勾股定理典型例題

1、勾股定理典型例題分析 一、知識要點： 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。也就是說：如果 直角三角形的兩直角邊為紜b,斜邊為c ,那么a2+b2=c2o公式的變形：a2=c2- b,b2= c2-a2 o 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三邊長分別是a, b, c,且滿足+ b2= c那么三角形 ABC是直角三角形。這個定理叫做勾股定理的逆定理. 該定理在應用時，同學們要注意處理好如下幾個要點： 已知的條件：某三角形的三條邊的長度. 滿足的條件：最大邊的平方二最小邊的平方+中間邊的平方. 得到的結論：這個三角形是直角三角形，并且最大邊的對角是直角. 如果不

2、滿足條件，就說明這個三角形不是直角三角形。 3、勾股數(shù) 滿足a2 + b2= c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。注意：勾股數(shù)必須是正整數(shù), 不能是分數(shù)或小數(shù)。一組勾股數(shù)擴大相同的正整數(shù)倍后，仍是勾股數(shù)。常 見勾股數(shù)有： (3, 4, 5) (5, 12, 13) (6, 8, 10)(7, 24, 25)(8, 15, 17 )(9, 40, 41 ) 4、最短距離問題：主要運用的依據(jù)是兩點之間線段最短。 二、考點剖析 考點一：利用勾股定理求面積 1、求陰影部分面積：(1)陰影部分是正方形；(2)陰彫部分是長方形；(3)陰影 部分是半圓. 15 cm 6 cm 2. 如圖所示，分別以直角三角形的三

3、邊向外作三個正三角形，其面積分別是S- S2、S：“則它們之間的關系是( )A S】S2- S3 B Si+ SsF S3 C S2+SK Si D. Sz SS 3、如圖，以RtAABC的三邊為克徑分別向外作三個半圓，試探索三個半圓的面積 之間的關系. 4、四邊形 ABCD 中，ZB=90 , AB=3, BC=4, CD=12, AD=13,求四邊形 ABCD 的 面積。 5、在直線/上依次擺放著七個正方形（如圖4所示）。已知斜放置的三個正方形 的面積分別是1、2、3,正放置的四個正方形的面積依次是S|、S2、 S3、Sy 則S + S2 + + S4 = 。 考點二：在直角三角形中.已知

4、兩邊求第三邊 1. 在直角三角形中若兩直角邊的長分別為lcm, 2cm ,則斜邊的平方 為 . 2. （易錯題、注意分類的思想）已知直角三角形的兩邊長為3、2,則另一條邊長 的平方是 3. 已知直角三角形兩直角邊長分別為5和12,求斜邊上的高. 4、把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，則斜邊擴大到原來的 （）兒 2倍 B. 4倍 C. 6倍 D. 8倍 5、在 RtAABC 中，ZC=90 若 a=5, b=12,則 c=；若 a=15, c=25,則 b二； 若 c=61, b=60,則 a=；若 a ： b=3 ： 4. c=10 則 RtAABC 的面積 是=O 6、如果直角三

5、角形的兩宜角邊長分別為n2-l, 2n （nl）,那么它的斜邊長是 （） A. 2nB、n+1C、n2-lD、n2 +1 7、在RtAABC中，a.b.c為三邊長，則下列關系中正確的是（） A. a2 +b2 =c2 B. a2 +c2 =b2 C.=a2 D.以上都有可能 8、已知 RtZkABC 中,ZC=90，若 a+b=14cm, c=10cm,則 RtZkABC 的面積是（ ） A 24cm2Bx 36 cm2 C. 48cm2D、60cm2 9、已知x、y為正數(shù)，且I x2-4 I + （y2-3） 2=0,如果以x、y的長為直角邊作一 個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊

6、長的正方形的面積為（） A、 5B、 25C、 7D、 15 考點三：應用勾股定理在等腰三角形中求底邊上的高 例、如圖1所示，等腰中，是底邊上的高，若，求 AD的長；AABC的面 積 考點四：勾股數(shù)的應用、利用勾股定理逆定理判斷三角形的形狀、最大.最小角 的問題 1、下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構成直角三角形的是（） A. 4, 5, 6 B. 2, 3, 4 C. 11, 12, 13D. 8, 15, 17 2、若線段a, b, c組成直角三角形，則它們的比為（） A、2 ： 3 ： 4B. 3：4：6 C、5 ： 12 ： 13D. 4 ： 6 ： 7 3、下面的三角形中： AA

7、BC 中，ZC=ZA-ZB；ZkABC 中，ZA： ZB： ZC=1： 2： 3； ZkABC 中，a： b： c=3： 4： 5；ZXABC 中，三邊長分別為 (2)如果 AB=3, BC=4,求 AF 的長 7、如圖2所示，將長方形ABCD沿直線AE折疊，頂點D正好落在BC邊上F點處, 已知CE=3cm, AB=8cm,則圖中陰影部分面積為 8、如圖2-3,把矩形ABCD沿直線BD向上折疊，使點C落在C的位置上，已知 AB=n3, BC=7,重合部分AEBD的面積為 9、如圖5,將正方形ABCD折疊，使頂點A與CD邊上的點M重合，折痕交AD于E, 交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點G。

