人教版高數(shù)選修2-2第6講：合情推理與演繹推理(學生版)—東直門仉長娜

1、合情推理與演繹推理13推理一般分為合情推理根據(jù)一個或幾個已知的判斷來確定一個新的判斷，這種思維方式叫做推理 與演繹推理兩類2合情推理歸納推理類比推理由某類事物的部分對象具有某些特由兩類對象具有某些類似特定義征，推出該類事物的全部對象都具有征和其中一類對象的某些已這些特征的推理，或者由個別事實概知特征，推出另一類對象也具括出一般結(jié)論的推理有這些特征的推理特點由部分到整體、由個別到一般的推理由特殊到特殊的推理一般步驟(1) 通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同 性質(zhì)；(2) 從已知的相冋性質(zhì)中推出一個明確 的一般性命題(猜想)(1) 找出兩類事物之間相似性 或一致性；(2) 用一類事物的性質(zhì)去推測 另一類

2、事物的性質(zhì)，得出一個 明確的命題(猜想)3演繹推理(1) 定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理;(2) 特點：演繹推理是由一般到特殊的推理;(3) 模式：三段論“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：題型一歸納推理設(shè) f(x) =13x+ 3,先分別求f(0) + f(1), f(- 1) + f(2), f(-2)+ f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論,“三段論”的結(jié)構(gòu) 大前提 小前提 結(jié)論已知的一般原理；所研究的特殊情況；根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷大前提M是P.“三段論”的小前提S疋M.表示結(jié)論S是 P.并給出證明九-!1(1)觀察下列等式1=

3、 12+ 3+ 4= 93 + 4+ 5+ 6 + 7= 254 + 5+ 6+ 7+ 8 + 9+ 10 = 49照此規(guī)律，第五個等式應(yīng)為 111*57已知 f(n)= 1 + 2+ 3+ n(n N ),經(jīng)計算得 f(4)2 , f(8), f(16)3 , f(32)?,則有題型二類比推理例2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若 am = a, an= b(n m 1, m, n N*),則am+ n=類比等差數(shù)列an的上述結(jié)論，對于等比數(shù)列 bn( bn0，n N*)，若bm = c, bn= d(n m2, m, n N*),則可以得到bm + n =.門口-1|飛、(1)給出下列三個類比結(jié)論

4、： (ab)n= anbn 與(a+ b)n類比，則有(a+ b)n= an+ bn; loga(xy)= log ax+ log ay 與 sin( a+ 類比，則有 sin( a+ 3 = sin asin 3； (a+ b)2= a?+ 2ab + b?與(a+ b)?類比，則有(a + b)?= a?+ 2a b+ b?.其中結(jié)論正確的個數(shù)是()A. 0B.1C.2D.3(2)把一個直角三角形以兩直角邊為鄰邊補成一個矩形，則矩形的對角線長即為直角三角形外接圓-a2 + b2直徑，以此可求得外接圓半徑r=2 (其中a, b為直角三角形兩直角邊長).類比此方法可得三條側(cè)棱長分別為a, b,

5、 c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑R=.題型三演繹推理例3已知函數(shù)f(x) 尹(。,且1).證明：函數(shù)y= f(x)的圖象關(guān)于點(2, - 2)對稱求 f(- 2)+ f(- 1) + f(0) + f(1) + f(2) + f(3)的值.二已知函數(shù) y= f(x),滿足：對任意 a, b R, b，都有 af(a) + bf(b)af(b)+ bf(a)，試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).，竊當堂檢測)A1. 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“V”或“X”)(1) 歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確()(2) 由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推

6、理()(3) 在類比時，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對象較為合適.()(4) “所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m 一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的.()(5) 一個數(shù)列的前三項是1,2,3，那么這個數(shù)列的通項公式是an= n(n N+).()2+f=2 誇，,3+8=3 ；3，；4+ 菁4 電，廠6+;=6 心a，b 均為實數(shù))，則可以推測a = 35, b= 6.()2. 數(shù)列2,5,11,20, x,47,中的x等于()A.28B.32C.33D.273. 觀察下列各式：55= 3125,56 = 15625,57= 78125,，貝V 52

