含參數(shù)導數(shù)方法總結

1、導數(shù)題型總結(解析版) 體型一 : 關于二次函數(shù)的不等式 恒成立 的主要解法： 1、分離變量； 2 變更主元； 3 根分布； 4 判別式法 5、二次函數(shù)區(qū)間最值求法： ( 1)對稱軸(重視單調區(qū)間) 與定義域的關系( 2)端點處和頂點是最值所在 其次， 分析每種題型的本質，你會發(fā)現(xiàn)大部分都在解決“不等式恒成立問題”以及“充 分應用數(shù)形結合思想” ，創(chuàng)建不等關系求出取值范圍。 注意尋找關鍵的等價變形和回歸的基礎 一、基礎題型：函數(shù)的單調區(qū)間、極值、最值；不等式恒成立； 1、此類問題提倡按以下三個步驟進行解決： 第一步：令 f (x) 0 得到兩個根； 第二步：畫兩圖或列表； 第三步：由圖表可知；

2、 其中 不等式恒成立問題的實質是函數(shù)的最值問題， 2、常見處理方法有三種： 第一種：分離變量求最值 用分離變量時要特別注意是否需分類討論(0,=0, 3 m3 2 1. a 3 1 2 例 9、已知函數(shù) f (x)x3x2 ，(a R,a 0)(1)求 f(x) 的單調區(qū)間； 32 1 x4 f ( x)( x R)有且僅有 3 個極值點，求 a 的取值范圍 4 2)令 g(x) 解：( 1) f (x) ax2 x x(ax 1) - 10 - 1 1 當a 0時，令 f (x) 0解得 x 或x 0，令 f (x) 0解得 x 0， aa 11 所以 f ( x)的遞增區(qū)間為 ( , 1)

3、 (0, ) ，遞減區(qū)間為 ( 1,0) . aa 11 當a 0時，同理可得 f (x) 的遞增區(qū)間為 (0， ) ，遞減區(qū)間為 ( ,0) ( , ) . aa 1 4 a 3 1 2 (2) g(x) 1 x4 a x3 1 x2有且僅有 3 個極值點 432 32 2 2 g (x) x3ax2x x(x2ax 1)=0 有 3 個根，則 x 0 或 x2ax 1 0 ， a2 方程 x2 ax 1 0 有兩個非零實根，所以a2 4 0, a2 或 a 2 而當 a2或a 2時可證函數(shù) y g(x) 有且僅有 3個極值點 其它例題： 1、(最值問題與主元變更法的例子) . 已知定義在

4、R上的函數(shù) f(x) ax3 2ax2 b(a 0)在 區(qū)間 2,1 上的最大值是 5，最小值是 11. ()求函數(shù) f (x) 的解析式； ()若 t 1,1時， f (x) tx 0恒成立，求實數(shù) x 的取值范圍 . 解：() f (x) ax3 2ax2 b, f (x) 3ax2 4ax ax(3x 4) 令 f (x)=0,得 x1 0,x2 4 2,1 3 因為 a 0 ，所以可得下表： x 2,0 0 0,1 - 11 - f(x) + 0 - f(x) 極大 因此 f (0)必為最大值 , f(0) 5因此b 5， f( 2) 16a 5,f(1) a 5, f(1) f( 2

5、)， 即 f ( 2) 16a 5 11， a 1 ， f (x) x3 2x2 5. 22 ) f (x) 3x2 4x， f (x) tx 0 等價于 3x2 4x tx 0， 令 g(t) xt 3x2 4x ，則問題就是 g(t) 0在 t 1,1上恒成立時，求實數(shù) x的取值 范圍， 為此只需 gg(11) 00，即 3x2 5x 0 x2 x 0 解得 0 x 1，所以所求實數(shù) x的取值范圍是 0 ，1. 2、(根分布與線性規(guī)劃例子) 2 1)已知函數(shù) f (x)x3 ax2 bx c 3 () 若函數(shù) f(x)在 x 1時有極值且在函數(shù)圖象上的點(0, 1)處的切線與直線 3x y

6、 0平行, 求 f ( x)的解析式； () 當 f(x) 在 x (0, 1)取 得極大值且在 x (1, 2) 取得極小值時, 設點 M(b 2, a 1所)在平面區(qū)域為 S, 經過原點的直線 L將S分為面積比為 1:3的兩部分 , 求直 線 L 的方程 . 解： (). 由 f (x) 2x2 2ax b, 函數(shù) f(x)在 x 1時有極值 , 2a b 2 0 f(0) 1 c 1 又 f (x)在 (0, 1)處的切線與直線 3x y 0平行, 1 f (0) b 3 故 a 1 2 2 3 1 2 f(x)x3x2 3x 1. 7分 32 - 12 - 2 () 解法一 : 由 f

7、 (x) 2x2 2ax b 及 f(x)在 x (0, 1)取得極大值且在 x (1, 2)取 得極小值 , f (0) 0 b 0 f (1) 0 即 2a b 2 0令 M (x, y) , 則 f (2) 0 4a b 8 0 xb2 y a 1 x20 a y 1 2y x 2 0 故點 M 所在平面區(qū)域 S為如圖 ABC, bx2 4y x 6 0 3 易得 A( 2, 0), B( 2, 1), C(2, 2), D(0, 1), E(0,3) , 2 S ABC 2 同時 DE為 ABC的中位線 , S DEC 13S四邊形ABED 所求一條直線 L 的方程為 : x 0 另一

