高考真題——三角函數(shù)及解三角形真題(加答案)

1、全國卷歷年高考三角函數(shù)及解三角形真題歸類分析三角函數(shù)一、三角恒等變換（3 題）1.（ 2015年 1 卷 2） sin 20o cos10ocos160o sin10o=（）（A ）3（ B）31122（ C）（ D）22【解析】原式 = sin 20o cos10ocos 20o sin10 o= sin30 o = 1 ，故選 D.2考點(diǎn)：本題主要考查誘導(dǎo)公式與兩角和與差的正余弦公式.2.（ 2016年 3 卷）（ 5）若 tan3，則 cos22sin 2（）464(B)48(C)1(D)16(A)252525【 解 析 】 由 tan3， 得 sin34或 sin3,cos44,cos

2、55， 所 以55cos22sin 21641264，故選 A252525考點(diǎn)： 1、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；2、倍角公式3.（ 2016年 2 卷 9）若 cos3 ，則 sin2=45（A） 7（B） 1（ C）1（ D）7255525【解析】 cos43 ， sin 2cos 22cos 217 ，故選 D52425二、三角函數(shù)性質(zhì)（5 題）4.（ 2017 年 3卷 6）設(shè)函數(shù) f (x) cos(x) ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）3A f (x) 的一個(gè)周期為2B yf ( x) 的圖像關(guān)于直線8x對(duì)稱3C f ( x) 的一個(gè)零點(diǎn)為x)單調(diào)遞減6D f (x) 在 ( ,2【解析】函

3、數(shù) fxcosx 的圖象可由 y cosx 向左平移 個(gè)單位得到，33如圖可知， f xD選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選 D.在, 上先遞減后遞增，2yg-Ox65（. 2017 年 2 卷 14）函數(shù) f x sin2x3 cos x30, ）的最大值是（ x42【解析】 fx1cos2 x3 cos x3cos2 x3 cos x144323cos x1 ， x0, ，則 cos x0,1，當(dāng) cos x時(shí)，取得最大值1.2226（ 2015 年 1 卷 8）函數(shù) f ( x) = cos(x) 的部分圖像如圖所示，則f (x) 的單調(diào)遞減區(qū)間為（）（A ） (k1 , k3), k Z44（B ） (2

4、 k13), kZ,2 k44（C ） (k1 , k3 ), k Z44（D ） (2 k1 ,2 k3), k Z441+【解析】由五點(diǎn)作圖知，42，解得=， =，所以 f (x) cos( x) ，53444+2令 2kx2k, k1 x 2k3Z ，故單調(diào)減區(qū)間為Z ，解得 2k， k4441， 2k3）， kZ ，故選 D. 考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（ 2k447. （ 2015 年 2 卷 10）如圖，長(zhǎng)方形ABCD 的邊著邊 BC ， CD 與 DA 運(yùn)動(dòng)，記 BOP=x 將動(dòng)點(diǎn)AB=2 ， BC=1 ， O 是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) P 沿 P 到 A、 B 兩點(diǎn)距離之和表示為 x

5、 的函數(shù)f （ x），則f（ x）的圖像大致為的運(yùn)動(dòng)過程可以看出，軌跡關(guān)于直線x對(duì)稱，且 f () f () ，且軌跡非線型，故選242B8.（ 2016年 1 卷 12）已知函數(shù) f ( x) sin(x+)(0，), x為 f (x) 的零24點(diǎn) , x為 yf ( x) 圖像的對(duì)稱軸 ,且 f (x) 在5單調(diào) ,則的最大值為18，436（A ）11（B）9 （C）7（D）5考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)三、三角函數(shù)圖像變換（3 題）9.（ 2016 年 2 卷 7）若將函數(shù) y=2sin 2 x 的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后圖象的對(duì)12稱軸為（A ） xk k Z（ B） xk k Z26

6、26（C ） xk k Z（ D ） xk k Z212212【解析】平移后圖像表達(dá)式為y 2sin 2xx，令 212k+，得對(duì)稱軸方程：122k Z ，故選 Bx6k210.（ 2016年3 卷 14）函數(shù) ysin x3 cos x 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。的圖像可由函數(shù)y sin x3 cos x 錯(cuò)誤 !未找到引用源。 的圖像至少向右平移_ 個(gè)單位長(zhǎng)度得到考點(diǎn)： 1、三角函數(shù)圖象的平移變換；2、兩角和與差的正弦函數(shù)211.（ 2017 年 1 卷 9）已知曲線C1： y=cos x， C2： y=sin (2 x+)，則下面結(jié)論正確的是3A 把 C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2 倍

7、，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2B把 C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2 倍，縱坐標(biāo)不變， 再把得到的曲線向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2C把 C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移26個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2D把 C1 上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1 倍，縱坐標(biāo)不變， 再把得到的曲線向左平移212個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線C2【解析】：熟悉兩種常見的三角函數(shù)變換，先變周期和先變相位不一致。先變周期：ycosxsinxysin2xy sin 2 x2x2sin 222312先變相位：ycos xsinxysinx2y sin26si

8、n x2x2233選 D 。【考點(diǎn)】：三角函數(shù)的變換。解三角形（ 8題，3小 5大）一、解三角形（知一求一、知二求最值、知三可解）1（.2016 年 2 卷 13）ABC的內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為a，b，c，若 cos A4，cos C55，13a1 ，則 b【解析】4， cosC5312cos A， sin A， sin C，513513sin Bsin A C sin A cosCcos A sin C63ba解得 b21，由正弦定理得：sin Bsin A65132. （ 2017 年 2 卷 17） ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為a, b, c ，已知sinAC8s