8、如果1為CD邊的中點，求證：DE： DM： EM=3: 4: 5o 10.如圖 2-5,長方形 ABCD 中，AB=3, BC=4, 若將該矩形折疊，使C點與A點重 合，則折疊后痕跡EF的長為（） A. 3. 74 B. 3. 75 C. 3. 76 D. 3. 77 2-5 11、如圖1-3-1 h有一塊塑料矩形模板ABCD,長為10cm,寬為4cm將你手中足 夠大的直角三角板PHF的直角頂點P落在AD邊上（不與A、D重合），在AD上適 當移動三角板頂點P： 能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點 C?若能，請你求出這時AP的長；若不能，請說明理由. 再次移動三角板位置，使三角板頂點P在A

9、D上移 動，直角邊PH始終通過點B,另一直角邊PF與DC的延 長線交于點Q,與BC交于點E,能否使CE=2cm?若能， 請你求出這時AP的長；若不能，請你說明理由. 12.如圖所示，AABC是等腰直角三角形，AB=AC D是 斜邊BC的中點，E. F分別是AB、AC邊上的點，且DE丄DF,若BE=12, CF=5.求 線段EF的長。 13、如圖，公路眼和公路PQ在點P處交匯，且ZQPN=30，點A處有一所中學, AP=160m。假設拖拉機行駛時，周圍100m以會受到噪音的彫響，那么拖拉機在公 路曲上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響, 已知拖拉機的速度為18km/

10、h,那么學校受影響的時間為多少秒？ 考點八：應用勾股定理解決勾股樹問題 1、如圖所示，所有的四邊形都是正方形所有的三角形都是直角三角形，其中 最大的正方形的邊長為5,則正方形A, B, C, D的面積的和為 2、已知是邊長為1的等腰直角三角形，以Rt月腮的斜邊為直角邊， 畫第二個等腰RtAJO?,再以RtAACD的斜邊血?為直角邊，畫第三個等腰RtA ADE、，依此類推，第”個等腰直角三角形的斜邊長是 考點九、圖形問題 1、如圖1,求該四邊形的面積 2、如圖2,已知，在/應中，AA = 45 , AC二血 AB= 7+1,則邊BC的 長為. 3. 某公司的大門如圖所示，其中四邊形ABCD是長方

11、形，上部是以A D為直徑的 半圓，其中AB=2.3m, B C=2m,現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車，高為2.5m,寬為1.6 m,問這輛卡車能否通過公司的大門？并說明你的理由 4、將一根長24 cm的筷子置于地面直徑為5 cm,高為12 cm的圓柱形水杯中，設筷子第在杯子外面的長為hem,則 h的取值圍。 （題8圖 考點十：其他圖形與直角三角形 如圖是一塊地，已知AD=8m, CD=6m, ZD=90 , AB=26m, BC=24m,求這塊地的面 積。 D 5、如圖，鐵路上A. B兩點相距25km, C D為兩村莊， DA垂直 AB 于 A,CB 垂直 AB 于 B,已知 AD=15km,BC=1

12、0km, 現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E,使得C、D 考點十一：與展開圖有關的計算 1、如圖，在棱長為1的正方體ABCDA B C9 D的表面上，求從頂點A到頂 點C的最短距離. 2、如圖一個圓柱，底圓周長6cm,高4cm, 只螞蟻沿外壁爬行，要從A點爬到 B點，則最少要爬行cm 3、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進 行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊A、B、C、D,且正好位于一個正方形的四個頂點， 現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設一條線路，他們設計了四種架設方案，如圖實線部 分.請你幫助計算一下，哪種架設方案最省電線. 考點十二、航海問題 1、一輪船以16海里/

13、時的速度從A港向東北方向航行，另一艘船同時以12海里/ 時的速度從A港向西北方向航行，經(jīng)過1.5小時后，它們相距海里. 2、如圖，某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資從A處運往正向的M處， 在點A處測得某島C在北偏東60的方向上。該貨船航行30分鐘到達B處，此 時又測得該島在北偏東30的方向上，已知在C島周圍9海里的區(qū)域有暗礁，若 繼續(xù)向正向航行，該貨船有無暗礁危險？試說明理由。 3、如圖，某沿海開放城市A接到臺風警 報，在該市正南方向260km的B處有一臺 風中心，沿BC方向以15km/h的速度向D 移動，已知城市A到BC的距離AD=100km, 那么臺風中心經(jīng)過多長時間從B點移到D 點？如果在距臺風中心30km的圓形區(qū)域 都將有受到臺風的破壞的危險，正在D點 休閑的游人在接到臺風警報后的幾小時 撤離才可脫離危險？ 考點十三.網(wǎng)格問題 1、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,則網(wǎng)格上的三角形ABC中, 邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是（） A. 0B. 1C. 2D. 3 2、如圖，正方形網(wǎng)格中的AABC,若小方格邊長