工程電磁場 第七章電磁場的邊值問題

1、1 第六章 電磁場的邊值問題 2 靜電場和恒定電場的邊值問題，可歸結為在給定邊 界條件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。 常用的方法 直接法 間接法 解析法 數值法 有限差分法（FD） 有限元方法（FEM） 矩量法（MoM） 3 靜電參數(電容及部分電容)靜電能量與力 有限差分法鏡像法,電軸法分離變量法直接積分法 數值法解析法 邊值問題 邊界條件電位 基本方程D 的散度 基本物理量 E、D 基本實驗定律（庫侖定律） E 的旋度 4 1. 鏡像法 實質:是以一個或幾個等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非 均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計算過程大為簡化。 依據：惟一性定理。因此，等效電

2、荷的引入必須維持原來的邊界條件 不變，從而保證原來區(qū)域中靜電場沒有改變，這是確定等效電荷的大小 及其位置的依據。這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱為鏡像電荷， 而這種方法稱為鏡像法。 關鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。 局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其 鏡像電荷。 5 鏡像法是解靜電場問題的一種間接方法，它巧妙地應用唯一性定理， 使某 些看來難解的邊值問題容易地得到解決。 使用鏡像法時要注意以下三點： （1）鏡像電荷是虛擬電荷; （2）鏡像電荷置于所求區(qū)域之外的附近區(qū)域; （3）導電體是等位面。 6 （1）點電荷與無限大的導體平面。 介質 導體 q r P 介質

3、 q r P h h r q 介質 以一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻 的介電常數為 的空間，則空間任一點 P 的電位由 q 及 q 共同產生，即 r q r q 4 4 考慮到無限大導體平面的電位為零，求得 qq 7 電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相 同。 由此可見，電場線處處垂直于導體平面，而零電位面與導體表面吻合。 電場線 等位線 z 8 f q o （2）點電荷與導體球。 P a d r q 若導體球接地，導體球的電位為零。 為了等效導體球邊界的影響，令鏡像點 電荷q 位于球心與點電荷 q 的連線上。 那么，球面上任一點電位為 r

4、 q r q 4 4 可見，為了保證球面上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為 q r r q 9 為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值 對于球面上任一 點均具有同一數值。由上圖可見，若要求三角形 OPq 與 OqP 相 似，則 常數。由此獲知鏡像電荷應為 r r f a r r q f a q 鏡像電荷離球心的距離d 應為 f a d 2 這樣，根據 q 及 q 即可計算球外空間任一點的電場強度。 f q O P a d r q 10 l （3）線電荷與帶電的導體圓柱。 P a f d r -l O 在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離d 處，平行放置一根鏡像電 荷 。已知無限長線電荷

5、產生的電場強度為 l r l r eE 2 因此，離線電荷r 處，以 為參考點的電位為 0 r r r rE l r r 0 ln 2 d 0 11 若令鏡像線電荷 產生的電位也取相同的 作為參考點，則 及 在圓 柱面上 P 點共同產生的電位為 l 0 r l l r r r r ll P 00 ln 2 ln 2 r r l ln 2 已知導體圓柱是一個等位體，因此，為了滿足這個邊界條件，必須要 求比值 為常數。與前同理，可令 ，由此得 r r a d f a r r f a d 2 12 （4）點電荷與無限大的介質平面。 E 1 1 q r0 E t E n E Et En 0 r q 2

6、 2 q 0 r n E t E E 1 2 q et en =+ 為了求解上半空間的場可用鏡像電荷 q 等效邊界上束縛電荷的作用， 將整個空間變?yōu)榻殡姵禐? 的均勻空間。對于下半空間，可用位于 原點電荷處的q 等效原來的點電荷q 與邊界上束縛電荷的共同作用， 將整個空間變?yōu)榻殡姵禐? 的均勻空間。 13 但是，必須迫使所求得的場符合原先的邊界條件，即電場切向分量保持 連續(xù)，電位移的法向分量應該相等，即 2t1t1t EEE n21n1n DDD 已知各個點電荷產生的電場強度分別為 代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下： r r q eE 2 1 1 4 r r q eE 2 1 1 )(4