8、種情況設不垂直于 x 軸的直線 L 也將 S 分為面積比為 1:3 的兩部分 , 設直線 L 方程為 y kx , 它與 AC,BC分別交于 F、 G, 則 k 0, S四邊形 DEGF 1 由 y kx 2y x 2 0 得點 F 的橫坐標為 : xF 2k 1 y kx 由 4y x 6 0 得點 G 的橫坐標為 : xG 6 4k 1 S四邊形 DEGF SO GE S OFD 13 2 4k 1 2 1 即 2k 1 16k2 2k 5 0 1 解得 : k 或 2 k5 8 （舍去） 故這時直線方程為 : y 1 x 2 綜上 ,所求直線方程為 : .12分 () 解法二 : 由 f

9、 (x) 2x2 2ax b 及 f(x)在 x (0, 1)取得極大值且在 x (1, 2) 取 得極小值 , - 13 - f (0) 0 f (1) 0 f (2) 0 b0 即 2a b 2 0 4a b 8 0 令 M (x, y) , xb2 y a 1 bx2 x20 2y x 2 0 故點 M 所在平面區(qū)域 S為如圖 ABC, 4y x 6 0 3 易得 A( 2, 0), B( 2, 1), C(2, 2), D(0, 1), E(0, 23) , 1 同時 DE為 ABC的中位線 , S DECS四邊形 ABED所求一條直線 L 的方程為 : x 0 3 另一種情況由于直線

10、 1 BO方程為 : y 2x, 設直線 BO與 AC交于 H , 1 由 y 1 x 由2 2y x 2 0 得直線 L與 AC交點為 : H( 1, 1) 2 S ABC 2, 1121 2 2 2 21- 17 - 21 2 2 2 所求直線方程為 : 3、(根的個數(shù)問題) 已知函數(shù) f(x) ax3 bx2 (c 3a 2b)x d (a 0) 的圖象如圖所示。 ()求 c、d 的值； ( ) 若函 數(shù) f(x) 的 圖象 在點 (2,f(2) 處 的 切線 方程 為 3x y 11 0 ，求函數(shù) f ( x )的解析式； ()若 x0 5,方程 f(x) 8a 有三個不同的根， 求實

11、數(shù) a 的 取值范圍。 2 解：由題知： f (x) 3ax2 2bx+c-3a-2b )由圖可知 函數(shù) f ( x )的圖像過點 ( 0 , 3 )，且 f 1 = 0 - 14 - d3 c0 d3 得 3a 2b c 3a 2b 0 )依題意 f 2 = 3 且 f ( 2 ) = 5 12a 4b 3a 2b 3 解得 a = 1 , b = 6 8a 4b 6a 4b 3 5 32 所以 f ( x ) = x3 6x2 + 9x + 3 )依題意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a0 ) 2 f x = 3ax2 + 2bx 3a 2b由

12、 f 5 = 0 b = 9a 若方程 f ( x ) = 8a 有三個不同的根，當且僅當滿足 f ( 5 )8af ( 1 ) 1 由 得 25a + 3 8a 7a + 3a3 11 1 所以 當 a 3時，方程 f ( x ) = 8a有三個不同的根。 ,12分 11 1 4、(根的個數(shù)問題) 已知函數(shù) f (x)x3 ax2 x 1(a R) ( 1)若函數(shù) f (x) 在 x x1,x x2 處取得極值，且 x1 x2 2 ，求 a 的值及 f (x) 的單調 區(qū)間； 11 2 5 (2)若 a，討論曲線 f (x)與 g(x)x2 (2a 1)x ( 2 x 1)的交點個數(shù) 2 2

13、 6 2 解：(1) f(x) x2 2ax 1 x1 x2 2a,x1 x21 x1 x2(x1 x2)2 4x1x24a2 4 2 a 0 ,2 分 f (x) x2 2ax 1 x2 1 令 f (x) 0得 x1,或x 1 令 f (x) 0得 1 x 1 f ( x)的單調遞增區(qū)間為 ( , 1)， (1, ) ，單調遞減區(qū)間為 ( 1,1), 5 分 2)由題 f(x) g(x)得 1x3 ax2 x 1 1x2 (2a 1)x 5 3 2 6 1 31 2 1 即 x3 (a )x2 2ax 0 3 2 6 1 3 1 2 1 令 (x) x3 (a)x2 2ax ( 2 x 1

14、) ,6 分 3 2 6 (x) x2 (2a 1)x 2a (x 2a)(x 1) 令 (x) 0得x 2a或 x 1,7分 當 2a2即 a1時 x 2 ( 2,1) 1 (x) (x) 8a 9 2 a 9 此時， 8a0， a 0，有一個交點； ,9分 2 1 當 2a2 即 1 a 時， 2 x 2 ( 2,2a) 2a (2a,1) 1 (x) 0 (x) 8a 9 2 21 a2 (3 2a) 36 a 2 2 1 a2(3 2a) 0, 36 99 當 8a 92 0即 1 a196 時,有一個交點； 綜上可知，當 a 99 當 8a0，且 a 0 即a 0 時，有兩個交點； 2 16 19 當 0 a 時， 8a 0 ，有一個交點 , 22 91 16或 0 a 2時，有一個交點； 9 a 0 時，有兩個交點 , 13 分 16 14 分 數(shù) g(x) f (x)