立了相量法，這是赴美。他創(chuàng)立了相量法，這是 計算交流電路的一種實用方法。計算交流電路的一種實用方法。 并在并在1893年向國際電工會議報年向國際電工會議報 告，受到熱烈歡迎并迅速推廣。告，受到熱烈歡迎并迅速推廣。 施泰因梅茨施泰因梅茨19011902年任美年任美 國電機工程師學會主席。國電機工程師學會主席。

3、1. 1. 復數的表示形式復數的表示形式 ) 1(j為為虛虛數數單單位位 F b Re Im aO |F| baFFFj) sinj (cos|e| j baFj j e| FF 下 頁上 頁 代數式代數式 指數式指數式 極坐標式極坐標式 三角函數式三角函數式 8-1 復數復數 返 回 |e| j FFF 幾種表示法的關系：幾種表示法的關系： )arctan( | 22 a b baF 或或 sin| cos| F b Fa 2. 2. 復數運算復數運算 加減運算加減運算 采用代數式采用代數式 下 頁上 頁 F b Re Im a O |F| baFj 返 回 |e| j FFF 則則 F1F

4、2=(a1a2)+j(b1b2) 若若 F1=a1+jb1， F2=a2+jb2 圖解法圖解法 下 頁上 頁 F1 F2 Re Im O F1+F2 -F2 F1 Re Im O F1-F2 F1+F2 F2 返 回 乘除運算乘除運算 采用極坐標式采用極坐標式 若若 F1=|F1| 1 ，F2=|F2| 2 則則 下 頁上 頁 模相乘模相乘 角相加角相加 模相除模相除 角相減角相減 返 回 2121 )( j 21 j 2 j 121 eee 2121 FF FFFFFF e | | e| e| | | 21 2 1 )j( 2 1 2j 2 j 1 22 11 2 1 21 1 |F |F

5、F F F F F F F F 例例1-1 )226. 4 j063. 9()657. 3 j41. 3(原式原式 569. 0 j47.12 解解 下 頁上 頁 例例1-2 解解 2 .126j2 .180原式原式 329. 6 j238. 22 .126j2 .180 返 回 ?2510475 61. 248.12 ? 5 j20 j6)(4 j9)(17 35220 04.1462.20 3 .56211. 79 .2724.19 16.70728. 62 .126j2 .180 365 .2255 .132j5 .182 旋轉因子旋轉因子 F ej F Re Im O F ej 下 頁

6、上 頁 旋轉因子旋轉因子 返 回 復數復數 ej =cos +jsin =1 j) 2 sin(j) 2 cos(e , 2 2 j j) 2 sin(j) 2 cos(e, 2 2 j 1)sin(j)cos(e, j +j, j, -1 都可以看成旋轉因子。都可以看成旋轉因子。 特殊特殊旋轉因子旋轉因子 Re Im O F Fj Fj F 下 頁上 頁 注意 返 回 8-2 正弦量正弦量 1. 1. 正弦量正弦量 l瞬時值表達式瞬時值表達式 i(t)=Imcos(w t+) t i O T l周期周期T 和頻率和頻率f 頻率頻率f ：每秒重復變化的次數。：每秒重復變化的次數。 周期周期T

7、：重復變化一次所需的時間。：重復變化一次所需的時間。 單位單位: :Hz ( (赫茲赫茲) ) 單位：單位：s(秒秒) ) T f 1 正弦量為周期函數正弦量為周期函數 f(t)=f ( t+kT ) 下 頁上 頁 波形波形 返 回 l正弦電流電路正弦電流電路 激勵和響應均為同頻率的正弦量的線性電路激勵和響應均為同頻率的正弦量的線性電路 （正弦穩(wěn)態(tài)電路）稱為正弦電路或交流電路。（正弦穩(wěn)態(tài)電路）稱為正弦電路或交流電路。 1.1.正弦穩(wěn)態(tài)電路在電力系統(tǒng)和電子技術領域正弦穩(wěn)態(tài)電路在電力系統(tǒng)和電子技術領域 占有十分重要的地位。占有十分重要的地位。 l研究正弦電路的意義研究正弦電路的意義 正弦函數是周期