7、 011的后四位數(shù)字為()A.3 125B.5 625C.0 625D.8 1254. （2013陜西）觀察下列等式12= 112 22= 312- 22+ 32= 612 22+ 32 42 = 10照此規(guī)律，第n個等式可為 .5設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,貝V S4, S8 S4 , % S8, 06 $2成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有設(shè)T16等比數(shù)列bn的前n項積為Tn,則T4, , ,花成等比數(shù)列.答案T8 T2I 4 I 8解析對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列bn的前n項積為Tn,貝V T4 = aia2a3a4, T$ = aia2a8,2= aia2ai2,T16= aia2a

8、16,T8_Ti2T16因此 h= a5a6a7a8,= a9aioaiiai2,= ai3ai4ai5ai6,T4T8T12而T4, T8, T，嚴的公比為q16,丨4 T 8 T12因此T4,TsT4T12T8 ,夢成等比數(shù)列.T12基礎(chǔ)鞏固A組專項基礎(chǔ)訓練（時間：40分鐘）一、選擇題1.（2012 江西）觀察下列各式:a+ b=1,a2+b2= 3,a3+ b3= 4,a4+ b4=7,a5+ b5=11,，貝U a10+ b10等于（）A.28B.76C.123D.199答案 C解析觀察規(guī)律，歸納推理.從給出的式子特點觀察可推知，等式右端的值，從第三項開始，后一個式子的右端值等于它前面

9、 兩個式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10+ b10= 123.2定義一種運算“ * ” ：對于自然數(shù)n滿足以下運算性質(zhì)：(1)1*1=1 , (2) (n +1) *1= n*1+1，則 n*1 等于2A.nB.n +1C.n 1D.n答案 A解析 由(n+ 1)*1 = n*1 + 1,得 n*1 = (n 1)*1 + 1 = (n 2)*1 + 2=1*1+( n 1).又/ 1*1=1 , n*1 = n 3下列推理是歸納推理的是A. A, B為定點，動點 P滿足|PA|+ |PB|= 2a|AB|，則P點的軌跡為橢圓B. 由a1= 1, an = 3n 1，求出猜想出數(shù)列的前 n項和

10、Sn的表達式2 2C.由圓x2 + y2= r2的面積n2,猜想出橢圓 拿+古=1的面積S= jabD.科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案 BB是歸納推理，故解析 從S1, S2, S3猜想出數(shù)列的前n項和Sn,是從特殊到一般的推理，所以應(yīng)選B.4已知 ABC 中，/ A = 30 / B = 60 求證：ab. 證明：/ A= 30 / B = 60 ,A / B. a0)，且 f1(x) = f(x) = X2，當 n N 且 n 2 時,fn(x)= ffn-1(x)，則 f3(x) =猜想fn(x)(n N *)的表達式為 .xf2(x)=f(衛(wèi)戸X3x+ 4.xf3(X)= ff2(

11、X) = f(3x+ 4)x3x+ 4x亠 + 2_7x+ 8 3x+ 4由所求等式知，分子都是x,分母中常數(shù)項為 2n, x的系數(shù)比常數(shù)項少1,為2n- 1,故 fn(x)=X2n 1 x + 2n 答案XX7x+ 82n 1 x+ 2n解析xf1(x)= x+ 2, fn(x)= ffn- 1(x)( n2),x8在平面幾何中， ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為 詈=，把這個結(jié)論類比到空間:A CD B且與AB相交于點E,則類比在三棱錐A BCD中(如圖所示)，平面DEC平分二面角得到的結(jié)論是答案BE= BCDEA S ACDA解析 易知點E到平面BCD與平面ACD的距離相等,V

12、e -BCDVe-acdBE_ 0BCDEA $ ACD又 BC2= AB2 + AC2,1AF2.三、解答題9已知等差數(shù)列an的公差d= 2，首項ai = 5.(1)求數(shù)列an的前n項和Sn；設(shè) Tn=n(2an 5)，求Si,S2,S3,S4,S5；，T2,T3,T4,T5，并歸納出Sn 與 Tn的大小規(guī)律解(1)由于 a1 = 5, d = 2,nfn 1 Sn= 5n +2 x 2= n(n + 4).(2) / Tn= n(2an 5) = n2(2 n+ 3) 5 = 4n 2BD BC DC BC AB AC -1 AB2 + AC2 112 = 22 = 2 + 2AD AB

