2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.4拋物線2.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)優(yōu)化練習(xí)新人教A版選修2 （經(jīng)典實用）

1、2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)課時作業(yè)A組基礎(chǔ)鞏固1已知拋物線的對稱軸為x軸，頂點在原點，焦點在直線2x4y110上，則此拋物線的方程是()Ay211x By211xCy222x Dy222x解析：在方程2x4y110中，令y0得x，拋物線的焦點為F，即，p11，拋物線的方程是y222x，故選C.答案：C2已知直線ykxk及拋物線y22px(p0)，則()A直線與拋物線有一個公共點B直線與拋物線有兩個公共點C直線與拋物線有一個或兩個公共點D直線與拋物線可能沒有公共點解析：直線ykxkk(x1)，直線過點(1,0)又點(1,0)在拋物線y22px的內(nèi)部當(dāng)k0時，直線與拋物線有一個公共點；當(dāng)k0

2、時，直線與拋物線有兩個公共點答案：C3過拋物線y22px(p0)的焦點作一直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則kOAkOB的值為()A4 B4 Cp2 Dp2解析：kOAkOB，根據(jù)焦點弦的性質(zhì)x1x2，y1y2p2，故kOAkOB4.答案：B4已知直線l：yk(x2)(k0)與拋物線C：y28x交于A，B兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，若|AF|2|BF|，則k的值是()A. B. C2 D.解析：根據(jù)題意畫圖，如圖所示，直線m為拋物線的準(zhǔn)線，過點A作AA1m，過點B作BB1m，垂足分別為A1，B1，過點B作BDAA1于點D，設(shè)|AF|2|BF|2r，則|AA1|2|BB1|2

3、|A1D|2r，所以|AB|3r，|AD|r，則|BD|2r.所以ktan BAD2.選C.答案：C5已知F為拋物線y2x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，2(其中O為坐標(biāo)原點)，則ABO與AFO面積之和的最小值是()A2 B3C. D.解析：設(shè)直線AB的方程為xnym(如圖)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，2，x1x2y1y22.又yx1，yx2，y1y22.聯(lián)立得y2nym0，y1y2m2，m2，即點M(2,0)又SABOSAMOSBMO|OM|y1|OM|y2|y1y2，SAFO|OF|y1|y1，SABOSAFOy1y2y1y123，當(dāng)且僅當(dāng)y1時，等號成立答案：B6

4、直線yx1被拋物線y24x截得的線段的中點坐標(biāo)是_解析：將yx1代入y24x，整理，得x26x10.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1x26，3，2.所求點的坐標(biāo)為(3,2)答案：(3,2)7過拋物線y24x的焦點作直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，則AB的中點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為_解析：拋物線的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x1.由拋物線的定義知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為.因此，點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為1.答案：8已知點A(2,3)在拋物線C：y22px的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點

5、B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為_解析：拋物線y22px的準(zhǔn)線為直線x，而點A(2,3)在準(zhǔn)線上，所以2，即p4，從而C：y28x，焦點為F(2,0)設(shè)切線方程為y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.因為切點在第一象限，所以k.將k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以點B的坐標(biāo)為(8,8)，所以直線BF的斜率為.答案：9已知拋物線y26x，過點P(4,1)引一弦，使它恰在點P被平分，求這條弦所在的直線方程解析：設(shè)弦的兩個端點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)P1，P2在拋物線上，y6x1，y6x2.兩式相減得(y1y2)(

6、y1y2)6(x1x2)y1y22，代入得k3.直線的方程為y13(x4)，即3xy110.10已知拋物線y24x截直線y2xm所得弦長AB3，(1)求m的值；(2)設(shè)P是x軸上的一點，且ABP的面積為9，求P點的坐標(biāo)解析：(1)由4x24(m1)xm20，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x21m，x1x2，|AB|.由|AB|3，即3m4.(2)設(shè)P(a,0)，P到直線AB的距離為d，則d，又SABP|AB|d，則d，|a2|3a5或a1，故點P的坐標(biāo)為(5,0)或(1,0)B組能力提升1若拋物線y2x上一點P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點的距離，則點P的坐標(biāo)為()A. B.C. D.解析：設(shè)拋物線的焦點為

7、F，因為點P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點的距離，所以點P為線段OF的垂直平分線與拋物線的交點，易求點P的坐標(biāo)為.答案：B2設(shè)拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，點M在C上，|MF|5.若以MF為直徑的圓過點(0,2)，則C的方程為()Ay24x或y28x By22x或y28xCy24x或y216x Dy22x或y216x解析：由已知得拋物線的焦點F，設(shè)點A(0,2)，拋物線上點M(x0，y0)，則，.由已知得，0，即y8y0160，因而y04，M.由|MF|5得，5，又p0，解得p2或p8，故選C.答案：C3已知拋物線y24x，過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y

8、2)兩點，則yy的最小值是_解析：設(shè)AB的方程為xmy4，代入y24x得y24my160，則y1y24m，y1y216，yy(y1y2)22y1y216m232當(dāng)m0時，yy最小值為32.答案：324如圖，拋物線C1：y22px和圓C2：(x)2y2，其中p0，直線l經(jīng)過C1的焦點，依次交C1，C2于A，B，C，D四點，則的值為_解析：易知|AB|CD|，圓C2的圓心即為拋物線C1的焦點F.當(dāng)直線l的斜率不存在時，l的方程為x，所以A(，p)，B(，)，C(，)，D(，p)，|，所以；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)A(x1，y1)，D(x2，y2)，則|AB|FA|FB|x1x1，同理|CD|x2，

9、設(shè)l的方程為yk(x)，由，可得k2x2(pk22p)x0，則|AB|CD|x1x2.綜上，.答案：5.如圖，過拋物線y2x上一點A(4,2)作傾斜角互補的兩條直線AB，AC交拋物線于B，C兩點，求證：直線BC的斜率是定值證明：設(shè)kABk(k0)，直線AB，AC的傾斜角互補，kACk(k0)，AB的方程是yk(x4)2.聯(lián)立方程組消去y后，整理得k2x2(8k24k1)x16k216k40.A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程組的解4xB，即xB，以k代換xB中的k，得xC，kBC.直線BC的斜率為定值6(2020高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點M，交拋物線C：y22px(p0)于點P，M關(guān)于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由解析：(1)如圖，由已知得M(0，t)，P.又N為M關(guān)于點P的對稱點，故N，故直線ON的方程為yx，將其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2.因此H.所以N為