8、函數，其加、減、求導、正弦函數是周期函數，其加、減、求導、 積分運算后仍是同頻率的正弦函數。積分運算后仍是同頻率的正弦函數。 正弦信號容易產生、傳送和使用。正弦信號容易產生、傳送和使用。 下 頁上 頁 優(yōu) 點 返 回 2.2.正弦信號是一種基本信號，任何非正弦周期信正弦信號是一種基本信號，任何非正弦周期信 號可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量。號可以分解為按正弦規(guī)律變化的分量。 )cos()( 1 k n k k tkAtfw 對正弦電路的分析研究具有重要的理對正弦電路的分析研究具有重要的理 論價值和實際意義。論價值和實際意義。 下 頁上 頁 結論 返 回 (1)(1) 幅值幅值 ( (振幅、最大

9、值振幅、最大值) )Im (2) (2) 角頻率角頻率 2. 2. 正弦量的三要素正弦量的三要素 (3)(3) 初相位初相位 T f 2 2w 單位：單位： rad/s ，弧度弧度/ /秒秒 反映正弦量變化幅度的大小。反映正弦量變化幅度的大小。 相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。相位變化的速度，反映正弦量變化快慢。 反映正弦量的計時起點，常用角度表示。反映正弦量的計時起點，常用角度表示。 i(t)=Imcos(w t+) 下 頁上 頁返 回 同一個正弦量，計時起點不同，初相同一個正弦量，計時起點不同，初相 位不同。位不同。 =0 =/2 =/2 下 頁上 頁 i O wt 注意 返 回 一般

10、規(guī)定一般規(guī)定：| | 。 例例2-1已知正弦電流波形如圖， 已知正弦電流波形如圖，w103rad/s， 1.1.寫出寫出i(t) 表達式；表達式；2.求最大值發(fā)生的時間求最大值發(fā)生的時間t1 1。 t i O 100 50 t1 解解)10cos(100)( 3 tti cos100500t 3 由于最大值發(fā)生在計時起點右側由于最大值發(fā)生在計時起點右側 3 ) 3 10cos(100)( 3 tti 有有最最大大值值當當 310 1 3 tms047. 1s 10 3 3 1 t 下 頁上 頁返 回 3. 3. 同頻率正弦量的相位差同頻率正弦量的相位差 設設 u(t)=Umcos(w t+ u

11、), i(t)=Imcos(w t+ i) 相位差相位差 ：j = (w t+ u)- (w t+ i)= u- i 下 頁上 頁 等于初相位之差等于初相位之差 返 回 規(guī)定規(guī)定： |j | 0， u超前超前i j 角角，或或i 滯后滯后 u j 角角 (u 比比 i 先先 到達最大值到達最大值) )。 l j 0， i 超前超前 u j 角，或角，或u 滯后滯后 i j 角（角（ i 比比 u 先先 到達最大值）。到達最大值）。 下 頁上 頁返 回 w t u, i u i u i j O j 0， 同相同相 j = (180 ) ，反相反相 特殊相位關系特殊相位關系 w t u i O w

12、 t u i O j = /2：u 領先領先 i /2 w t u i O 同樣可比較兩個電壓或兩個電流的相位差。同樣可比較兩個電壓或兩個電流的相位差。 下 頁上 頁返 回 例例 計算下列兩正弦量的相位差。計算下列兩正弦量的相位差。 )15 100sin(10)( )30 100cos(10)( )2( 2 1 tti tti )2 100cos(10)( )43 100cos(10)( ) 1 ( 2 1 tti tti )45 200cos(10)( )30 100cos(10)( )3( 2 1 ttu ttu )30 100cos(3)( )30 100cos(5)( )4( 2 1

13、tti tti 下 頁上 頁 解解 不能比較相位差不能比較相位差 21 ww 結論 返 回 045)2(43j 43245j 135)105(30j )105100cos(10)( 2 tti 120)150(30j )150100cos(3)( 2 tti 兩個正弦量兩個正弦量 進行相位比進行相位比 較時應滿足較時應滿足 同頻率、同同頻率、同 函數、同符函數、同符 號，且在主號，且在主 值范圍比較。值范圍比較。 4. 4. 周期性電流、電壓的有效值周期性電流、電壓的有效值 周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為周期性電流、電壓的瞬時值隨時間而變，為 了衡量其平均效果了衡量其平均效果, ,工程