13、AC AB AC 猜想，四面體 ABCD中，AB、AC、AD兩兩垂直，AE丄平面BCD,1111則 A?= A?+ A?+ 莎證明：如圖，連接 BE并延長交CD于F，連接AF./ AB丄 AC, AB丄 AD , AB丄平面ACD. AB 丄 AF.在 RtA ABF 中，AE 丄 BF ,1 12=2+AE AB + n.二 T1 = 5, T2= 4X 22+ 2 = 18, T3= 4X 32+ 3 = 39,T4= 4X 42+ 4 = 68, T5= 4X 52+ 5= 105.S1 = 5, S2= 2 X (2 + 4) = 12, &= 3X (3 + 4) = 21,S4=

14、4X (4 + 4) = 32 , S5= 5X (5 + 4) = 45.由此可知S1= T1，當n 2時，SnTn.歸納猜想：當n= 1時，Sn= Tn；當n2, n N時，Sn0? ab”類比推出“若 a, b C,貝U a b0? ab” 其中類比結(jié)論正確的個數(shù)是()A0B1C2D3答案 C解析 正確，錯誤因為兩個復數(shù)如果不全是實數(shù)，不能比較大小2設(shè) 是R的一個運算，A是R的非空子集若對于任意a, b A,有a b A,則稱A對運算 封閉下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運算都封閉的是()B.整數(shù)集D無理數(shù)集A.自然數(shù)集C. 有理數(shù)集 答案 C解析 A錯：因為自然數(shù)集

15、對減法、除法不封閉； B錯：因為整數(shù)集對除法不封閉； C對：因為任 意兩個有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對加、減、乘、除法(除數(shù)不等于零)四則運算都封閉；D錯：因為無理數(shù)集對加、減、乘、除法都不封閉3平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區(qū)域，則f(n)的表達式為答案n2+ n+ 22解析 1條直線將平面分成1 + 1個區(qū)域；2條直線最多可將平面分成 1 + (1 + 2) = 4個區(qū)域；3條 直線最多可將平面分成 1 + (1 + 2+ 3) = 7個區(qū)域；，n條直線最多可將平面分成 1+ (1 + 2+ 32n(n+ 1 n + n+ 2+ + n) = 1+2=2個區(qū)

16、域.一n + 2*4. 數(shù)列 an的前n項和記為Sn,已知a1= 1, an+1= 一S(n N )證明:(1) 數(shù)列半)是等比數(shù)列;(2) Sn+ 1 = 4an.證明,n+ 2(1) - an+ 1 = Sn+ 1 Sn, an + 1 =門 Sn,(n+ 2)Sn = n(Sn+1 Sn),即 nSn+1= 2(n + 1)Sn.Sn + 1小故 n+i=2Sn石，(小前提)故孑是以2為公比，1為首項的等比數(shù)列(結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義，這里省略了)由(1)可知Sn+ 1 =n + 11n 1(n 2),Sn1n 1 + 25+1 = 4(n+ 1)= 4 Sn-1 = 4an(n

17、2).(小前提)n 1 n 1又a2= 3S1 = 3, S2= a1 + a2= 1 + 3 = 4= 4a1,(小前提)對于任意正整數(shù) n,都有Sn+1 = 4an.(結(jié)論)5. 對于三次函數(shù)f(x) = axf(2 013)+ f(2 013) = 2. + bx 012 1 _+ cx+ d(a豐0),給出定義：設(shè)f (x)是函數(shù)y= f(x)的導數(shù)，f (x)是f (x) 的導數(shù)，若方程f (x)= 0有實數(shù)解xo,則稱點(xo, f(xo)為函數(shù)y= f(x)的“拐點”.某同學經(jīng)過探 究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若f(x) = ,3 x2 + 3x ,請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn),321213125(1)求函數(shù)f(x)= ?x + 3x 12的對稱中心;12342 012計算 f(2 013)+ f(2 013) + f(2 013) + f(2 013)+ f(2 013).解 (1)f (x) = x2 x+ 3, f (x)= 2x 1,1由 f (x) = 0,即 2x 1 = 0,解得 x = ?.)=3x (1)3 - 1x(2)2+3 x 2-11=1.由題中給出的結(jié)論，可知函數(shù)f(x) = ,3