9、in 2B (1) 求 cosB ;2(2) 若 ac6 ， ABC 的面積為2，求 b.解析（ 1）依題得 sin B8sin 2 B81cos B4(1cos B) 22因?yàn)?sin2 Bcos2 B1 ，所以 16(122B1，所以 (17cos B15)(cos B1)0 ，得cos B)coscos B15.1 （舍去）或 cosB17（ 2）由可知 sin B82，所以 1acsin B21ac82，得ac1717，因?yàn)?SABC2，即17.22因?yàn)?cosB15 ，所以 a2c2b215，即 a2c2b 215，從而 (ac)22acb215 ，172ac17即 3617b 21

10、5 ，解得 b2 3.（ 2016 年 1 卷 17）ABC 的內(nèi)角 A,B ,C 的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cos C ( acos B+b cos A) c.（I）求 C；（II ）若c7, ABC的面積為 33VABC的周長(zhǎng)求,2【解析】 (1)2cosC(acosB+bcosA)=c,由正弦定理得:2cosC(sinA cosB+sinBcosA)=sinC,2cosC sin(A+B)=sinC.因?yàn)?A+B+C= ,A,B,C (0,所),以 sin(A+B)=sinC0,所以 2cosC=1,cosC=1.因?yàn)?C (0, 所),以 C= .23(2) 由余弦定理得1:c 2

11、 =a 2+b 2-2ab cosC,7=a 2+b 2 -2ab ,(a+b) 2-3ab=7,21333S= absinC=ab=,所以 ab=6, 所以 (a+b) 2 -18=7,a+b=5,242所以 ABC 的周長(zhǎng)為a+b+c=5+7 .4.（2017年1卷） ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a ，b， c ，已知 ABC的17a2面積為.3sin A（ 1）求 sinBsinC 的值；（ 2）若 6cosBcosC1， a3 ，求 ABC 的周長(zhǎng) .a21a21 bcsin A，即解析 （ 1）因?yàn)?ABC 的面積 S且 Sbc sin A ，所以23sinA3sin A2a

12、23bc sin 2A .由正弦定理得 sin 2 A3sin B sin C sin 2 A，由 sin A0，得222sin Bsin C.3（ 2）由（ 1）得 sin B sin C21A BC ，又 cos Bcos C，因?yàn)?61所以 cos Acos BCcos BCsin B sinC cos B cosC.2又因?yàn)?A0 ， ，所以 A60o ， sin A31.， cos A22222由余弦定理得 abc 9bca2由正弦定理得 basinB ， casin C ，所以 bcsinB sin C8sin A2sin Asin A由，得 bc33 ，所以 abc 333 ，即

13、 ABC 周長(zhǎng)為333 .5. （ 2015 年 1 卷 16）在平面四邊形ABCD中 , A= B= C=75,BC=2, 則 AB 的取值范圍.【解析 1】如圖所示，延長(zhǎng) BA ，CD 交于 E，平移 AD ，當(dāng) A 與D 重合與 E 點(diǎn)時(shí)，AB 最長(zhǎng)，在 BCE 中， B= C=75，E=30，BC=2 ，由正弦定理可得BCBE，即2BE，sinEsinsin 30osin 75oC解得 BE=6+2 ，平移 AD，當(dāng) D 與 C 重合時(shí)， AB 最短，此時(shí)與 AB 交于 F ，在 BCF 中， B= BFC=75 ， FCB=30 ，由正弦定理知，BFBC，即BF2，sinFCBsin

14、sin 30osin 75oBFC解得 BF=62 ，所以 AB 的取值范圍為（62， 6+ 2）.考點(diǎn)：正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想二、分割兩個(gè)三角形的解三角形問題（2016年3卷）在ABC中， B=BC1BC 則 cosA = （），邊上的高等于6.843,（A） 3 10（B） 10（C） -10（D） -3 1010101010【解析】設(shè) BC 邊上的高線為AD ，則 BC3AD ，所以 ACAD2DC 25AD ，AB2 AD 由余弦定理，知AB2AC2BC22AD25AD29AD210cos A2AB AC22 AD5AD10，故選 C考點(diǎn)：余弦定理7（. 2017 年 3 卷 17）

15、 ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b,c，已知 sinA3cosA 0 ，a2 7 ， b 2 （ 1）求 c ；（ 2）設(shè) D 為 BC 邊上一點(diǎn)，且 ADAC ， 求 ABD 的面積解析 （ 1）由 sin A0，即 AkkZ，3cos A 0 ，得 2sin A33又 A0, ，所以 A，得 A22b2c22bccos A .3.由余弦定理得 a3又因?yàn)?a 2 7, b 2,cos A122代入并整理得 c 125 ，解得 c4 .2227 .（ 2）因?yàn)?AC 2, BC2 7,AB4，由余弦定理得cosCabc22ab7因?yàn)?ACAD ，即 ACD 為直角三角形，則ACCD cosC ，得 CD7 .從而點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，S ABD1SABC11AB AC sin A 3 .2228.（ 2015 年 2 卷 17）?ABC 中， D 是 BC 上的點(diǎn)， AD 平分 BAC ，?ABD 是 ?ADC 面積的2 倍。sinB( )求sinC() 若 AD1，DC2，求BD和AC的長(zhǎng)2【解析】 (1)SABD = 1 錯(cuò)誤 ! 未找到引用源。ABADsin BAD,S ADC = 1 錯(cuò)誤 !未找到引用源。22ACADsin CAD, 因?yàn)?SABD =2SADC , BAD= C