14、上采用有效值來表示。工程上采用有效值來表示。 l周期電流、電壓有效值定義周期電流、電壓有效值定義 ttiRW T d)( 2 0 R 交流交流 i TRIW 2 R 直流直流I 物物 理理 意意 義義 下 頁上 頁返 回 下 頁上 頁 均方根值均方根值 定義電壓有效值：定義電壓有效值： l 正弦電流、電壓的有效值正弦電流、電壓的有效值 設設 i(t)=Imcos(w t+ ) 返 回 ttI T I T d ) (cos 1 0 22 m w Tt t t tt T TT 2 1 2 1 d 2 ) (2cos1 d ) (cos 0 00 2 w w m m 2 m 707. 0 22 1

15、I IT I T I ) cos(2) cos()( m wwtItIti II2 m 下 頁上 頁返 回 因為因為 所以所以 同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關系同理，可得正弦電壓有效值與最大值的關系 UUUU2 2 1 mm 或或 若交流電壓有效值為若交流電壓有效值為 U=220V ， U=380V 其最大值為其最大值為 Um311V Um537V 下 頁上 頁 注意 工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如工程上說的正弦電壓、電流一般指有效值，如 設備銘牌額定值、電網的電壓等級等。但絕緣水平、設備銘牌額定值、電網的電壓等級等。但絕緣水平、 耐壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設備的耐耐

16、壓值指的是最大值。因此，在考慮電器設備的耐 壓水平時應按最大值考慮。壓水平時應按最大值考慮。 返 回 測量中，交流測量儀表指示的電壓、電流讀測量中，交流測量儀表指示的電壓、電流讀 數一般為有效值。數一般為有效值。 區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的區(qū)分電壓、電流的瞬時值、最大值、有效值的 符號。符號。 UUuIIi, , mm 下 頁上 頁返 回 8-3 相量法的基礎相量法的基礎 1. 1. 問題的提出問題的提出 電路方程是微分方程電路方程是微分方程 兩個正弦量的相加，如兩個正弦量的相加，如KCL、KVL方程運算：方程運算： 2 2 dd ( ) dd CC C uu LCRCuu t

17、tt ) cos(2 111 wtIi ) cos(2 222 wtIi 下 頁上 頁返 回 R L C + - uC iL u + - i1 i1+i2 i3 i2 www角頻率角頻率 同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以，同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量，所以， 只需確定初相位和有效值。因此采用只需確定初相位和有效值。因此采用 正弦量正弦量復數復數 下 頁上 頁 I1I2I3 有效值有效值 1 23 初相位初相位 變換的思想變換的思想 w t u, i i1 i2 O i3 結論 返 回 造一個復函數造一個復函數 ) j( e2)( w t ItF 對對 F(t) 取實部取實部)()

18、 cos(2)(RetitItFw 任意一個正弦時間函數都有唯任意一個正弦時間函數都有唯 一與其對應的復數函數。一與其對應的復數函數。 ) j( e2)( ) cos(2 w w t ItFtIi ) sin(2j) cos(2wwtItI 無物理意義無物理意義 是一個正弦量是一個正弦量 有物理意義有物理意義 3. 3. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 下 頁上 頁 結論 返 回 F(t) 包含了三要素包含了三要素：I、 、w， 復常數包含了兩個要素：復常數包含了兩個要素：I , 。 F(t) 還可以寫成還可以寫成 tt IItF wwjjj e2ee2)( 復常數復常數 下 頁上 頁 正弦

19、量對正弦量對 應的相量應的相量 相量的模表示正弦量的有效值。相量的模表示正弦量的有效值。 相量的幅角表示正弦量的初相位。相量的幅角表示正弦量的初相位。 注意 返 回 ) cos(2)(wIItIti 同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系 已知已知例例3-1 試用相量表示試用相量表示i, u。 V )6014t311.1cos(3 A )30314cos(4 .141 o o u ti 解解 下 頁上 頁 例例3-2 試寫出電流試寫出電流 的瞬時值表達式。的瞬時值表達式。 解解 A )15314cos(250 ti 返 回 , 50Hz A,1550 fI 已

20、知已知 V60220 A,30100 oo UI ) cos(2)(wUUtUtu 在復平面上用矢量表示相量的圖。在復平面上用矢量表示相量的圖。l 相量圖相量圖 下 頁上 頁返 回 U I +1 +j O wUUtUtu ) cos(2)( IItIti ) cos(2)( 4. 4. 相量法的應用相量法的應用 同頻率正弦量的加減同頻率正弦量的加減 )e2Re() cos(2)( )e2Re() cos(2)( j 2 222 j 1 111 t t UtUtu UtUtu w w w w U 21 UUU 相量關系為：相量關系為： 下 頁上 頁 結論 同頻正弦量的加減運算變?yōu)閷嗔客l正弦

