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1、軸對(duì)稱中幾何動(dòng)點(diǎn)最值問題總結(jié)軸對(duì)稱的作用是“搬點(diǎn)移線”，可以把圖形中比較分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到“新的圖形”中，為應(yīng)用某些基本定理提供方便。比如我們可以利用軸對(duì) 稱性質(zhì)求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問題。利用軸對(duì)稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個(gè):(1) 兩點(diǎn)之間線段最短；(2) 三角形兩邊之和大于第三邊;(3)垂線段最短。初中階段利用軸對(duì)稱性質(zhì)求最值的題目可以歸結(jié)為：兩點(diǎn)一線，兩點(diǎn)兩線, 點(diǎn)兩線三類線段和的最值問題。下面對(duì)三類線段和的最值問題進(jìn)行分析、討論。(1) 兩點(diǎn)一線的最值問題：(兩個(gè)定點(diǎn)+ 一個(gè)動(dòng)點(diǎn))問題特征：已知兩個(gè)定點(diǎn)位于一條直線的同一側(cè)， 在直線

2、上求一動(dòng)點(diǎn)的位置，使 動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)線段和最短。核心思路：I這類最值問題所求的 線段和中只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，解決這類題目的方法是 找出任一定點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)這個(gè)對(duì)稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)，交直線于一點(diǎn)， 交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)滿足最值的位置。方法：11.定點(diǎn)過動(dòng)點(diǎn)所在直線做對(duì)稱。2. 連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)定點(diǎn)，則直線段長度就是我們所求。變異類型：I實(shí)際考題中,經(jīng)常利用本身就具有對(duì)稱性質(zhì)的圖形，比如等腰三角形, 等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱 點(diǎn)就在這個(gè)圖形上。1.如圖，直線I和I的同側(cè)兩點(diǎn) A B,在直線I上求作一點(diǎn)P，使PA+ PB最小。(2) 點(diǎn)兩線的最值問題：(兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)+

3、個(gè)定點(diǎn))問題特征：已知一個(gè)定點(diǎn)位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)使線段和最短。核心思路：這類問題實(shí)際上是兩點(diǎn)兩線段最值問題的變式，通過做這一定點(diǎn)關(guān)于兩條線的對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“搬點(diǎn)移線”，把線段“移”到同一直線上來解決。變異類型P是/ MON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM ON上作點(diǎn)A, B。使 PAB的周長最小。1.如圖，點(diǎn)2.如圖, 小。點(diǎn)A是/ MON外的一點(diǎn)，在射線OMh作點(diǎn)P,使PA與點(diǎn)P到射線ON的距離之和最（3）兩點(diǎn)兩線的最值問題：（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)+兩個(gè)定點(diǎn)）問題特征：兩動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)隨另一個(gè)動(dòng)（一個(gè)主動(dòng)，一個(gè)從動(dòng)），并且兩動(dòng)點(diǎn) 間的距離保持不變。核心思路：用平移方法，可把兩動(dòng)點(diǎn)變成

4、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)”類型來解。變異類型：1.如圖，點(diǎn)P, Q為/ MON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在 OM ON上作點(diǎn)A，B。使四邊形PAQB勺周長最 小。2.如圖，已知 A（ 1，3），B（ 5，1），長度為2的線段PQ在x軸上平行移動(dòng)，當(dāng) AP+P Q+QB 的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）（4）兩點(diǎn)兩線的最值問題：（兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)+兩個(gè)定點(diǎn)）問題特征：兩動(dòng)點(diǎn)分別在兩條直線上獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，一動(dòng)點(diǎn)分別到一定點(diǎn)和另一動(dòng)點(diǎn) 的距離和最小。核心思路：利用軸對(duì)稱變換，使一動(dòng)點(diǎn)在另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)與定點(diǎn)的線段上 （兩 點(diǎn)之間線段最短），且這條線段垂直于另一動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)所在直線（連接直線外 一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所

5、有線段中，垂線段最短）時(shí)，兩線段和最小，最小值等于 這條垂線段的長。變異類型：演變?yōu)槎噙呅沃荛L、1.如圖，點(diǎn)A是/ MON內(nèi)的一點(diǎn), 最小。折線段等最值問題。在射線 ON上作點(diǎn)P,使PA與點(diǎn)P到射線0M的距離之和二、常見題目Parti、三角形AE=2,1.如圖，在等邊 ABC中，AB=6, AD丄BC E是AC上的一點(diǎn)，M是AD上的一點(diǎn)，且 求EM+EC勺最小值。N分別2.如圖，在銳角 ABC中，AB=42, / BAC= 45 ，/ BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D, M 是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，貝U BM+M的最小值是 。3.如圖， ABC中，AB=2, / BAC=30 ,若在AC AB上各取

6、一點(diǎn) M N,使BM+M的值最小, 則這個(gè)最小值。Part2、正方形1 .如圖，正方形 ABCD的邊長為8, M在DC上，丐 DMh 2, N是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，DN+ MN的 最小值為 。即在直線AC上求一點(diǎn)N,使DN+MI最小。1)2如圖所示，正方形 ABCD的面積為12, ABE是等邊三角形，點(diǎn) E在正方形ABCD內(nèi)，在 對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD PE的和最小，則這個(gè)最小值為（）3 .在邊長為2 cm的正方形 PB PQ則 PBQ周長的最小值為EABCD中,點(diǎn)Q為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn) P為對(duì)角AC上一動(dòng)點(diǎn)，連 m （結(jié)果不取近似值）。4.如圖，四邊形 ABCD是正方形， AB = 10cm , E為邊B 求PC+ PE的最小值；一A/pDA，P為bD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn):CPart3、矩形1.如圖，若四邊形 ABCD是矩形， AB = 10cm BC= 20cm, E為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PC+PD的最小值；HPart4、菱形1.如圖，若四邊形 ABCD是菱形，AB=10cm / ABC=45 , E為邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P為 BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PC+PE的最小值;Part5、直角梯形1.已知直角梯形 ABCD中, AD/ BC AB丄BC AD=2, BC=D(=5,點(diǎn)P在BC上秱動(dòng)，則當(dāng)PA+PD)一次函數(shù) y二kx+ b的圖象與X