7、 r r q eE 2 2 2 )(4 qq 21 21 qq 21 2 2 14 q O rR d ( , )P r 不接地：導體球面電位不為0， 球面上存在正、負感應電荷 （感應電荷總量為0）。 處理方法：電位疊加原理 (5)點電荷對不接地球面導體邊界的鏡像 15 1、先假設導體球面接地，則球面上存在電量為 的感應電荷，鏡 像電荷可采用前面的方法確定。 2、斷開接地。將電量為 的電荷加到導體球面上，這些電荷必然 均勻分布在球面上，以使導體球為等勢體。 3、均勻分布在導體球面上的電荷 可以用位于球心的等量點電 荷等效。 q q q 分析過程 結論：點電荷q對非接地導體球面的鏡像電荷有兩個：

8、16 q q O r r R d d ( , )P r q 鏡像電荷1：電量： a qq d 位置： 2 a d d 鏡像電荷2： 電量： a qqq d 位置：位于球心。 1 4 qqq Rrr 球外空間某點電位為： 點電荷位于不接地導體球 附近的場圖 17 2 分離變量法 分離變量法是把一個多變量的函數表示成幾個單變量函數乘積的方法。它首先 要求給定邊界與一個適當坐標系的坐標面相合；其次要求在坐標系中，待求偏微 分方程的解可表示為三個函數的乘積，且其中的每個函數僅是一個坐標的函數。 在直角、圓柱、球等坐標系中都可以應用分離變量法。 18 直角坐標系中的平行平面場問題 平行平面場中位函數U(

9、x，y) 在場域內滿足拉普拉斯方程 0, 2 2 2 2 2 y U x U yxU 設定分離變量形式的試探解，即令U(x，y) =X(x)Y(y)，代入 方程得 19 2 2 2 2 d d1 d d1 y Y Yx X X 在x和y取任意值時等式恒成立，這要求兩邊恒為同一常數?，F 記該常數為 (稱為分離常數) ： 0 d d 2 2 X x X 0 d d 2 2 Y y Y 取不同值時，兩個常微分方程得到不同形式的解： =0 時， xAAxX 2010 )(yBByY 2010 )( 時，0 2 n m )sinh()cosh()( 21 xmAxmAxX nnnn )sin()cos(

10、)( 21 ymBymByY nnnn 0 2 n m 時， )sin()cos()( 21 xmAxmAxX nnnn )sinh()cosh()( 21 ymBymByY nnnn 20 位函數U的一般解可記作： yBBxAA ymBymBxmAxmA ymBymBxmAxmAyxU nnnn n nnnn nnnn n nnnn 20102010 21 1 21 21 1 21 shchsincos sincosshch, 21 如果問題的邊界面與直角坐標系的坐標面吻合，則可采用直角坐標系中的分離 變量法。 下面通過例子具體說明該方法。 例 求如圖所示二維長方形內的電位函數。 解：根據題

11、意，所求區(qū)域的電位函數滿足 的方程及邊界條件為 2 0 00 00,0 0 0, x x a yy b xayb U x a y b 0 U 0 0 0 ? 22 12 sincos xx fxAk xAk x 只與x有關只與y有關 在直角坐標系中方程 可寫為 2 0 22 22 0 xy （二維問題，與z無關） 分離變量法的前提即假設 待求函數有分離變量形式的解： , x yfx g y 22 22 0 d fxd g y g yfx dxdy 上式兩端同除以 g y fx 22 22 11 0 d fxd g y fxdxg ydy 因此該式成立的條件： 2 2 2 2 2 2 1 1 x

12、 y d fx k fxdx d g y k g ydy 且 22 0 xy kk x k為實數 y k為虛數 x k為虛數 y k為實數 x k為零 y k為零 x k為實數 x k為虛數 xx kj x k為零 1 fxC xC 12 12 sinhcosh xx xx xx fxBxBx fxBeB e 或 23 同樣的討論適用于函數 。為滿 足x=0和x=a的邊界條件，應選取 g y 12 sincos xx fxAk xAk x 則 12 sinhcosh yy g yByBy 因為 22 2 2 0 0 xy xy yx kk kj k 將邊界條件 0 0 00 00 x fg y

13、 f 將邊界條件 0 0 0 x a f a g y f a 2 0A 1sin 0 1,2,3. x x Ak a n kn a 于是 1sin n fxAx a x n k a 稱為邊值問題 2 0 00 00,0 0 0, x x a yy b xayb U 的本征值。它的意義是：在上述邊界 條件下，分離常數 只有取這些特 定值時，方程才有非零解。其解的函 數形式 稱為本征函數。 x k sin n x a 24 對于 12 sinhcosh yy g yByBy 因為 yx n k a 將邊界條件 0 0 00 00 y fx g g 2 0B 于是 1sinh n g yBy a 得