21、量的加減運算變?yōu)閷嗔?的加減運算。的加減運算。 返 回 e )(2Re)e2e2Re( )e2Re()e2Re()()()( j 21 j 2 j 1 j 2 j 1 21 ttt tt UUUU UUtututu www ww i1 i2 = i3 321 III 下 頁上 頁 例例3-3 V )60314cos(24)( V )30314cos(26)( 2 1 ttu ttu V )9 .41314cos(264. 9)()()( 21 ttututu 46. 3 j23 j19. 546. 6 j19. 7 返 回 V604 V 306 2 1 U U V 9 .4164. 9 6

22、04306 21 UUU 借助相量圖計算借助相量圖計算 +1 +j 30 1 U 60 2 U 9 .41 U 首尾相接首尾相接 下 頁上 頁 +1 +j 9 .41 U 60 2 U 30 1 U 返 回 O O V604 V 306 21 UU 正弦量的微分、積分運算正弦量的微分、積分運算 e j2Re e2Re d d d d j jtt II tt i ww w tt I tIti j j e j 2Re d e2Red ww w 微分運算微分運算 積分運算積分運算 2 j d i II ti ww 下 頁上 頁返 回 2 j d d i II t i ww ) cos(2 ii II

23、tIiw 例例3-4 ) cos(2)( i tItiw d 1 d d )( ti Ct i LRitu 用相量運算：用相量運算： j j C I ILIRU w w 把時域問題變?yōu)閺蛿祮栴}。把時域問題變?yōu)閺蛿祮栴}。 把微積分方程的運算變?yōu)閺蛿捣匠踢\算。把微積分方程的運算變?yōu)閺蛿捣匠踢\算。 可以把直流電路的分析方法直接用于交流電路?？梢园阎绷麟娐返姆治龇椒ㄖ苯佑糜诮涣麟娐?。 下 頁上 頁 i(t) 相量法的優(yōu)點 返 回 R u(t) L + - C 正弦量正弦量相量相量 時域時域 頻域頻域 相量法只適用于激勵為同頻正弦量的時不變相量法只適用于激勵為同頻正弦量的時不變 線性電路。線性電路。 相

24、量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。相量法用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路。 正弦波形圖正弦波形圖 相量圖相量圖 下 頁上 頁 注意 不不 適適 用用 線線 性性 線線 性性 w1 w2 非非 線性線性 w 返 回 8-4 電路定律的相量形式電路定律的相量形式 1. 1. 電阻元件電阻元件VCR的相量形式的相量形式 時域形式時域形式 相量形式相量形式 相量模型相量模型 )cos(2)( i tItiw )cos(2)()( iR tRItRituw uR(t) i(t) R + - 有效值關系有效值關系 相位關系相位關系 R + - RU I UR u 相量關系相量關系 IRU R UR=RI u=i 下 頁上 頁

25、返 回 iRi RIUII 瞬時功率瞬時功率 iup RR 波形圖及相量圖波形圖及相量圖 i w t O uR pR R U I u=i URI 瞬時功率以瞬時功率以2w交變，始終大于零，表交變，始終大于零，表 明電阻始終吸收功率。明電阻始終吸收功率。 )(cos22 2 iR tIU )(2cos1 iR tIU 同同 相相 位位 下 頁上 頁返 回 時域形式時域形式 相量形式相量形式 ) cos(2)( i tItiw ) 2 cos( 2 ) sin(2 d )(d )( i iL tIL tIL t ti Ltu ww ww 相量模型相量模型 相量關系相量關系IXILU LL jjw

26、2. . 電感元件電感元件VCR的相量形式的相量形式 下 頁上 頁 有效值關系有效值關系 UL=w L I 相位關系相位關系 u=i +90 返 回 jwL + - LU I i(t) uL(t) L + - 2 iLi LIUIIw 感抗的性質感抗的性質 表示限制電流的能力。表示限制電流的能力。 感抗和頻率成正比。感抗和頻率成正比。 相量表達式相量表達式 XL=wL=2fL，稱為感抗，單位為稱為感抗，單位為 ( (歐歐姆姆) ) BL=-1/w L =-1/2fL，稱為稱為感納，單位為感納，單位為S(西西門子門子) 感抗和感納感抗和感納 ,jjILIXU L w 開路開路 短路短路(直流)(

27、直流) , , , 0 ,0 L L X X w w U L U L UBI L wwj 11 jj 下 頁上 頁返 回 w XL O 功率功率 )(2sin )sin()cos( mm iL iiLLL tIU ttIUiup w ww w t i O uL pL 2 瞬時功率以瞬時功率以2w交變，有正有負，一周期內剛交變，有正有負，一周期內剛 好互相抵消，表明電感只儲能不耗能。好互相抵消，表明電感只儲能不耗能。 L U I i 波形圖及相量圖波形圖及相量圖 電壓超前電壓超前 電流電流90 下 頁上 頁返 回 時域形式時域形式 相量形式相量形式 )cos(2)( u tUtuw ) 2 co

28、s(2 ) sin(2 d )(d )( u uC tCU tCU t tu Cti ww ww 相量模型相量模型 iC(t) u(t) C + - U C I + - - Cj 1 相量關系相量關系 IXI C U C j 1 j w 3. 3. 電容元件電容元件VCR的相量形式的相量形式 下 頁上 頁 有效值關系有效值關系 IC=w CU 相位關系相位關系 i=u+90 返 回 2 u C u CUIUUw XC=-1/w C， 稱為容抗，單位為稱為容抗，單位為(歐歐姆姆) B C = w C， 稱為容納，稱為容納，單位為單位為S(西西門子門子) 容抗和頻率成反比。容抗和頻率成反比。 w

29、0， |XC| 直流開路直流開路(隔直隔直)。 w ，|XC|0 高頻短路。高頻短路。 容抗與容納容抗與容納 相量表達式相量表達式 UCUBI I C IXU C C w w jj 1 jj 下 頁上 頁返 回 1 jjI C IXU C w w |XC| O 功率功率 )(2sin )sin()cos(2 uC uuCCC tUI ttUIuip w t iC O u pC 瞬時功率以瞬時功率以2w交變，有正有負，一周期交變，有正有負，一周期 內剛好互相抵消，內剛好互相抵消，表明電容只儲能不耗能。表明電容只儲能不耗能。 U C I u 波形圖及相量圖波形圖及相量圖 電流超前電流超前 電壓電壓

30、90 下 頁上 頁 2 返 回 4. 4. 基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫定律的相量形式 0)(ti 同頻率的正弦量加減可以用對應的相量形式同頻率的正弦量加減可以用對應的相量形式 來進行計算。因此，在正弦電流電路中，來進行計算。因此，在正弦電流電路中，KCL和和 KVL可用相應的相量形式表示為可用相應的相量形式表示為 流入某一結點的所有正弦電流用相量表示流入某一結點的所有正弦電流用相量表示 時仍滿足時仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用；而任一回路所有支路正弦電壓用 相量表示時仍滿足相量表示時仍滿足KVL。 0e 2Re)( j 21 t IIti w 0I 0)(tu 0U 下 頁上

31、頁 表明 返 回 j . 5C I U C C w 例例4-14-1試判斷下列表達式的正、誤。 試判斷下列表達式的正、誤。 Liu . 1w 05 cos5 . 2tiw mm j . 3CUIw L L L I U X . 4 LL ILU j . 6w t i Cu d d . 7 UI m U m m I U I U Cwj 1 L 下 頁上 頁返 回 例例4-2 已知電流表讀數：已知電流表讀數：A18A， 下 頁上 頁 6A。A2 A1 A0 Z1 Z2 U A2 ,j , . 1 21C XZRZ若若A0? 為何參數使為何參數使 21 , 2. ZRZ I0max=? A0 為何參數

32、使為何參數使 2L1 ,j 3. ZXZ A0I0min=? 為何參數使為何參數使 2L1 ,j . 4 ZXZ ? A2A0 ？ A1 解解A10A68 1. 22 0 I A14A)68( 2. max02 IRZ， A2A)68( ,j 3. min0C2 IXZ A16 ,A8 ,j . 4 210C2 IIIXZ 1 ,IU 2 I 0 I 返 回 例例4-3 )( ),5cos(2120)( titt u求求已知已知 解解 20j54 jj L X 10j 02. 05 1 jj C X 相量模型相量模型 下 頁上 頁返 回 + _ 15 u 4H 0.02F i U j20 -j10 1 I 2 I 3 I I + _ 15 120 0U A)9 .365cos(210)( tt i 下 頁上 頁 CL CLR X U X U R U IIII jj 返 回 A