14、 11 , sinsinh sinsinh x yfx g y nn ABxy aa nn Cxy aa 由于 故 的一般形式 1,2,3.n , x y 1 ,sinsinh n n nn x yCxy aa 將邊界條件 0y b U 0 1 sinsinh n n nn UCxb aa 這實際上是將一已知函數展為傅里葉級 數。利用傅里葉級數的系數公式得 0 0 0 0 24 sinhsin 21 4 sinh21 a n n nnU CbUx dx aaan U C n bn a 原問題的解 0 1 4 ,sinsinh sinh21 n Unn x yxy naa bn a 25 3 有

15、 限 差 分 法 圖 3.1 差分網格 3.1 差分表示式 26 二維泊松方程的差分格式 (Difference Form of 2D Poissons Equation) F yx 2 2 2 2 （1） 二維靜電場邊值問題 基本思想：將場域離散為許多網格 ，應用差分原 理，將求解連續(xù)函數 的微分方程問題轉換為求解 網格節(jié)點上 的代數方程組的問題。 （2）)(Lf L 有限差分的網格分割 27 令 h = x - x0，將 x = x1 和 x3 分別代入式 ( 3 ) )(0)()( ! 1 0 0 00 n n K K K K x xxxx xK （3） 由式（4）+（5） 2 402

16、2 2 2 )( 0 hy yy （7） 同理, 沿 x方向在 x0 處的泰勒公式展開為 下 頁上 頁返 回 0 3 3 3 0 2 2 2 003 0 3 3 3 0 2 2 2 001 )( ! 3 1 )( ! 2 1 )( )( ! 3 1 )( ! 2 1 )( x h x h x h x h x h x h （4） （5） 2 301 2 2 2 )( 0 hx xx （6） 28 將式(6)、式(7)代入式(1)，得到 2 04321 4Fh 當場域中0 04 04321 )( 4 1 2 43210 Fh 即 )( 4 1 43210 即 五點差分格式 下 頁上 頁返 回 29

17、 )( 4 1 43210 上式表明，任一點的電位等于它周圍四個點電位的平均值。顯然， 當h越小，計算越精確。如果待求N個點的電位，就需解含有N個 方程的線性方程組。若點的數目較多，用迭代法較為方便。 30 矩形網格剖分 若場域離散為矩形網格，差分格式為 F hhhh 0 2 2 2 1 42 2 2 21 2 1 2) 11 ()( 1 )( 1 31 3.2 邊界條件離散化（Discrete Boundary Condition) 第二類邊界條件 hf hn f 210 01 02 ,)( )2( 4 1 2 4210 Fh 第一類邊界條件 分界面銜接條件 對稱邊界條件 , ) 1 2 1

18、 2 ( 4 1 43210 K K K ba K其中 介質分界面 10 f 對稱分界 32 3.3差分方程的數值解法 1. 簡單迭代法 圖 3.2 節(jié)點序號 )( 4 1 1, 11, 1 1 , n ji n ji n ji n ji n ji 33 2. 塞德爾(Seidel)迭代法 通常為節(jié)約計算時間，對簡單迭代法要進行改進，每當算出 一個節(jié)點的高一次的近似值，就立即用它參與其它節(jié)點的差分方 程迭代，這種迭代法叫做塞德爾(Seidel)迭代法。塞德爾迭 代法的表達式為 )( 4 1 1 1, 1 , 11, 1 1 , n ji n ji n ji n ji n ji 此式也稱為異步迭代法。由于更新值的提前使用，異步迭代法 比簡單迭代法收斂速度加快一倍左右，存儲量也小。 34 3. 超松馳迭代法 )4( 4 1 1, 1 , 11, 1 1 , n ij n ji n ji n ji n ji n ij n ji a 式中稱為松弛因子，其值介于 1 和 2 之間。當其值為1時，超松 弛迭代法就蛻變?yōu)槿聽?Seidel)迭代法。 因子的選取一般只能依經驗進行。但是對矩形區(qū)域， 當M、 N都很大時，可以由如下公式計算最佳收斂因子0: 22 0 22 2 NM 35 邊界節(jié)點賦已知電位值 賦節(jié)點電位初始值 累計